1、2.3 抛 物 线 2.3.1 抛物线及其标准方程【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材，并识记抛物线的定义和标准方程，初步会求抛物线的标准方程 【知识链接】1.二次函数的图象：二次函数的图象是特殊的抛物线，当顶点在原点，以坐标轴为对称轴时，即本节所学的抛物线 2.抛物面的性质：从焦点发出的光线，被抛物面反射后成为一束平行光线 主题一：抛物线的定义【自主认知】1.我们在黑板上画一条直线l，然后取一个三角板，将一条拉链上边一半的一端A固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在F点，将三角板的另一条直角边贴在直线l上，在拉锁P处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出什么图形？提示
2、：如图所示，会得到一条抛物线.2.在作图过程中，动点P有什么特点？提示：点P到直线l的距离等于点P到点F的距离.根据以上探究过程，试着写出抛物线的定义：平面内与_ _叫做抛物线.点F叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_.一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的 轨迹 焦点 准线【合作探究】1.直线l能否通过点F？提示：不能，否则画出的图形是一条直线.2.变化点F到l的距离，画出的抛物线有什么变化？提示：随着点F到l的距离变大，抛物线的开口变大.【过关小练】1.在平面直角坐标系内，到点(1，1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是()A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线【
3、解析】选A.因为点(1，1)在直线x+2y=3上，故所求点的轨迹是过点(1，1)且与直线x+2y=3垂直的直线.2.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为 ()A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆【解析】选A.设圆C的半径为r，则圆心C到直线y=0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r+1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y=0的距离大1，故点C到点(0，3)的距离和它到直线y=-1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线.主题二：抛物线的标准方程【自主认知】1.根据抛物线的几何特征，对于开口向右的抛物线如何建立坐
4、标系才能使求出的抛物线的方程比较简单？提示：如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且 垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点 重合.这样所求出的抛物线的方程比较简单.2.在问题1所建立的坐标系的情况下，依据哪种方法可求出抛物线的标准方程？提示：依据抛物线的定义，利用直接法即可求出抛物线的标准方程.根据以上探究过程，试完成抛物线标准方程的相关内容：抛物线的标准方程 标准方程 图 形 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p0)y2=-2px(p0)_ _ p(,0)2px2 p(,0)2px2标准方程 图 形 焦点坐标 准线方程 x2=2py(p0)_ _ x2=-2py(p0)_ _
5、 p(0,)2py2 p(0,)2py2【合作探究】1.抛物线的开口方向与哪个量有关系？提示：抛物线的开口方向与一次项及其系数的正负有关系.2.抛物线的标准方程中，参数p的几何意义是什么？提示：p的值等于抛物线的焦点到准线的距离.3.要确定抛物线的解析式，需要确定的量是什么？提示：需要确定焦点的位置及2p的值.【拓展延伸】抛物线与二次函数图象的关系：当抛物线是开口向上或向下时，该曲线也是二次函数的图象；当抛物线是开口向右或向左时，该曲线不是二次函数的图象.【过关小练】1.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为 ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选D.方法一：因
6、为y=4，所以x2=4y=16，所以x=4，不妨取A(4，4)，焦点坐标为(0，1)，所以所求距离为 方法二：抛物线的准线为y=-1，所以A到准线的距离为5，又因为A到准线的距离与A到焦点的距离相等.所以距离为5.2244 1255.2.求适合下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(-3,2).(2)焦点在直线x-2y-4=0上.【解析】(1)设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p0),则将点(-3,2)代入方程得 所以所求的抛物线方程为 492p2p.32或2249yxxy.32 或(2)令=，由方程x-2y-4=0的=-2.所以抛物线的焦点为F(0,-2).设抛物线方程为x2=-2p
7、y.则由 得2p=8,所以所求的抛物线方程为x2=-8y.或令y=0,由x-2y-4=0得x=4,所以抛物线焦点为(4,0).p22设抛物线方程为y2=2px.则由 得2p=16,所以所求的抛物线方程为y2=16x.综上，所求抛物线的标准方程为x2=-8y或y2=16x.p42【归纳总结】1.抛物线的“一动三定”抛物线的定义可归为“一动三定”，即“一个动点M”“一个定点F”“一条定直线l”“一个定值”.其中“定点”为抛物线的焦点，“定直线”为抛物线的准线，“定值”指点M到点F的距离与它到定直线l(准线)的距离之比等于1.2.抛物线标准方程的特征(1)等号的一边是某变量的完全平方，另一边是另一变
8、量的一次项.(2)当对称轴为x轴时，方程中的一次项就是x的一次项，且符号指明了抛物线的开口方向：x的系数为正时开口向右，为负时开口向左.(3)当对称轴为y轴时，方程中的一次项就是y的一次项，且符号指明了抛物线的开口方向：y的系数为正时开口向上，为负时开口向下.【拓展延伸】抛物线的参数方程 对于抛物线x2=2py(p0)，其参数方程为 设抛物线x2=2py 上动点P坐标为(2pt,2pt2)，O为抛物线的顶点，显然 即t的几何意义为过抛物线顶点O的动弦OP的斜率.2x2pt,y2pt,2OP2ptkt2pt，类型一：抛物线的定义及应用【典例1】(1)(2015双鸭山高二检测)动圆的圆心在抛物线y
9、2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过定点()A.(4，0)B.(2，0)C.(0，2)D.(0，-2)(2)已知动圆过点(1，0)，且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨迹是_.【解题指南】(1)利用圆心到切线的距离等于半径可以确定定点.(2)圆心到定点和定直线距离相等，轨迹是抛物线.【解析】(1)选B.因为圆心到直线x+2=0的距离等于到抛物线焦点的距离，所以定点为(2，0).(2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x=-1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹是抛物线.答案：抛物线【规律总结】抛物线的判断方法(1)可以看动点是否符合
10、抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离.(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程.【巩固训练】若抛物线y22px(p0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程【解析】因为点M到对称轴的距离为6，所以设点M的坐标为(x,6)又因为点M到准线的距离为10，所以 解得 故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y24x.当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y236x.262px,px10.2 x9,x1,p2,p18.或【补偿训练】已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为()A.B.1 C.2 D.4【解析】选
11、C.抛物线的准线为 将圆的方程化简得到(x3)2y216，准线与圆相切，则 所以p=2.12px2，p12，类型二：求抛物线的标准方程【典例2】(1)(2015银川高二检测)若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则点M的轨迹方程是()A.x+4=0 B.x-4=0 C.y2=8x D.y2=16x(2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是 ()A.y2=-8x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=4x(3)(2015南通高二检测)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3
12、，抛物线的方程是_.【解题指南】(1)利用抛物线的定义求解.(2)利用抛物线的定义求参数p.(3)利用待定系数法求解.【解析】(1)选D.依题意可知，点M到点F的距离等于点M到直线x=-4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p=8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，所以其方程为y2=16x.(2)选C.由准线方程为x=-2，可知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p=4，所以抛物线的方程为y2=2px=8x.(3)依题意，设抛物线方程是y2=2px(p0)，则有2+=3，得p=2，故抛物线方程是y2=4x.答案：y2=4x p2【延伸探究】1.(改变问法)本典例(3)中的条件不变，试求点M到原点的距离.【解
13、析】因为抛物线方程为y24x，所以M的坐标为 所以M到原点的距离为(22 2)，2 3.2.(变换条件)本典例(3)条件改为“抛物线关于y轴对称”，求抛物线 的方程.【解析】当焦点在y轴正半轴时，设方程为x2=2py(p0)则由题意可得 解得 所以抛物线方程为 当焦点在y轴负半轴时，设抛物线方程为x2=-2py(p0)，则由题意 可得 解得 所以抛物线方程为 020py3,222pyp35，2x2(35)y.020py3,222py p35，2x2(35)y.【规律总结】抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最
14、后写出标准方程.(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.提醒：焦点位置不确定时，要对各种可能的情况分别进行讨论，以确定抛物线的方程.【补偿训练】求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过抛物线y2=2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A，B两点，且|AB|=6.(2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点 到焦点的距离 是6.P(5 2 5)，【解析】(1)设抛物线的准线为l，交x轴于K点，l的方程为 如图，作AAl于A，BBl于B，则|AF|AA|FK|m|，同理|BF|m|.又|AB|6，则2|m|
15、6.所以m3，故所求抛物线方程为y26x.mx2，(2)设焦点F(a,0)，|PF|即a210a90，解得a1或a9.当焦点为F(1，0)时，p2，抛物线开口方向向左，其方程为y24x；当焦点为F(9,0)时，p18，抛物线开口方向向左，其方程为y236x.2a5206，类型三：抛物线的实际应用【典例3】(2015雅安高二检测)一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过的a的最小整数值.【解题指南】以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系后，利用已知条件求出抛物线方程，然后求解.【解析】以隧道顶点为原点，拱高所在直
16、线为y轴建立直角坐标系，则B点的坐标为 如图所示，设隧道所在抛物线方程为x2 my，则 所以ma，即抛物线方程为x2ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82ay，即 欲使卡车通过隧道，应有 即 由于a0，得上述不等式的解为a12.21，所以a应取13.aa()24，2aa()m()24，20.8y.aay()34，2a0.834a，【规律总结】抛物线应用题的解法(1)抛物线应用题的解题关键：把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.(2)建立抛物线的标准方程的方法：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系.这样可
17、使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.【巩固训练】一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m的大木箱，问竹排能否安全通过？【解析】如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py，则有A(26，-6.5)，设B(2，y)，由262=-2p(-6.5)得p=52，所以抛物线方程为x2=-104y.当x=2时，4=-104y，因为6.5-6，所以能安全通过.1y26，126【补偿训练】如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按如图所示的方法进行折叠，使每次折叠后点B都落在AD边上，此时记为B(注：图中EF为折痕，点F也可落在CD边上).过点B作BTCD交EF于点T，求点T的轨迹方程.【解析】如图，以边AB的中点O为原点，AB所在的直线为y轴建立平面直角坐标 系，则B(0，-2).连接BT，由折叠知|BT|=|BT|.因为BTCD，CDAD，所以BTAD.根据抛物线的定义知，点T的轨迹是以点B为焦点，AD所在直线为准线的抛物线的一部分.设T(x，y).因为|AB|=4.即定点B到定直线AD的距离为4，所以抛物线的方程为x2=-8y.在折叠中，线段AB的长度|AB|在区间0，4内变化，而x=|AB|，所以0 x4，故点T的轨迹方程为x2=-8y(0 x4).