1、2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程问题导学一、椭圆的定义活动与探究1已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|PB|2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件迁移与应用1下列说法中正确的是()A已知F1(4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B已知F1(4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆C到F1(4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D到F1(4,0)，F2
2、(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆2椭圆1上一点P到其一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离为_由椭圆的定义可知，点的集合PM|MF1|MF2|2a(其中|F1F2|2c)表示的轨迹有三种情况：当ac时，轨迹为椭圆；当ac时，轨迹为线段F1F2；当ac时，轨迹不存在在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时一定要注意所给常数与已知两定点之间距离的大小关系二、椭圆的标准方程活动与探究2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；(3)中心在原点，焦点在
3、坐标轴上，且经过A(，2)和B(2，1)两点迁移与应用1已知椭圆焦点在x轴上，且a4，c2，则椭圆方程为()A1 B1C1 D12已知椭圆过点P和点Q，求此椭圆的标准方程求椭圆标准方程的基本步骤是先定型，后计算所谓定型，就是确定方程的类型，即确定椭圆的焦点所在的坐标轴，从而可设出椭圆的标准方程；计算就是求解a2与b2的值另外采取设椭圆方程的一般形式的方法，可以避免讨论，当已知椭圆经过的两个点的坐标时常采用这种方法三、焦点三角形活动与探究3已知P为椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，F1PF260，求F1PF2的面积迁移与应用1椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上若|PF1|=4，则|PF2|
4、=_，F1PF2的大小为_2已知椭圆的方程为1，椭圆上有一点P满足PF1F290(如图)求PF1F2的面积1椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识2焦点三角形的周长等于2a2c答案：课前预习导学【预习导引】1距离的和焦点焦距预习交流1：提示：在椭圆定义中，要求常数应该大于两定点F1，F2之间的距离，这是一个非常重要的条件如果常数等于|F1F2|，动点的轨迹应是一条线段；如果常数小于|F1F2|，其轨迹将不存在在应用椭圆定义判断动点轨迹时务必注意这一隐含条件21(c,0)预习交流2
5、：提示：给出一个椭圆方程1(其中m0，n0，mn)，判断该椭圆焦点所在的坐标轴时，可用如下方法：椭圆的焦点在x轴上mn；椭圆的焦点在y轴上mn，这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法课堂合作探究【问题导学】活动与探究1：思路分析：利用椭圆定义，结合充要条件定义作出判断B解析：若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|PB|2a(a0，为常数)所以甲是乙的必要条件反过来，若|PA|PB|2a(a0，为常数)，当2a|AB|时，P点轨迹是椭圆；当2a|AB|时， P点轨迹是线段AB；当2a|AB|时，P点的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件综上，甲是乙的必要不充分条件迁移与应用：1C解析：A中常数8|F1F
6、2|，B中常数6|F1F2|，所以轨迹都不是椭圆；可计算C中常数等于4|F1F2|，符合椭圆定义，轨迹是椭圆；D中点的轨迹应该是一条直线，故选C 27解析：设F1，F2为椭圆的两焦点，且a225，即a5又|PF1|PF2|2a10，设|PF1|3|PF2|7，即P到另一焦点的距离为7活动与探究2：解：(1)椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为1(ab0)2a10,2c6，a5，c3b2a2c216所求椭圆方程为1(2)焦点在y轴上，设其标准方程为1(ab0)2a26,2c10，a13，c5b2a2c2144所求椭圆方程为1(3)方法一：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意，有
7、解得所求椭圆的方程为1当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意，有解得ab，不合题意，所求椭圆的方程为1方法二：设所求椭圆方程为Ax2By21(A0，B0且AB)，依题意，得解得所求标准方程为1迁移与应用：1B解析：依题意a216，b2a2c216412，又焦点在x轴上，所以椭圆方程为12解：设所求椭圆方程为Ax2By21(A0，B0，AB)，则有解得故此椭圆的标准方程为x21活动与探究3：思路分析：由|PF1|PF2|sinF1PF2可知，只要求得|PF1|PF2|即可，而|F1F2|是已知的，可结合余弦定理求得|PF1|PF2|解：如图所示，在PF1F2中，|F1F2|2|P
8、F1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即25|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|由椭圆的定义得10|PF1|PF2|，即100|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|由得|PF1|PF2|25，所以|PF1|PF2|sin 60迁移与应用：12120解析：如题图，|PF1|PF2|2a6，|PF2|6|PF1|2在F1PF2中，cosF1PF2，F1PF21202解：由已知得a2，b，所以c1从而|F1F2|2c2在PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2，即|PF2|2|PF1|24又由椭圆定义知|PF1|PF2|224，所以|PF2|4|
9、PF1|从而有(4|PF1|)2|PF1|24解得|PF1|所以PF1F2的面积S|PF1|F1F2|2当堂检测1已知定点F1，F2，且|F1F2|8，动点P满足|PF1|PF2|8，则动点P的轨迹是()A椭圆 B圆C直线 D线段答案：D解析：由于|PF1|PF2|F1F2|，所以动点P的轨迹不是椭圆，而是线段F1F22若P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，则三角形PF1F2的周长等于()A16 B18 C20 D不确定答案：B解析：依题意a5，c4，所以PF1F2的周长是|PF1|PF2|F1F2|2a2c108183已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()A9m25 B8m25
10、C16m25 Dm8答案：解析：由于椭圆的焦点在y轴上，所以解得8m254已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|F2B|12，则|AB|_答案：8解析：由椭圆的定义得|AF1|AF2|2a10，|BF1|BF2|2a10，|AF1|AF2|BF1|BF2|20又|F2A|F2B|12，|AB|AF1|BF1|85一个动圆与已知圆Q1：(x3)2y21外切，与圆Q2：(x3)2y281内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程答案：解：由已知两定圆的圆心和半径分别为Q1(3,0)，r11；Q2(3,0)，r29设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图，则由题设有|MQ1|1R，|MQ2|9R，|MQ1|MQ2|10|Q1Q2|6由椭圆定义可知M在以Q1、Q2为焦点的椭圆上，且a5，c3b2a2c225916故动圆圆心的轨迹方程为提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记