1、战考场 第5讲 导 数 知考情 研考题 析考向 高频考点 考情解读 考查方式 利用导数求解曲线的切线问题 考查求过某点的切线的斜率、方程、切点的坐标，或以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值 题型以选择题、填空题为主 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题 各种题型 高频考点 考情解读 考查方式 利用导数研究函数的极值与最值 导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，常与函数、方程、不等式等交汇命题 多以解答题形式出现 联知识 串点成面导数的几何意义：(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k
2、f(x0)(2)曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(3)导数的物理意义：s(t)v(t)，v(t)a(t)做考题 查漏补缺(2011江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)ex(x0)的图像上的动点，该图像在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_解析 设点 P 的坐标为(x0，ex0)，则切线 l 的方程为 yex0ex0(xx0)，则过点 P 作 l 的垂线 m 的方程为 y0ex 01ex(xx0)，令 x0，得 M(0，0ex x00ex)，N(0，0ex x
3、001ex)，所以 t0ex x02ex0 x00ex2，得 t(1x0)(0ex2 120ex)，令 t0，得 x01，当 0 x01 时，t0，tex0 x020ex x00ex2单调递增；当 x01 时，t0，tex0 x020ex x00ex2 单调递减，所以当 x01 时，t 取最大值，为12(e1e)答案 12(e1e)1(2011山东高考)曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9 B3C9 D15答案：C解析：y3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y123(x1)，令x0得y9.答案：2解析：据题意设切点为(x0，x01)，由
4、于 f(x)1xa，由导数的几何意义可知1x0a1，lnx0ax01，解得x01，a2.2理(2011杭州模拟)已知直线yx1与曲线f(x)ln(xa)相切，则a的值为_解析：设切点为(x0，lnx0)，由 f(x)1x及切线方程为yxa 得 1x01，x01.切点为(1,0)代入 yxa，得 a1.文(2011大连模拟)已知直线yxa与曲线f(x)lnx相切，则a的值为_答案：1悟方法 触类旁通求曲线yf(x)的切线方程的类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程：求出切线的斜率f(x0)，由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率k，求切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程kf(
5、x0)解得x0，再由点斜式写出方程；(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f(x0)，再由斜率公式求得切线斜率列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.联知识 串点成面函数的单调性与导数的关系：在区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f(x)0，即(ex1)(x1)0，解得x(，1)或x(0，)所以函数f(x)的单调增区间为(，1和0，)4(2011临沂期末)已知x3是函数f(x)aln(x1)x210 x的一个极值点(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间解：(1)f(x)aln(x1)x
6、210 x，f(x)a1x2x10.f(3)a46100.a16.(2)函数 f(x)的定义域为(1，)，由(1)知，f(x)2x24x31x，令 f(x)0，得 x1 或 3.当 x(1,1)(3，)时 f(x)0；当 x(1,3)时，f(x)0或f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值2设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得做考题 查漏补缺(2011江西高考)设 f(x)13x312x22ax.(1)若 f(x)在(23，)上存在单
7、调递增区间，求 a 的取值范围；(2)当 0a2 时，f(x)在1,4上的最小值为163，求 f(x)在该区间上的最大值解(1)由f(x)x2x2a(x12)2142a，当x23，)时，f(x)的最大值为f(23)292a；令292a0，得a19.所以，当a19时，f(x)在(23，)上存在单调递增区间(2)令f(x)0，得两根x11 18a2，x21 18a2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)，又f(4)f(1)272 6a0，即f(4)f(1)所以f(x)在1,4上的最小值为f(
8、4)8a403 163.得a1，x22，从而f(x)在1,4上的最大值为f(2)103.6(2011皖南八校联考)已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x23时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由 f(x)x3ax2bxc，得 f(x)3x22axb.当 x1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2ab0，当 x23时，yf(x)有极值，则 f(23)0，可得 4a3b40，由解得 a2，b4.由于切点的横坐标为 x1，f(1)4，1abc4.c5.(2)由(1)可得 f(x)x32x24
9、x5，f(x)3x24x4.令 f(x)0，解之得 x12，x223.当 x 变化时，y，y的取值及变化情况如下表：x3(3，2)2(2，23)23(23，1)1y00y81395274yf(x)在3,1上的最大值为 13，最小值为9527.7理(2011福州模拟)设函数f(x)lnxax.(1)求函数f(x)的极值点；(2)当a0时，恒有f(x)1，求a的取值范围解：(1)f(x)lnxax，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xa1axx，当 a0 时，f(x)0，f(x)在(0，)上无极值点；当 a0 时，由 f(x)0，得 x1a(0，)，f(x)，f(x)随自变量 x 的变化情况如
10、下表x0，1a1a1a，f(x)0f(x)极大值从上表可以看出，当 a0 时，f(x)有唯一的极大值点 x1a.(2)当 a0 时，f(x)在 x1a处取得极大值 f1a lna1，此极大值也是最大值要使 f(x)1 恒成立，只需 f1a lna11，a1.a 的取值范围是1，)文(2011安徽高考)设 f(x)ex1ax2，其中 a 为正实数(1)当 a43时，求 f(x)的极值点；(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围解：对 f(x)求导得 f(x)ex1ax22ax1ax22.(1)当 a43时，若 f(x)0，则 4x28x30，解得 x132，x212.结合，可知
11、x(，12)12(12，32)32(32，)f(x)00f(x)极大值 极小值 所以，x132是极小值点，x212是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立因此4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知00，即m14.又对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立特别地，取xx1时，f(x1)g(x1)mx1m成立，得m0，x1x22m0，故 0 x10，则 f(x)g(x)mxx(xx1)(xx2)0，又 f(x1)g(x1)mx10，所以函数 f(x)g(x)mx 在 xx1，x2的最大值为 0.于是当 m0 时，对任意的 xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立综上，m 的取值范围是(14，0)点评 本题以导数的几何意义为载体，考查函数与方程、不等式问题，求解时应充分利用x1、x2是方程根，即满足f(x1)g(x1)mx1这一条件，从而推出m0且g(4)16m0时，g(x)与x轴有三个交点，故m的取值范围为(16，6827)点击下图进入战考场