1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。1.2.2空间中的平面与空间向量 导思1.什么是平面的法向量？它在解决线面位置关系中有何用途？2什么是三垂线定理及其逆定理？1.平面的法向量(1)定义：如果是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面垂直，则称n为平面的一个法向量此时也称n与平面垂直，记作n(2)性质：如果A，B是平面上的任意不同两点，n为平面的一个法向量，则：1若直线l，则l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量2对任意实数0，n是平面的一个法向量3向量一定与n垂直，
2、即n0平面的法向量唯一吗？它们有什么共同特征？提示：不唯一，都平行2空间线面的位置关系与空间向量若v是直线l的一个方向向量，n1，n2分别是平面1，2的一个法向量，则：1n1v l12n1v l1或l13n1n2124n1n212或1，2重合已知v是直线l的一个方向向量，n是平面的一个法向量，如果nv，那么直线l一定与平面平行吗？提示：不一定，也可能l.3三垂线定理及其逆定理射影已知平面和一点A，过点A作的垂线l，设l与相交于点A，则A就是点A在平面内的射影，也称为投影三垂线定理如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线
3、和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)已知直线l垂直于平面，向量a平行直线l，则a是平面的法向量()(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行()(3)若a是平面的一条斜线，直线b垂直于a在内的射影，则ab.()提示：(1).向量a必须为非零向量(2).(3).因为b不一定在平面内，所以a与b不一定垂直2若a(1，2，3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()A(0，1，2) B(3，6，9)C(1，2，3) D(3，6，8)【解析】选B.向量(1，2，3)与向量(3，6，9)
4、共线3(教材例题改编)已知PO平面ABC，且O为ABC的垂心，则AB与PC的关系是_【解析】因为O为ABC的垂心，所以COAB.又因为OC为PC在平面ABC内的射影，所以由三垂线定理知ABPC.答案：垂直关键能力合作学习类型一平面的法向量(数学运算)1若两个向量(1，2，3)，(3，2，1)，则平面ABC的一个法向量为()A(1，2，1) B(1，2，1)C(1，2，1) D(1，2，1)2已知点A(2，1，2)在平面内，n(3，1，2)是平面的一个法向量，则下列点P中，在平面内的是()AP(1，1，1) BPCP DP3正四棱锥如图所示，在向量，中，不能作为底面ABCD的法向量的是_【解析】
5、1.选A.两个向量(1，2，3)，(3，2，1)，设平面ABC的一个法向量n(x，y，z)，则，取x1，得平面ABC的一个法向量为(1，2，1).2选B.设P(x，y，z)，则(x2，y1，z2)；由题意知，n，则n0；所以3(x2)(y1)2(z2)0，化简得3xy2z9.验证得在A中，311214，不满足条件；在B中，31329，满足条件；同理验证C、D不满足条件3连接AC，BD，交于点O，连接OP，则是底面ABCD的一个法向量，0，不能作为底面ABCD的法向量；2，能作为底面ABCD的法向量；2，能作为底面ABCD的法向量；4，能作为底面ABCD的法向量答案：求平面ABC的一个法向量的方
6、法1平面垂线的方向向量法：证明一条直线为一个平面的垂线，则这条直线的一个方向向量即为所求2待定系数法：步骤如下：类型二三垂线定理及其逆定理的应用(直观想象、逻辑推理)【典例】如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，若O，Q分别是ABC和PBC的垂心，求证：OQ平面PBC.【思路导引】利用三垂线定理及其逆定理证明【证明】如图，连接AO并延长交BC于点E，连接PE.因为PA平面ABC，AEBC(由于O是ABC的垂心)，所以PEBC，所以点Q在PE上因为BC平面PAEBCOQ.连接BO并延长交AC于点F，则BFAC.连接BQ并延长交PC于点M，则BMPC.连接MF.因为PA平面ABC，BFAC，
7、所以BFPC(三垂线定理).因为PC平面BMFPCOQ.由，知OQ平面PBC.利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的基本环节在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C平面BDC1.【证明】连接AC，CD1，在正方体中，AA1平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD内的射影，又ACBD，所以BDA1C.同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影所以C1DA1C.又C1DBDD，所以A1C平面BDC1.类型三利用空间向量证明线面、面面的位置关系(逻辑推理)证明平行问题【典例】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点设Q是CC1上的点当点Q在什么
8、位置时，BQ平面PAO?【思路导引】建立恰当的坐标系，设出点Q的坐标，由BQ平面PAO确定其位置即可【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2).再设Q(0，2，c)，所以(1，1，0)，(1，1，1)，(2，0，c)，BD1(2，2，2).设平面PAO的法向量为n(x，y，z)，则所以令x1，则y1，z2.所以平面PAO的一个法向量为n(1，1，2).若BQ平面PAO，则nBQ，所以n0，即22c0，所以c1，故当Q为CC1的中点时，BQ平面PAO.本例若把“Q是CC1上的点”改为
9、“Q是CC1的中点”，其他条件不变，求证：平面D1BQ平面PAO.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，Q(0，2，1)，所以(1，1，0)，(1，1，1)，(2，0，1)，BD1(2，2，2).设平面PAO的法向量为n1(x，y，z)，则，所以，令x1，则y1，z2.所以平面PAO的一个法向量为n1(1，1，2).同理可求平面D1BQ的一个法向量为n2，因为n1n2，所以n1n2，所以平面D1BQ平面PAO.证明垂直问题【典例】在如图所示的几何体中，平面CDEF为正方形，平面ABC
10、D为等腰梯形，ABCD，AB2BC，ABC60，ACFB.(1)求证：AC平面FBC；(2)线段ED上是否存在点Q，使平面EAC平面QBC？证明你的结论【思路导引】(1)利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得ACBC，再利用已知ACFB和线面垂直的判定定理即可证明；(2)通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量是否垂直即可【解析】(1)因为AB2BC，ABC60，在ABC中，由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcos 603BC2，所以AC2BC24BC2AB2，所以ACB90，所以ACBC.又因为ACFB，FBBCB，所以AC平面FBC.(2)线段ED上不存在点Q，使平面EAC平面QB
11、C.证明如下：因为AC平面FBC，所以ACFC.因为CDFC，所以FC平面ABCD.所以CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系在等腰梯形ABCD中，可得CBCD.设BC1，所以C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，D(，0)，E.所以，(，0，0)，(0，1，0).设平面EAC的法向量为n(x，y，z)，则，所以，取z1，得n(0，2，1).假设线段ED上存在点Q，设Q(0t1)，所以.设平面QBC的法向量为m(a，b，c)，则，所以，取c1，得m.要使平面EAC平面QBC，只需mn0，即t002110，此方程无解所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC平面QBC.利
12、用空间向量证明平行、垂直问题的常用思路线面平行(1)求出直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，只需证明au，即au0.(2)在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可面面平行(1)转化为相应的线线平行或线面平行(2)求出平面，的法向量u，v，证明uv即可说明.线面垂直求出平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量和它们都垂直面面垂直(1)转化为线面垂直(2)求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则
13、有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以FC1(0，2，1)，(2，0，0)，(0，2，1).(1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即，令z12y11，所以n1(0，1，2)，因为n1220，所以n1，又因为FC1平面ADE，即FC1平面ADE.(2)因为(2，0，0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2，n2，得.令z22y21，所以n2(0，1，2)，所以n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC
14、的中点，在CC1上求一点P，使平面A1B1P平面C1DE.【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体棱长为2，且P(0，2，a)，则D(0，0，0)，E(1，2，0)，C1(0，2，2)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，则(1，2，0)，(0，2，2)，设n1(x1，y1，z1)且n1平面DEC1，则，取n1(2，1，1).又(2，2，a2)，(0，2，0)，设n2(x2，y2，z2)且n2平面A1B1P，则，取n2(a2，0，2).由平面A1B1P平面C1DE，得n1n20，即2(a2)20，解得a1.故P为CC1的中点【补偿训练
15、】在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB于点F.求证：(1)PA平面EDB.(2)PB平面EFD.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系D是坐标原点，设DCa.(1)连接AC交BD于G，连接EG，依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E.因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为，所以.又(a，0，a)，所以2，这表明PAEG.而EG平面EDB，且PA平面EDB，所以PA平面EDB.(2)依题意得B(a，a，0)，(a，a，a)，所以00，所以，即PBDE.又已知EFPB，且EFD
16、EE，所以PB平面EFD.课堂检测素养达标1设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，l，则使l成立的是()Aa(1，1，2)，n(1，1，2)Ba(2，1，3)，n(1，1，1)Ca(1，1，0)，n(2，1，0)Da(1，2，1)，n(1，1，2)【解析】选B.因为直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，l，使l成立，所以an0，在A中，an1146，故A错误；在B中，an2130，故B成立；在C中，an211，故C错误；在D中，an1221，故D错误2(教材练习改编)若平面与的法向量分别是a(2，4，3)，b(1，2，2)，则平面与的位置关系是()A平行 B垂直C相交但不垂直 D无法确定
17、【解析】选B.ab(2，4，3)(1，2，2)2860，所以ab，所以平面与平面垂直3已知平面内有一个点M(1，1，2)，平面的一个法向量是n(6，3，6)，则下列点P中在平面内的是()AP(2，3，3) BP(2，0，1)CP(4，4，0) DP(3，3，4)【解析】选A.设平面内一点P(x，y，z)，则：(x1，y1，z2)，因为n(6，3，6)是平面的法向量，所以n，n6(x1)3(y1)6(z2)6x3y6z21，所以由n0得6x3y6z210，所以2xy2z7，把各选项的坐标数据代入上式验证可知A适合4正三棱锥PABC中，BC与PA的位置关系是_【解析】如图，在正三棱锥PABC中，P在底面ABC内的射影O为正三角形ABC的中心，连接AO，则AO是PA在底面ABC内的射影，且BCAO，所以BCPA.答案：BCPA关闭Word文档返回原板块