1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。2.2 直线及其方程2.2.1直线的倾斜角与斜率必备知识自主学习1.直线的倾斜角(1)定义：给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为，则称为这条直线的倾斜角(2)特例：若直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0，与x轴垂直的直线，倾斜角为90(3)范围：0180.(1)如图：直线l的倾斜角是30吗？提示：不是，直线l的倾斜角为150.(2)倾斜角相等的直线的倾斜程度是否相同？提示：
2、倾斜角相等的直线的倾斜程度相同2斜率的概念(1)定义：一条直线的倾斜角的正切值(2)特例：倾斜角是90的直线没有斜率(3)记法：ktan .(1)为什么倾斜角为90时，直线没有斜率？提示：当90时，tan 不存在，由斜率的定义，可知此时直线斜率不存在(2)斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？提示：当ktan 0时，倾斜角是钝角；当ktan 0时，倾斜角是锐角；当ktan 0时，倾斜角是0.3.经过两个点的直线的斜率公式经过两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率：k利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗？为什么？提示：不能，当直线与x轴垂直时，k无意义4直线的
3、方向向量(1)如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记为al；(2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数0，向量a都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线；(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则(x2x1，y2y1)是直线l的一个方向向量；(4)如果已知a(u，v)为直线l的一个方向向量，则当u0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为90；当u0时，直线l的斜率是存在的，而且此时(1，k)与a(u，v)都是直线l的一个方向向量，且有vku，即k，即tan .5直线的法向量如果表示非
4、零向量v的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作vl.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)下图中标的都不是对应直线的倾斜角()(2)任一直线都有倾斜角，都存在斜率()(3)倾斜角为135的直线的斜率为1.()(4)若直线的倾斜角为，则它的斜率为ktan .()(5)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反()提示：(1).x轴的正向与直线向上的方向之间所成的角是直线的倾斜角，所以图中的四个都不是对应直线的倾斜角(2).倾斜角为90的直线不存在斜率(3).倾斜角为135的直线的斜率为1.(4).倾斜角不等于90时，它的斜率才是ktan .(5).若两条
5、直线平行，则它们的方向向量也平行，故它们的方向向量的方向相同或相反2如图所示，直线l与y轴的夹角为45，则l的倾斜角为()A45 B135 C0 D无法计算【解析】选B.根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135.3(教材二次开发：例题改编)已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是()A5 B8 C D7【解析】选C.由斜率公式可得1，解得m.4已知直线l的倾斜角为30，则直线l的斜率为()A B C1 D【解析】选A.由题意可知直线l的斜率ktan 30.5已知直线l经过两点P(1，2)，Q(2，1)，那么直线l的一个方向向量为_；一个法向量为_；斜率为_【解析】由已知可
6、得(2，1)(1，2)(3，1)是直线l的一个方向向量则(1，3)是直线l的一个法向量，直线l的斜率k.答案：(3，1)(答案不唯一)(1，3)(答案不唯一)关键能力合作学习类型一直线的倾斜角、斜率的概念(数学抽象)1设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A45B135C135D当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾斜角为1352一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为(090)，则其倾斜角为()A B180C180或90 D90或903已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB4，
7、则点B的坐标为()A(2，0)或(0，4) B(2，0)或(0，8)C(2，0) D(0，8)【解析】1.选D.因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0135时，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135.2选D.如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90.3选B.设B(x，0)或(0，y)，因为kAB或kAB，所以4或4，所以x2，y8，所以点B的坐标为(2，0)或(0，8). 1求直线的倾斜角的方法及两点注意事项(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)
8、求角(2)两点注意事项：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90.注意直线倾斜角的取值范围是0180.2解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式ktan (90)解决(2)由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式k(x1x2)求解(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合求解【补偿训练】已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是()A(1，0B0，1C1，2 D0，2【解析】选D.由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0k2.类型二直线的倾斜角、斜率的计算(数学运算)
9、1若A(1，0)，B(3，m)，直线AB的斜率为，则m()A8 B2 C2 D82若直线过点C(1，3)，D(4，3)，则此直线的一个方向向量为_；倾斜角为_3已知点M(0，b)与点N(，1)连成直线的倾斜角为120，则b_【解析】1.选C.A(1，0)，B(3，m)，直线AB的斜率为，所以，解得：m2.2直线过点C(1，3)，D(4，3)，得(4，3)(1，3)(3，)是直线l的一个方向向量，则直线的斜率k，所以此直线的倾斜角是.答案：(3，)(答案不唯一)3ktan 120，解得b2.答案：2 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与x轴垂直，
10、因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置(3)在00，解得m2.即当m2时，直线MN的倾斜角为锐角(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k0，解得m2.即当m2时，直线MN的倾斜角为钝角(3)当直线MN垂直于x轴时，直线的倾斜角为直角，此时m3m2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角课堂检测素养达标1已知一条直线过点(3，2)与点(1，2)，则这条直线的倾斜角是()A0 B45 C60 D90【解析】选A.因为k0，所以0.2若过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为45，则y等
11、于()A B C1 D1【解析】选C.kABtan 451，即1，所以y1.3(教材二次开发：练习改编)已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是_.【解析】依题意：kABkAC，即，解得a.答案：4已知倾斜角为45的直线经过点A(2m，3)，B(2，3)，则m的值为_；直线的方向向量为_【解析】由题意可得tan 45kAB1，解得m4.所以(2，3)(8，3)(6，6)是直线的一个方向向量答案：4(6，6)(答案不唯一)5已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值【解析】由题意可知kAB2，kAC，kAD，所以k2，解得a4，b3，所以直线的斜率k2，a4，b3.关闭Word文档返回原板块
