1、高考资源网（） 您身边的高考专家2016-2017学年江苏省镇江市高三（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1已知集合A=1，2，3，B=2，4，5，则集合AB中元素的个数为2复数z=（12i）（3+i），其中i为虚数单位，则|z|是3若圆锥底面半径为2，高为，则其侧面积为4袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为5将函数y=5sin（2x+）的图象向左平移（0）个单位后，所得函数图象关于y轴对称，则=6数列an为等比数列，且a1+1，a3+4a5+7成等差数列，则公差d等于7已知f（x）是定义在R上
2、的奇函数，当x0时，f（x）=x24x，则不等式f（x）x的解集为8双曲线的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为9圆心在直线y=4x上，并且与直线l：x+y1=0相切于点P（3，2）的圆的方程为10已知椭圆为常数，mn0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则=11定义在（0，）的函数f（x）=8sinxtanx的最大值为12不等式logaxln2x4（a0，且a1）对任意x（1，100）恒成立，则实数a的取值范围为13已知函数y=与函数y=的图象共有k（kN*）个公共点，A1（x1，y1），A2（x2，y2），Ak（xk，yk），则（xi+yi）=
3、14已知不等式（mn）2+（mlnn+）22对任意mR，n（0，+）恒成立，则实数的取值范围为二、解答题（共6小题，满分90分）15（14分）已知向量=（cos，1），=（2，sin），其中，且（1）求cos2的值；（2）若sin（）=，且，求角16（14分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=EC=求证：（1）AC1平面BDE；（2）A1E平面BDE17（14分）如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC=200m，斜边AB=400m，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F（1）若甲、乙都以每分钟100
4、m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；（2）设CEF=，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且DEF=，请将甲乙之间的距离y表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离18（16分）已知椭圆C：的离心率为，且点（，）在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于点P，Q，线段PQ的中点为H，O为坐标原点且OH=1，求POQ面积的最大值19（16分）已知nN*，数列an的各项为正数，前n项的和为Sn，且a1=1，a2=2，设bn=a2n1+a2n（1）如果数列bn是公比为3的等比数列，求S2n；（2）如果对任
5、意nN*，Sn=恒成立，求数列an的通项公式；（3）如果S2n=3（2n1），数列anan+1也为等比数列，求数列an的通项公式20（16分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（x21）（为常数）（1）已知函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处有相同的切线，求实数的值；（2）如果，且x1，证明f（x）g（x）；（3）若对任意x1，+），不等式f（x）g（x）恒成立，求实数的取值范围2016-2017学年江苏省镇江市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1已知集合A=1，2，3，B=2，4，5，则集合AB中元素的个数为5【考点】并集及其运算
6、【分析】求出AB，再明确元素个数【解答】解：集合A=1，2，3，B=2，4，5，则AB=1，2，3，4，5；所以AB中元素的个数为5；故答案为：5【点评】题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2复数z=（12i）（3+i），其中i为虚数单位，则|z|是5【考点】复数求模【分析】根据复数模长的定义直接求模即可【解答】解：复数z=（12i）（3+i），i为虚数单位，则|z|=|（12i）|（3+i）|=5故答案为：5【点评】本题考查了复数求模长的应用问题，是基础题目3若圆锥底面半径为2，高为，则其侧面积为6【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】首先根据底面
7、半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可【解答】解：圆锥的底面半径为2，高为，母线长为： =3，圆锥的侧面积为：rl=23=6，故答案为：6【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键4袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为0.6【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】基本事件总数n=10，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m=，由此能求出这2只球颜色不同的概率【解答】解：袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次
8、随机摸出2只球，基本事件总数n=10，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m=，这2只球颜色不同的概率为p=故答案为：0.6【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用5将函数y=5sin（2x+）的图象向左平移（0）个单位后，所得函数图象关于y轴对称，则=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】求得y=5sin（2x+）的图象向左平移（0）个单位后的解析式，利用正弦函数的对称性可得的值【解答】解：y=5sin（2x+）的图象向左平移（0）个单位后得：g（x）=f（x+）=2sin（2x+2+），g（x）=2sin（2x+2+）的图象关于
9、y轴对称，g（x）=2sin（2x+2+）为偶函数，2+=k+，kZ，=k+，kZ0，=故答案为：【点评】本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换，求得函数图象平移后的解析式是关键，考查综合分析与运算能力，属于中档题6数列an为等比数列，且a1+1，a3+4a5+7成等差数列，则公差d等于3【考点】等比数列的通项公式【分析】设出等比数列的公比，由a1+1，a3+4a5+7成等差数列求得公比，再由等差数列的定义求公差【解答】解：设等比数列an的公比为q，则，由a1+1，a3+4a5+7成等差数列，得，即q2=1d=故答案为：3【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计
10、算题7已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=x24x，则不等式f（x）x的解集为（5，0）（5，+）【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x0的解析式，解不等式即可【解答】解：若x0，则x0，当x0时，f（x）=x24x，当x0时，f（x）=x2+4x，f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=x2+4x=f（x），则f（x）=x24x，x0，当x0时，不等式f（x）x等价为x24xx即x25x0，得x5或x0，此时x5，当x0时，不等式f（x）x等价为x24xx即x2+5x0，得5x0，当x=0时，不等式f（x）x等价为00不成立，综上，不等式的解为x5或5
11、x0，故不等式的解集为（5，0）（5，+），故答案为：（5，0）（5，+）【点评】本题主要考查不等式的解集的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键8双曲线的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为1+【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得c=2a，化简整理，结合离心率公式，即可得到所求值【解答】解：双曲线的焦点（c，0）到相应准线x=的距离等于实轴长2a，可得c=2a，即c22aca2=0，解得c=（1+）a或c=（1）a（舍去），即有离心率e=1+故答案为：1+【点评】本题考查双曲线的几何性质的运用，主要考查准线和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题9圆心
12、在直线y=4x上，并且与直线l：x+y1=0相切于点P（3，2）的圆的方程为（x1）2+（y+4）2=8【考点】圆的标准方程【分析】设出圆心坐标，利用直线与圆相切，求出x的值，然后求出半径，即可得到圆的方程【解答】解：设圆心O为（x，4x） kop=kL=1 又相切kopkL=1x=1O（1，4）r=所以所求圆方程为（x1）2+（y+4）2=8故答案为：（x1）2+（y+4）2=8【点评】本题是基础题，考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，考查计算能力10已知椭圆为常数，mn0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则=m【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意画出图
13、形，再由数量积的坐标运算可得答案【解答】解：如图，F1（c，0），F2（c，0），设P（x0，y0），则，=（x0+c，y0）（x0c，y0）=b2+c2=a2=m故答案为：m【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量在圆锥曲线问题中的应用，是中档题11定义在（0，）的函数f（x）=8sinxtanx的最大值为【考点】三角函数的最值【分析】利用导函数研究其单调性，求其最大值【解答】解：函数f（x）=8sinxtanx，那么：f（x）=8cosx=，令f（x）=0，得：cosx=x（0，），x=当x（0，）时，f（x）0，函数f（x）在区间（0，）上是单调增函数当x（，）时，f（x）0，函数
14、f（x）在区间（，）上是单调减函数当x=时，函数f（x）取得最大值为故答案为：【点评】本题考查了利用导函数研究其单调性，求其最大值的问题属于基础题12不等式logaxln2x4（a0，且a1）对任意x（1，100）恒成立，则实数a的取值范围为（0，1）（，+）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】不等式转化为（lnx）2+4，令t=lnx，得到t2+4在t（0，ln100）恒成立，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：不等式logaxln2x4，（lnx）2+4，令t=lnx，x（1，100），t=lnx（0，ln100），t2+4在t（0，ln100）恒成立，0
15、a1时，lna0，显然成立，a1时，lna0，故lna，令g（t）=，t（0，ln100），则g（t）=，令g（t）0，解得：0t2，令g（t）0，解得：t2，故g（t）在（0，2）递增，在（2，+）递减，故g（t）g（2）=，故lna，解得：a，综上，a（0，1）（，+），故答案为：（0，1）（，+）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题13已知函数y=与函数y=的图象共有k（kN*）个公共点，A1（x1，y1），A2（x2，y2），Ak（xk，yk），则（xi+yi）=2【考点】函数的图象【分析】f（x）关于（0，1）对称，同理g（x）=关于
16、（0，1）对称，如图所示，两个图象有且只有两个交点，即可得出结论【解答】解：由题意，函数f（x）=2，f（x）+f（x）=2，f（x）关于（0，1）对称，同理g（x）=关于（0，1）对称，如图所示，两个图象有且只有两个交点，（xi+yi）=2，故答案为2【点评】本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14已知不等式（mn）2+（mlnn+）22对任意mR，n（0，+）恒成立，则实数的取值范围为21或21【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】问题看作点（m，m+），（n，lnn）两点的距离的平方，即为直线y=x+和直线y=lnx的距离的最小值
17、，当y=lnx的切线斜率为1时，求出y=lnx在（1，0）处的切线与y=x+的最小值，解出即可【解答】解：不等式（mn）2+（mlnn+）22对任意mR，n（0，+）恒成立，看作点（m，m+），（n，lnn）两点的距离的平方，即为直线y=x+和直线y=lnx的距离的最小值，当y=lnx的切线斜率为1时，y=1，点（1，0）处的切线与y=x+平行，距离的最小值是d=2，解得：21或21，故答案为：21或21【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查平行线的距离，问题转化为直线y=x+和直线y=lnx的距离的最小值是解题的关键，本题是一道中档题二、解答题（共6小题，满分90分）15（14分）已知向
18、量=（cos，1），=（2，sin），其中，且（1）求cos2的值；（2）若sin（）=，且，求角【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】（1）由已知得=2cossin=0，从而sin2+cos2=5cos2=1，进而cos2=，由此能求出cos2（2）由cos2=，得cos=，sin=，由sin（）=，且，得sin=2cos，由此能求出的值【解答】解：（1）向量=（cos，1），=（2，sin），其中，且=2cossin=0，sin2+cos2=5cos2=1，cos2=，cos2=2cos21=（2）cos2=，cos=，sin=，sin（）=，且，sincoscossin=，2c
19、ossin=，sin=2cos，sin2+cos2=5cos22=0，解得cos=或cos=（舍），=【点评】本题考查角的余弦值的求法，考查角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用16（14分）（2016秋镇江期末）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=EC=求证：（1）AC1平面BDE；（2）A1E平面BDE【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）证明线面平行，只需证明直线与平面内的一条直线平行即可连接AC与DB交于O，连接OE，AC1OE，即可证明AC1平面BDE（2）证明线面垂直，只需证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可连接OA
20、1，可证OA1DB，OEDB，平面A1OEDB可得A1EDB利用勾股定理证明A1EEB即可得A1E平面BDE【解答】解：（1）ABCDA1B1C1D1是长方体，AB=BC=EC=可得平面ABCD和平面A1B1C1D1是正方形，E为CC1的中点连接AC与DB交于O，连接OE，可得：AC1OE，OE平面BDEAC1平面BDE（2）连接OA1，根据三垂线定理，可得OA1DB，OEDB，OA1OE=O，平面A1OEDB可得A1EDBE为CC1的中点设AB=BC=EC=AA1=a，A1E=，A1B=A1B2=A1E2+BE2A1EEBEB平面BDEBD平面BDEEBBD=B，A1E平面BDE【点评】本题
21、考查了线面平行，线面垂直的证明考查学生对书本知识的掌握情况以及空间想象，属于中档题17（14分）（2016秋镇江期末）如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC=200m，斜边AB=400m，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F（1）若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；（2）设CEF=，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且DEF=，请将甲乙之间的距离y表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离【考点】解三角形
22、【分析】（1）由题意，BD=300，BE=400，BDE中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离；（2）BDE中，由正弦定理可得=，可将甲乙之间的距离y表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离【解答】解：（1）由题意，BD=300，BE=400，ABC中，cosB=，B=，BDE中，由余弦定理可得DE=100m；（2）由题意，EF=2DE=2y，BDE=CEF=CEF中，CE=EFcosCEF=2ycosBDE中，由正弦定理可得=，y=，0，=，ymin=50m【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18（16分）（2016秋镇江期末）
23、已知椭圆C：的离心率为，且点（，）在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于点P，Q，线段PQ的中点为H，O为坐标原点且OH=1，求POQ面积的最大值【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】（1）由椭圆的离心率为，且点（，）在椭圆C上，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（2）设l与x轴的交点为D（n，0），直线l：x=my+n，联立，得（4+m2）x2+2mny+n24=0，由此利用韦达定理、弦长公式、均值定理，结合已知条件能求出POQ面积的最大值【解答】解：（1）椭圆C：的离心率为，且点（，）在椭圆C上解得a2=4，b2=1，椭圆C的方程为（2）设l与x轴
24、的交点为D（n，0），直线l：x=my+n，与椭圆交点为P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得（4+m2）x2+2mny+n24=0，y1，2=，=，即H（），由OH=1，得，则SPOQ=OD|y1y2|=|n|y1y2|，令T=1216，设t=4+m2，则t4， =，当且仅当t=，即t=12时，（SPOQ）max=1，POQ面积的最大值为1【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、均值定理、椭圆性质的合理运用19（16分）（2016秋镇江期末）已知nN*，数列an的各项为正数，前n项的和为Sn，且a1=1，a2=2
25、，设bn=a2n1+a2n（1）如果数列bn是公比为3的等比数列，求S2n；（2）如果对任意nN*，Sn=恒成立，求数列an的通项公式；（3）如果S2n=3（2n1），数列anan+1也为等比数列，求数列an的通项公式【考点】数列递推式【分析】（1）b1=a1+a2=3，可得bn=3n=a2n1+a2n利用分组求和与等比数列的求和公式即可得出S2n（2）对任意nN*，Sn=恒成立，可得n2时，an=SnSn1，化为： =，an0可得anan1=1，利用等差数列的通项公式即可得出（3）由S2n=3（2n1），且a1=1，a2=2，可得a1+a2+a3+a4=9，可得a3+a4=6由数列anan+
26、1也为等比数列，设公比为q=，可得数列an的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为q即可得出【解答】解：（1）b1=a1+a2=3，bn=3n=a2n1+a2nS2n=3+32+3n=（2）对任意nN*，Sn=恒成立，n2时，an=SnSn1=，化为： =，an0an1=an1，即anan1=1，an=1+（n1）=n（3）S2n=3（2n1），且a1=1，a2=2，a1+a2+a3+a4=3（221）=9=1+2+a3+a4，a3+a4=6数列anan+1也为等比数列，设公比为q=，数列an的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为qa3=q，a4=a2q=2q，q+2q=32，解得q=2=2n1
27、，a2n=2n可得an=（kN*）【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的定义通项公式与求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题20（16分）（2016秋镇江期末）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（x21）（为常数）（1）已知函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处有相同的切线，求实数的值；（2）如果，且x1，证明f（x）g（x）；（3）若对任意x1，+），不等式f（x）g（x）恒成立，求实数的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）先分别求导，再根据函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处有相同的切线，
28、得到f（1）=g（1），即可求出的值，（2）设h（x）=g（x）f（x）=（x21）xlnx，利用导数求出函数的最小值为0，即可证明（3）分离参数，构造函数m（x）=，多次利用导数和构造函数，判断出m（x）在1，+）为减函数，再根据极限的定义求出m（x）的最大值，问题即可解决【解答】解：（1）函数f（x）=xlnx，g（x）=（x21），f（x）=1+lnx，g（x）=2x，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处有相同的切线，f（1）=g（1），1+ln1=2，解得=，（2）当，且x1时，设h（x）=g（x）f（x）=（x21）xlnx，h（x）=x1lnx，令（x）=x1lnx，（x）=1
29、0在1，+）上恒成立，（x）min=（1）=11ln1=0，h（x）=x1lnx0，在1，+）上恒成立，h（x）在1，+）上递增，h（x）min=h（1）=0，当，且x1，f（x）g（x）成立，（3）对任意x1，+），不等式f（x）g（x）恒成立，xlnx（x21），设m（x）=，则m（x）=，令n（x）=x21（x2+1）lnx，则n（x）=2x2xlnx（x+）=，再令p（x）=x22xlnx1则p（x）=2x2（2xlnx+x）=4xlnx0在1，+）为恒成立，p（x）在1，+）为减函数，p（x）p（1）=0，n（x）0在1，+）为恒成立，n（x）在1，+）为减函数，n（x）n（1）=0，m（x）0在1，+）为恒成立，m（x）在1，+）为减函数，m（x）=，m（x），故的取值范围为（，【点评】本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性和最值得关系，以及证明不等式恒成立，和参数的取值范围，属于难题高考资源网版权所有，侵权必究！