1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年江苏省镇江市丹阳市高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上1某田径队有男运动员42人，女运动员30人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为n的样本若抽到的女运动员有5人，则n的值为2如图是一个程序框图，则输出的b的值是3已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=4为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在50，150中，其频率分布直方图如图所示已知在50，75）中的频数为100，则n的值为5某中学有
2、3个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，甲、乙两位同学均参加其中一个社团，则这两位同学参加不同社团的概率为6在区间1，1上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为7若i是虚数单位，复数z=的虚部为8在（x2）6的展开式中，常数项等于9将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有种10设（2x1）6=a6x6+a5x5+a1x+a0，则|a0|+|a1|+|a2|+|a6|=11甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为12口袋中有n（nN*）个白球，3个红球依次
3、从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球记取球的次数为X若P（X=2）=，则n的值为13已知（1+x）10=a0+a1（1x）+a2（1x）2+a10（1x）10，则a8=14将集合2x+2y+2z|x，y，zN，xyz中的数从小到大排列，第100个数为（用数字作答）二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15用计算机随机产生的有序二元数组（x，y）满足1x1，1y1（1）若x，yZ，求事件“x2+y21”的概率（2）求事件“x2+y21”的概率16如图，正四棱柱ABCDA1B1C1
4、D1中，AA1=2AB（1）求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值；（2）点E在侧棱AA1上，若二面角EBDC1的余弦值为，求的值17一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向已知该网民购买A种商品的概率为，购买B种商品的槪率为，购买C种商品的概率为假设该网民是否购买这三种商品相互独立（1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的槪率分布和数学期望18已知（其中n15）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列（1）求n的值；（2）写出它展开式中的所有有理项19已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短
5、轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MDCD，连接CM，交椭圆于点P证明：为定值（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由20已知数列an满足an+1=anan+1，且a1=2（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）求证：2nna3nn2015-2016学年江苏省镇江市丹阳市高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14
6、小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上1某田径队有男运动员42人，女运动员30人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为n的样本若抽到的女运动员有5人，则n的值为12【考点】分层抽样方法【分析】根据男女运动员的人数比例确定样本比例为42：30=7：5，然后根据比例进行抽取即可【解答】解：田径队有男运动员42人，女运动员30人，所男运动员，女运动员的人数比为：42：30=7：5，若抽到的女运动员有5人，则抽取的男运动员的人数为7人，则n的值为7+5=12故答案为：122如图是一个程序框图，则输出的b的值是1027【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程
7、序运行后输出的结果【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下：a=1，b=1，a4；b=2+1=3，a=1+1=2，a4；b=23+2=10，a=2+1=3，a4；b=210+3=1027，a=3+1=4，a4；不满足循环条件，终止循环，输出b=1027故答案为：10273已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=96【考点】极差、方差与标准差【分析】先由平均数的公式列出x+y=20，然后根据方差的公式列方程，求出x和y的值即可求出xy的值【解答】解：根据平均数及方差公式，可得：9+10+11+x+y=105，即x+y=20，标准差是，方差为2 （910）2+（1010）2
8、+（1110）2+（x10）2+（y10）2=2，即（x10）2+（y10）2=8，解得x=8，y=12或x=12，y=8，则xy=96，故答案为：964为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在50，150中，其频率分布直方图如图所示已知在50，75）中的频数为100，则n的值为1000【考点】频率分布直方图【分析】根据直方图中的各个矩形的面积代表了频率，先求出阅读时间在50，75）中的频率，再根据频率与频数的关系进行求解【解答】解：阅读时间在50，75）中的频率为：0.00425=0.1，样本容量为：n=1000.1=1000故答案为：10005某中学有3个社
9、团，每位同学参加各个社团的可能性相同，甲、乙两位同学均参加其中一个社团，则这两位同学参加不同社团的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】由于每位同学参加各个社团的可能性相同，求出这两位同学同时参加同一个社团的概率，利用对立事件的概率即可求出结果【解答】解：每位同学参加各个社团的可能性相同，这两位同学同时参加一个社团的概率为：P=3=；那么这两位同学参加不同社团的概率为P=1P=1=故答案为：6在区间1，1上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为【考点】等可能事件的概率【分析】本题考查的知识点是几何概型，由于函数cos是一个偶函数，故可研究出cosx的值介于0到0.5之间对应线
10、段的长度，再将其代入几何概型计算公式进行求解【解答】解：由于函数cos是一个偶函数，可将问题转化为在区间0，1上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率在区间0，1上随机取一个数x，即x0，1时，要使cosx的值介于0到0.5之间，需使xx1，区间长度为，由几何概型知 cosx的值介于0到0.5之间的概率为故答案为：7若i是虚数单位，复数z=的虚部为【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据复数的运算法则进行化简即可【解答】解：z=+i，即复数的虚部为，故答案为：8在（x2）6的展开式中，常数项等于【考点】二项式定理的应用【分析】设（x2）6的展开式的通项公式为Tr+1=x123r，令1
11、23r=0，解得r即可得出【解答】解：设（x2）6的展开式的通项公式为Tr+1=x123r，令123r=0，解得r=4常数项为T5=故答案为：9将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有150种【考点】计数原理的应用【分析】每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，当5名学生分成3，1，1时根据分类计数原理得到结果【解答】解：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33=90种结果，当5名学生分成3，1，1时，共有C53C21A33=60种结果，根据分类
12、计数原理知共有90+60=150种，故答案为：15010设（2x1）6=a6x6+a5x5+a1x+a0，则|a0|+|a1|+|a2|+|a6|=729【考点】二项式系数的性质【分析】由二项式定理知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，|a0|+|a1|+|a2|+|a6|=a0a1+a2a3+a4a5+a6，把x=1代入计算即可【解答】解：（2x1）6=a6x6+a5x5+a1x+a0，由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，令x=1可得：|a0|+|a1|+|a2|+|a6|=a0a1+a2a3+a4a5+a6=（2+1）6=729故
13、答案为：72911甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为0.65【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式【分析】敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，由此利用对立事件概率计算公式能求出敌机被击中的概率【解答】解：敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，设A表示“甲击中”，B表示“乙击中”，由已知得P（A）=0.3，P（B）=0.5，敌机被击中的概率为：p=1P（）P（）=1（10.3）（10.5）=0.65故答案为：0.6512口袋中有n（nN*）个白球，3个红球依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球
14、，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球记取球的次数为X若P（X=2）=，则n的值为7【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】x=2 说明第一次取出的是红球，第二次取出的是白球，取球方法数为A31An1，所有的取球方法数An+32，利用P（X=2）=，建立方程求出n的值【解答】解：P（X=2）=，即7n255n+42=0，即（7n6）（n7）=0因为nN*，所以n=7故答案为：713已知（1+x）10=a0+a1（1x）+a2（1x）2+a10（1x）10，则a8=180【考点】二项式系数的性质【分析】将1+x写成2（1x）；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1x的指数为8，求出a8
15、【解答】解：（1+x）10=2（1x）10其展开式的通项为Tr+1=（1）r210rC10r（1x）r令r=8得a8=4C108=180故答案为：18014将集合2x+2y+2z|x，y，zN，xyz中的数从小到大排列，第100个数为524（用数字作答）【考点】集合的表示法【分析】规定2x+2y+2z=（x，y，z）=bk，b1b2b3，则b1=20+21+22=（0，1，2），C22，依次为（0，1，3），（0，2，3），（1，2，3），C32，而+16=100，即可得出【解答】解：规定2x+2y+2z=（x，y，z）=bk，b1b2b3，则b1=20+21+22=（0，1，2），C22依次
16、为（0，1，3），（0，2，3），（1，2，3），C32（0，1，4），（0，2，4），（1，2，4），（0，3，4），（1，3，4），（2，3，4），C42，（0，1，8），（0，2，8），（5，7，8），（6，7，8），+16=100，（0，1，9），（0，2，9），（0，3，9），（0，4，9），（0，5，9），（0，6，9），（0，7，9），（0，8，9），（1，2，9），（1，3，9），（1，4，9），（1，5，9），（1，6，9），（1，7，9），（1，8，9），（2，3，9）因此bk=22+23+29=524故答案为：524二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内
17、作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15用计算机随机产生的有序二元数组（x，y）满足1x1，1y1（1）若x，yZ，求事件“x2+y21”的概率（2）求事件“x2+y21”的概率【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）先确定基本事件总数n=33=9，满足x2+y21，所有事件（1，0）（0，0）（0，1），m=3，即可求得事件“x2+y21”的概率；（2）本题是一个几何概型，试验发生包含的事件对应的集合是=（x，y）|1x1，1y1，满足条件的事件对应的集合是A=（x，y）|1x1，1y1，x2+y21，做出两个集合对应的图形的面积，根据几何概型概率公式得
18、到结果【解答】解：（1）x1，0，1； y1，0，1基本事件总数n=33=9x2+y21，所有事件（1，0）（0，0）（0，1），m=3所求概率为=；（2）试验发生包含的事件对应的集合是=（x，y）|1x1，1y1，它的面积是22=4，满足条件的事件对应的集合是A=（x，y）|1x1，1y1，x2+y21集合A对应的图形的面积是边长为2的正方形内部，且圆的外部，面积是4根据几何概型的概率公式得到P=16如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB（1）求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值；（2）点E在侧棱AA1上，若二面角EBDC1的余弦值为，求的值【考点】直线与平面所成的角；用
19、空间向量求平面间的夹角【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值；（2）求出平面的法向量，根据二面角与平面法向量之间的关系进行求解即可【解答】解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz设AB=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）（1）设AD1与面BB1D1D所成角的大小为，设平面BB1D1D的法向量为=（x，y，z），则=0，即x+y=0，z=0令x=1，则y
20、=1，所以n=（1，1，0），sin=|cos|=，所以AD1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（2）设E（1，0，），02设平面EBD的法向量为=（x1，y1，z1），平面BDC1的法向量为=（x2，y2，z2），由， =0，得x1+y1=0，x1+z1=0，令z1=1，则x1=，y1=，n1=（，1），由，得x2+y2=0，y2+2z2=0，令z2=1，则x2=2，y2=2，n2=（2，2，1），cos=，所以，得=1所以17一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向已知该网民购买A种商品的概率为，购买B种商品的槪率为，购买C种商品的概率为假设该网民
21、是否购买这三种商品相互独立（1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的槪率分布和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）记“记网民购买i种商品”为事件Ai，i=2，3，分别求出P（A3）和P（A2），由此能求出该网民至少购买2种商品的概率（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和E【解答】解：（1）记“记网民购买i种商品”为事件Ai，i=2，3，则P（A3）=，P（A2）=+=，该网民至少购买2种商品的概率：p=p（A1）+P（A2）=（2）
22、随机变量的可能取值为0，1，2，3，P（=0）=（1）（1）（1）=，P（=2）=P（A2）=，P（=3）=P（A3）=，P（=1）=1=，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 PE=18已知（其中n15）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列（1）求n的值；（2）写出它展开式中的所有有理项【考点】二项式系数的性质【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出通项求出各项的二项式系数，利用等差数列的定义列出方程解得；（2）先求得展开式的通项公式，在通项公式中令x的幂指数为有理数，求得r的值，即可求得展开式中有理项【解答】解：（1）（其中n15）的展开式中第9项，第10项，第11
23、项的二项式系数分别是，依题意得：化简得90+（n9）（n8）=210（n8），即：n237n+322=0，解得n=14或n=23，因为n15，所以n=14（2）展开式的通项，展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，0r14，所以展开式中的有理项共3项是：；19已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MDCD，连接CM，交椭圆于点P证明：为定值（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若
24、不存在，请说明理由【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为（2）设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQDP，再由，由此可知存在Q（0，0）满足条件【解答】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，b2=2；椭圆方程为（2）C（2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得x1=，（定值）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQDP则由，从而得
25、m=0存在Q（0，0）满足条件20已知数列an满足an+1=anan+1，且a1=2（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）求证：2nna3nn【考点】数学归纳法；数列递推式【分析】（1）由an+1=anan+1，且a1=2，分别令 n=2，3，4即可求解，进而可猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可；（2）由（1）可得an=n+1，从而有=（n+1）n，利用二项式定理展开式以及构造函数，利用单调性证明【解答】解：（1）由已知an+1=anan+1，且a1=2得到a2=a1+1=3，a3=2a2+1=4，a4=3a3+1=5；由此猜测数列an的通项公式为an=n+1；证明：n=1，2，3，4显然成立；假设n=k时成立，即ak=k+1，则n=k+1时，ak+1=kak+1=（k+1）2k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1；所以n=k+1时，数列an=n+1也成立；所以数列an的通项公式an=n+1对任意nN+都成立；（2）因为an=n+1，所以=（n+1）n=2nn；构造函数f（x）=（1+）x，则f（x）=（1+）xln（1+）（）0，所以函数f（x）为减函数，又x1，所以f（x）f（1）=23，所以=3，即（n+1）n3nn；所以2nna3nn2016年7月21日高考资源网版权所有，侵权必究！