1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。1.2.4二面角 导思1.什么是二面角？2怎样求二面角的大小？1.二面角的定义及相关概念二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角棱这条直线称为二面角的棱面这两个半平面称为二面角的面范围0180二面角的平面角在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角AOB称为二面角的平面角直二面角平面角是直角的二面角称为直二面角两个相交平面所成的角两个相交平面所形成的四个二面角中，不小于0且不大于9
2、0的角二面角的大小、二面角的平面角的大小、两个相交平面所成角的大小的范围是相同的吗？提示：不相同二面角的大小和二面角的平面角的大小的范围是，两个相交平面所成角的大小的范围是.2射影面积公式已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为S，平面和平面所成的二面角的大小为，则cos .如图，若ABC在平面上的射影为ABC，二面角ABCA的大小为，则cos ，SABC，SABC的关系是怎样的？提示：cos .3用向量的夹角度量二面角设平面与所成角的大小为，n1，n2为两个非零向量(1)当n1，n2，n1l，n2l，且n1，n2的方向分别与半平面，的延伸方向相同，则n1，n2(2)当n1
3、，n2，则n1，n2或n1，n2二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有什么关系？提示：二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)二面角是指两个平面相交的图形()(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内且都与棱垂直()(3)两个半平面的法向量的夹角的大小与二面角的大小相等()提示：(1).二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形(2).根据二面角的平面角的定义可得(3).相等或互补2如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A相等 B互补C相等或互补 D不能确定【解析】选C
4、.由等角定理可知这两个二面角的平面角相等或互补3.(教材例题改编)如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小等于_【解析】因为PA平面ABC，所以PAAB，PAAC，所以BAC为二面角BPAC的平面角，又BAC90.所以所求二面角的大小为90.答案：90关键能力合作学习类型一二面角的概念及利用定义法求二面角(数学抽象、直观想象)1如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为()A B C D2已知二面角l的大小是，m，n是异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A B
5、 C D3在边长为a的正ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，BCa，这时二面角BADC的大小为()A30 B45 C60 D90【解析】1.选B.根据题意，EF平面ADD1A1，所以ED1EF，EDEF，所以D1ED是平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的平面角，在RtD1ED中，ED，ED1，所以cos D1ED.2选C.如图，过二面角l内一点P，分别作PAm，PBn，则PA，PB，且l平面PAB.设平面PAB交l于O，则lOA，lOB，AOB为二面角l的平面角，即AOB，故APB，则异面直线m，n所成的角为.3选C.在边长为a的正ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面
6、角BADC，由定义知，BDC为所求二面角的平面角，又BCBDDCa，所以BDC为等边三角形，所以BDC60.用定义求二面角的步骤(1)作(找)出二面角的平面角；(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；(3)解三角形求角类型二利用三垂线定理或射影面积公式求二面角(直观想象、数学运算)【典例】已知在三棱锥PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC.求二面角BAPC的余弦值四步内容理解题意条件：三棱锥PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC.结论：求二面角BAPC的余弦值思路探求可利用三垂线定理作出二面角的平面角，再求解；还可用射影面积公式求解书写表达方法一：如图，过点B作BEAC于点E，
7、则E为AC的中点，过点E作EFPA于点F，连接BF.因为PC平面ABC，PC平面PAC，四步内容书写表达所以平面PAC平面ABC.又因为BEAC，BE平面ABC，平面ABC平面PACAC，所以BE平面PAC.由三垂线定理有BFPA，所以BFE是二面角BPAC的平面角设PC1，由E是AC中点，得BE，EFsin 45，所以BF，所以cos BFE.方法二：(利用射影面积公式)如图，过点B作BEAC于点E，连接PE.四步内容书写表达因为PC平面ABC，AC平面PAC，所以平面PAC平面ABC.所以PAE是PAB在平面PAC上的射影设PC1，则PAPB，AB1，所以PAB中AB边上的高h.所以SPA
8、B，又SPAESPAC.设二面角BPAC的大小为，由射影面积公式有cos .注意书写的规范性：利用三垂线定理作二面角的平面角的步骤；利用射影面积公式求相应图形的面积题后反思三垂线定理或其逆定理的作用在于作二面角的平面角，而射影面积公式不需要作1用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角的作法：(1)在其中一个面内找一特殊点A，过A作另一个平面的垂线，垂足为B；(2)过A作棱的垂线，垂足为C(或过B作棱的垂线，垂足为C)，连接BC(或连接AC)；(3)由三垂线的逆定理(及三垂线定理)得平面角ACB.2对射影面积公式的理解：(1)来源：三垂线定理(2)适用范围：当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它
9、在另一个半平面上的射影的面积已知或者已求出(3)优势：不需要作出二面角的平面角如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1，ABC60.(1)证明：ABA1C；(2)求二面角AA1CB的正切值【解析】(1)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以ABAA1，在ABC中，AB1，AC，ABC60，所以BAC90，即ABAC.又ACAA1A，所以AB平面ACC1A1.又A1C平面ACC1A1，所以ABA1C.(2)如图，作ADA1C于D点，连接BD.由三垂线定理知BDA1C，所以ADB为二面角AA1CB的平面角在RtAA1C中，AD.在RtBAD中，tan ADB，所以二面角AA1
10、CB的正切值为.类型三利用向量法求二面角(逻辑推理、数学运算)利用棱的垂线的方向向量求二面角【典例】如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB4，AC6，BD8，CD2，则这个二面角的度数为()A30 B45 C60 D120【思路导引】利用空间向量的数量积及其性质求解【解析】选C.设所求二面角的大小为，则，.因为，所以2()2222222，即(2)2824262286cos ，所以cos .因为0180，所以60.若本例改为：如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则点B与点D两点间的
11、距离是()A B C1 D【解析】选D.因为四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，所以0，又大小为45的二面角AEFD中，所以11cos (18045).因为，所以22222223，所以|.利用半平面的法向量求二面角【典例】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA1ACBC，ACB90，M为AB的中点(1)求证：AC1平面B1CM；(2)求二面角AC1MB1的正弦值【思路导引】(1)连接BC1，设BC1B1CO，连接OM，由三角形中位线定理可得OMAC1，再由直线与平面平行的判定可得AC1平面B1CM；(2)以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z
12、轴建立空间直角坐标系，令BC1，求出所用点的坐标，分别求出平面AMC1与平面B1C1M的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角AC1MB1的正弦值【解析】(1)连接BC1，设BC1B1CO，连接OM，因为四边形BCC1B1为矩形，所以O为BC1的中点，又因为M为AB的中点，所以OMAC1，因为OM平面B1CM，AC1平面B1CM，所以AC1平面B1CM；(2)如图，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系令BC1，则A(，0，0)，C1(0，0，)，B1(0，1，)，M.则，MC1，MB1.设平面AMC1的一个法向量为m(x1，y1，z1).由，
13、取x11，得m(1，1)；设平面B1C1M的一个法向量为n(x2，y2，z2).由，取x21，得n.设二面角AC1MB1的平面角为，则|cos |，则sin .即二面角AC1MB1的正弦值为.利用向量法求二面角的两种方法方法一：分别在二面角l的面，内，沿，延伸的方向作向量n1l，n2l，则可用n1，n2度量这个二面角的大小方法二：通过法向量求解设m1，m2，则m1，m2与该二面角相等或互补1如图，二面角l等于120，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面，内，ACl，BDl，且2ABACBD2，则CD的长等于()A2 B C4 D5【解析】选B.过点D作ODl，OABD，ODOAO，因为A
14、Cl，BDl，ODAB1，OABD2，OC，CD.2已知平面的一个法向量为n1(1，3，)，平面的一个法向量为n2(5，1，)，若l，则二面角l的余弦值为()A BC或 D或【解析】选C.因为平面的一个法向量为n1(1，3，)，平面的一个法向量为n2(5，1，)，所以cos n1，n2.所以二面角l的余弦值为或.3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，A1AABAC，D是AB的中点(1)证明：AC平面AA1B1B；(2)求二面角C1B1DA1的正弦值【解析】(1)由直三棱柱ABCA1B1C1性质知：AA1平面ABC，因为AC平面ABC，所以AA1AC，因为ABAC，ABAA1A，AB
15、平面AA1B1B，AA1平面AA1B1B，所以AC平面AA1B1B；(2)由(1)知AA1，AB，AC两两垂直，以A为原点，分别以AA1，AB，AC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB2.则D(0，1，0)，B1(2，2，0)，C1(2，0，2)，DB1(2，1，0)，DC1(2，1，2)，设平面B1C1D的一个法向量m(x，y，z)，则，取x1，得m(1，2，2)，平面A1B1D的一个法向量n(0，0，1)，所以cos m，n，所以二面角C1B1DA1的正弦值为.【补偿训练】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABAD，PA底面ABCD，E为BP的中点，AB2
16、，PAADCD1.(1)证明：EC平面PAD；(2)求二面角EACP的正弦值【解析】(1)如图，取AP的中点F，连接EF，DF，因为BEPE，PFAF，所以EF綊AB，因为直角梯形ABCD中，ABCD，AB2，PAADCD1，所以CD綊AB，所以CD綊EF，所以四边形EFDC是平行四边形，所以ECFD，因为DF平面PAD，EC平面PAD，所以EC平面PAD.(2)如图，因为PA平面ABCD，ABAD，所以AP，AB，AD两两垂直，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(2，0，0)，E，(0，0，1)，(1
17、，1，0)，设平面APC的法向量m(x，y，z)，则，取x1，得m(1，1，0)，设平面EAC的法向量n(a，b，c)，则，取a1，得n(1，1，2)，设二面角EACP的平面角为，则cos ，sin .所以二面角EACP的正弦值为.课堂检测素养达标1二面角是指()A直线与平面所成的角就是直线的方向向量与平面的法向量所成的角B一个平面绕着这个平面内的一条直线旋转而成的图形C从一条直线出发的两个半平面所组成的图形D以两个相交平面交线上任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角【解析】选C.根据二面角的定义，可知C选项正确其中D选项是二面角的平面角的定义2设平面与平面的夹
18、角为，若平面，的法向量分别为n1和n2，则cos ()A BC D【解析】选B.平面，的法向量分别为n1和n2，若两个平面的夹角为，又两平面夹角的范围是，则cos .3在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角A1BDC1的余弦值是_【解析】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，DA1(1，0，1)，(1，1，0).设n(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，则即令x1，则y1，z1，此时n(1，1，1).同理，求得平面BC1D的一个法向量m(1，1，1)，则cos m，n，所以二面角A1BDC1的余弦值为.答案：4若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，求这个二面角的大小【解析】设二面角大小为，由题意可知|cos |，所以cos ，所以60或120.关闭Word文档返回原板块