1、2.2 双 曲 线 2.2.1 双曲线及其标准方程 【自主预习】1.双曲线的定义(1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的_ 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.绝对值(2)定义的集合表示:M|MF1|-|MF2|=2a,02a|F1F2|.(3)焦点:两个_.(4)焦距:_的距离,表示为|F1F2|.定点F1,F2 两焦点间 2.双曲线的标准方程 焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 焦点 _ _ a,b,c的关系 c2=_ 2222xy1 a0,b0ab2222yx1 a0,b0ab(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c
2、)a2+b2【即时小测】1.已知平面上定点F1,F2及动点M,命题甲:|MF1|-|MF2|=2a(a为常数),命题乙:M点的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的()A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选B.根据双曲线的定义:乙甲,但甲 乙,只有当2a|F1F2|,则点P的轨迹是什么?提示:点P的轨迹不存在.3.定义中若常数为0,则点P的轨迹是什么?提示:若定义中常数为0,此时点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线.【归纳总结】对双曲线定义的两点说明(1)定义中距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.设F1,F2表示双曲线的左、右焦点,若|MF1|
3、-|MF2|=2a,则点M在右支上;若|MF2|-|MF1|=2a,则点M在左支上.(2)双曲线定义的双向运用:若|MF1|-|MF2|=2a(02ab吗?提示:在双曲线的标准方程中a,b的关系不确定.2.mx2+ny2=1(mn0)是双曲线的方程吗?焦点怎样确定?提示:mx2+ny2=1(mn0)是双曲线的方程,焦点不能确定,可能在x轴上,也可能在y轴上.【归纳总结】双曲线标准方程的四点说明(1)只有当双曲线的两焦点F1,F2在坐标轴上,并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程.(2)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里
4、的b2=c2-a2与椭圆中的b2=a2-c2相区别.(3)焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.(4)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2+By2=1(AB0,y00)满足 ,求 .22xy45112 1112 1PF MFF F MFPFF F12PMFPMFSS【解题指南】利用 ,得出MF1P=MF1F2,进而求出直线PF1的方程为y=(x+3),与 双曲线联立可得P ,由此即可求出 .112 1112 1PF MFF F MFPFF F5125(3,)2
5、12PMFPMFSS【解析】因为 所以|cosMF1P=|cosMF1F2,所以MF1P=MF1F2.因为cosMF1F2=,所以cosPF1F2=2cos2MF1F2-1=,112 1112 1PF MFF F MFPFF F1MF1MF5261213所以tanPF1F2=,所以直线PF1的方程为y=(x+3).与双曲线联立可得P ,所以|PF1|=.因为sinMF1F2=,5125125(3,)2132126所以 因为 所以 1PMF1 13113S26.224262PMF155S1,224 12PMFPMFSS2.类型二 求双曲线的标准方程【典例】已知双曲线过P1 和P2 两点,求双曲线
6、的标准方程.【解题探究】双曲线的焦点确定吗?应怎样求解?提示:双曲线的焦点不确定,应分类讨论求解.3(2,5)24(7,4)3【解析】方法一:当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线 方程为 (a0,b0).因为P1,P2在双曲线上,所以 2222xy1ab222222223(5)221,ab4(7)431,ab解之得 (不合题意,舍去)当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的方程为 (a0,b0).因为P1,P2在双曲线上,2211,a1611.b9 2222yx1ab所以 解之得 222222223(5)221,ab4(7)431,ab2211,a911,b16即a2=9,b2=16.所以所求双曲线
7、方程为 .22yx1916方法二:因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0,b0),代入点的坐标,解方程组求出 a2,b2,也可以直接设方程mx2+ny2=1(m0,n0,b0),代入点的坐标得 解得a2=8,b2=4,所以双曲线的方程为 2222xy1ab22221641,ab2481,ab22xy1.84方法二:设双曲线方程为mx2+ny2=1(m0,n0),则 所以 所以双曲线方程为 16m4n124m 8n1,1m,81n4 ，22xy1.842.将本例条件改为“已知双曲线过点(3,-4 ),点 ”,求双曲线的标准方程”.29(5)4，【解析】因为双曲线
8、的焦点位置不确定,所以设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0).将两点坐标代入得 解得 所以双曲线的标准方程为 .9m32n1,81m25n1,161m,91n,16 22yx1169【方法技巧】求双曲线标准方程的步骤(1)定位:是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以确定方程的形式.(2)定量:是指确定a2,b2的数值,常由条件列方程组求解.特别提醒:若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1的形式,为简单起见,常标明条件mnb0)(a0,b0,a不一定大于b)【拓展延伸】双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较 2222222
9、2xy1abyx1ab22222222xy1abyx1ab【补偿训练】求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)一个焦点是(0,-6),经过点A(-5,6).(2)a=5,c=7.【解析】(1)由已知c=6,且焦点在y轴上,另一焦点为(0,6).由双曲线定义 所以a=4,所以b2=c2-a2=20.所以所求双曲线的标准方程为 22222a|5 06 65 06 6|8 ，22yx1.1620(2)因为已知a=5,c=7,所以b2=c2-a2=24,焦点位置不 确定,所以所求双曲线的标准方程为 2222xyyx11.25242524或类型三 与双曲线有关的轨迹问题【典例】(2016临沂高二检测)求
10、与圆A:(x+5)2+y2=49和圆B:(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程.【解题探究】典例中|PA|与|PB|之间有什么关系?提示:|PA|-|PB|=6.【解析】设动圆P的半径为R,且点P(x,y),则|PA|=R+7,|PB|=R+1,所以|PA|-|PB|=610=|AB|,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,这里a=3,c=5,所以b2=16.故方程为 (x3).22xy1916【方法技巧】定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差,还是差的绝对值.(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题.(3)求出方程后要注意表示满足方
11、程的解的坐标的点是否都在所给的曲线上.【变式训练】已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.【解题指南】利用两圆内、外切的充要条件找出M点所满足的几何条件,结合双曲线定义求解.【解析】设动圆M的半径为r,则由已知得:|MC1|=r+,|MC2|=r-,所以|MC1|-|MC2|=2 .又C1(-4,0),C2(4,0),所以|C1C2|=8,所以2 1).2y3自我纠错 双曲线几何性质的应用【典例】双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标为(0,3),则k的值为 .【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因有两处,一是a2,b2的值确定错误,应该是a2=-,b2=-;二是基本量a,b,c的关系错误,在双曲线中基本量a,b,c的关系应该是c2=a2+b2.正确解 答过程如下:8k1k【解析】将双曲线的方程化成 =1,因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3),所以焦点在y轴 上,且c=3.所以a2=-,b2=-.所以-=9,解得k=-1.答案:-1 22xy18kk8k1k8k1k