1、3.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 1.求函数在点xo处的导数的方法 001()()().yf xxf x 求 函数的 增量002():()().f xxf xyxx求函数的增量与自变量的增量的比值0003|().limxxxyyfxx（）求极限，得00()()()limlim.xxyf xxf xfxyxx在不致发生混淆时，导函数也简称导数 2.导函数 当x=x0时,f（x0)是一个确定的数.那么,当x变化 时,f(x)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:00()6fxx()6f xx2()3f xxf(x)的导函数关系 3.如何求函数y=
2、f(x)的导数?1()()().yf xxf x 数求 函的 增 量2():()().yf xxf xxx 数变求函的增量与自量的增量的比值03()()lim.xyyfxx求 极 限，得 导 函 数1.能利用导数的定义推导函数yc，yx，yx2，yx3，yx-1的导数.2.能根据基本初等函数的求导公式，求简单函数的导数.（重点）探究点1 几种常见函数的导数 提示：根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式1:0c(c)为数常0(),()()=0,()()=0,()lim:.ccc0cxyf xyf xxf xyf xxf xxxyfxx 解所以1.函数y=f(x)=c的导数.2.y=f
3、(x)=x的导数()(),解：yf xxf xxxxx0011()limlim.xxyfxx 所以1()(),yf xxf xxxxx 3.y=f(x)=x2的导数 00 22()limlim().xxyfxxxxx 所以222(),yx xxxxxx 2222()()(),根据导数定义：，解yf xxf xxxxx xx2222()(),xxxx xx 为22x0 x0211-yf(x+x)-f(x)x+xx因=xxxx-(x+x)1=-,x(x+x)xx+xxy1所以y=l解im=lim(-)xx+xx1=-x：.14()yf xx.求函数的导数1()(Q)xx公式2:.yxy已知，求xy
4、xxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 【即时训练】1.函数f(x)=e的导数为()A.e B.0 C.不存在 D.不确定 2.函数y=在 处的导数值是()A.4 B.-4 C.-D.3.已知函数f(x)=x2在点(x0,y0)处的导数为1,则x0+y0=.1x1(,2)21414【即时训练】BB34【解答】3.由题意可知,f(x0)=1,又f(x)=2x，所以2x0=1，所以 答案:0000113xyxy.244，34探究点2 基本初等函数的导数公式（1）若f(x)=c,则 =_.（2）若f(x)=x(Q),则 =.（3）若f(x)=sinx,则 =_.（
5、4）若f(x)=cosx,则 =_.（5）若f(x)=ax,则 =.x-1 axlna(a0)cosx-sinx 0()fx()fx()fx()fx()fx（6）若f(x)=ex,则f(x)=_.（7）若f(x)=logax,则f(x)=_(a0,且a1).（8）若f(x)=lnx,则f(x)=_.ex axln1x1求下列函数的导数.(1)y=x7.(2)y=log2x.(3)y=cos(-x).(4)y=ln 3.(5)y=234 x.【即时训练】【解题关键】1.本题主要考查几个常用函数的导数,解决此题的关键是熟练掌握几个常用函数的导数.2.直接利用基本初等函数的导数公式求解即可,其中,(
6、3)(5)需要先对解析式进行化简.【自主解答】1.选D.y=(x3)=3x3-1=3x2.2.(1)y=(x7)=7x6.(2)y=(log2x)=(3)y=(cos(-x)=(sin x)=cos x.(4)y=(ln 3)=0.(5)y=1.xln 223134443(x)(x)x.4 000205150110%()(%).0tptp tpptp假设某国家在年期间的年均通货膨胀率为.物价（单位:元）与时间（单位：年）有如下关系:其中 为时的物价.假定某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0例 1）01 051 05导数().ln.tp tp解：由公式：，1
7、0101 051 05().ln.p所以0 08.(元/年）.10.0答:在第 个年头,这种商品的价格约以0 8元/年的速度上涨。.0510p 若某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？01 051 05().ln.,由导数公式：解tp tp105 0 80().0.4().p 所以元/年【变式练习】例2：（1）(2016池州高二检测)抛物线x2=2y上点(2,2)处的切线方程是 .（2）若曲线y=x3在点P处的切线斜率为3,则切点P的坐标为 .（3）(2016莆田高二检测)已知函数y=kx是曲线y=lnx的一条切线,则k=.【解题关键】1.先根据导数求出切线斜率,再利
8、用点斜式求出切线方程.2.设出点P坐标,利用导数直接求出点P的横坐标,再代入曲线方程求出纵坐标.3.设出切点坐标,利用切点既在切线上又在曲线上进行求解.【自主解答】1.由x2=2y得y=x2,则y=x,则在点(2,2)处的切线斜率为k=2,所以切线方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.答案:2x-y-2=0 122.设点P(x0,y0),因为曲线在点P处的切线斜率为3.所以 所以x0=1,又因为点P在曲线y=x3上,所以点P的坐标为(1,1)或(-1,-1).答案:(1,1)或(-1,-1)02x x0y|3x3,3.设切点为P(x0,y0),则y0=kx0,又切线斜率 所以y0=k
9、x0=1,又因为切点P(x0,y0)在曲线y=lnx上,所以y0=lnx0=1,所以x0=e,k=答案:0 x x01ky|,x 1.e1e【互动探究】在题3中,将函数y=lnx改为y=ex,则k=.【解析】设切点为P(x0,y0),则y0=kx0,又切线斜率 所以y0=kx0=又因为切点P(x0,y0)在曲线y=ex上,所以 所以x0=1,k=e.答案:e 00 xx xky|e,0 x0 x e,00 xx00yex e,【规律总结】利用导数的几何意义解决曲线切线问题的方法 1（2014威海高二检测）下列运算正确的是（）A.（sinx）=-cosx B（lgx）=1x C（5）=54 D（
10、log2x）=12lnx D 2.下列结论：(1)若y=cos x，则y=-sin x.(2)其中正确的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3 x 321112yy.3y,y|.x27x2x x 若，则若则D 3.（2016山东高考理科）若函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是 （）A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3【解题提示】利用基本初等函数的导数公式，求导后，表示出两“切线”的斜率，判断它们的乘积是否为-1.Ax5.f(x)=e,则(x)等于_;f(1)等于_.fe 4
11、.f(x)=80，则f(x)=_.a6.(1og x)_.axln10 xe8 7.(2015新课标全国卷文科)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.【解析】y=1+,则曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线斜率 为k=y|x0=1=1+1=2,故切线方程为y=2x-1.因为y=2x-1与曲线 y=ax2+(a+2)x+1相切,联立 得ax2+ax+2=0,显然a0,所以由=a2-8a=0a=8.答案:8 1x2y2x1yax(a2)x1 2.基本初等函数的导数公式（1）若f(x)=c,则f(x)=_.（2）若f(x)=x(Q),则f(x)=.（3）若f(x)=sinx,则f(x)=_.（4）若f(x)=cosx,则f(x)=_.（5）若f(x)=ax,则f(x)=_.x-1 axlna(a0)cosx-sinx 0 1.会求常用函数的导数.（6）若f(x)=ex,则f(x)=_.（7）若f(x)=logax,则f(x)=(a0,且a1).（8）若f(x)=lnx,则f(x)=_.exax ln1x1业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。韩愈