1、2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质【课标要求】1掌握椭圆的简单几何性质2理解离心率对椭圆扁平程度的影响【核心扫描】1椭圆的简单几何性质(重点)2求椭圆的离心率(难点)3常结合几何图形、方程、不等式、平面向量等内容命题自学导引椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2y2b21y2a2x2b21范围顶点(ab0)(ab0)axa且bybbxb且ayaA1(a，0)、A2(a，0)B1(0，b)、B2(0，b)A1(0，a)、A2(0，a)B1(b，0)、B2(b，0)轴长短轴长，长轴长焦点焦距|F1F2|对称性 对称轴，对称中心离心率e2b2
2、aF1(c，0)、F2(c，0)F1(0，c)、F2(0，c)2cx轴和y轴(0，0)(0e1)ca想一想：能否用 a 和 b 表示椭圆的离心率 e?提示 可以由 eca得，e2c2a2a2b2a2，e1ba2，e1b2a2.名师点睛1椭圆几何性质的应用(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据 a、b 的值可确定其性质(2)明确 a，b 的几何意义，a 是长半轴长，b 是短半轴长，不要与长轴长、短轴长混淆，由 c2a2b2，可得“已知椭圆的四个顶点，求焦点”
3、的几何作图法，只要以短轴的端点 B1(或 B2)为圆心，以 a 为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点(3)如图所示椭圆中的OF2B2 找出 a，b，c，e 对应的线段或量为a|F2B2|，b|OB2|，c|OF2|，eca|OF2|F2B2|cosOF2B2.(4)若椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，则椭圆与 x 轴的交点A1，A2 到焦点 F2 的距离分别最大和最小，且|A1F2|ac，|A2F2|ac.2椭圆的离心率对椭圆形状的影响椭圆的焦距与长轴长的比称作椭圆的离心率，记作 e2c2aca.ac0，0eb0)或y2a2x2b21(ab0)由已知得，2a10，a5.eca45
4、，c4.b2a2c225169.椭圆的标准方程为x225y291 或x29y2251.(2)依题意，可设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)如图所示，A1FA2 为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb3，a2b2c218，故所求椭圆的方程为x218y291.规律方法 利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求解，同时注意 a、b、c、e 的内在联系以及对方程两种形式的讨论【变式 2】求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在
5、y 轴上，若其离心率为12，焦距为 8.(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.解(1)由题意知，2c8，c4，eca4a12，a8，从而 b2a2c248，椭圆方程是y264x2481.(2)由已知a2c，ac 3，a2 3，c 3.从而 b29，所求椭圆的标准方程为x212y291 或x29y2121.题型三 求椭圆的离心率【例 3】(12 分)如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，A，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1x 轴，PF2AB，求此椭圆的离心率审 题 指 导PF1F1F2，PF2AB PF1F2AOB a、c关
6、系式 离心率 规范解答 设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)则有 F1(c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)，(3 分)直线 PF1 的方程为 xc，代入方程x2a2y2b21，得 yb2a，(6 分)Pc，b2a.又 PF2AB，PF1F2AOB.(8 分)|PF1|F1F2|AO|OB|，b22acba，b2c.b24c2，a2c24c2，c2a215.(10 分)e215，即 e 55，所以椭圆的离心率为 55.(12 分)【题后反思】(1)求离心率 e 时，除用关系式 a2b2c2 外，还要注意 eca的代换，通过方程思想求离心率(2)在椭圆中涉及三角形问题时，要
7、充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识【变式 3】如图所示，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率解 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a，b，c.则焦点为 F1(c，0)，F2(c，0)，M 点的坐标为c，23b，则MF1F2 为直角三角形在 RtMF1F2 中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2，即 4c249b2|MF1|2.而|MF1|MF2|4c249b223b2a，整理得 3c23a22ab.又 c2a2b2，所以 3b2a.所以b2a249.e2c2a2a2b
8、2a21b2a259，e 53.误区警示 忽略椭圆焦点位置的讨论致误【示例】已知在椭圆中，长轴长为 2a，焦距为 2c，且 ac10，ac4，求椭圆的标准方程错解 因为ac10，ac4，所以 a7，c3，所以 b2a2c2723240.所以椭圆的标准方程为x249y2401.由于题目中没有告诉我们焦点的位置，所求标准方程有两种情况：焦点在 x 轴上；焦点在 y 轴上正解(1)焦点在 x 轴上时，设方程为x2a2y2b21(ab0)，则有ac10，ac4，解得 a7，c3.所以 b2a2c2723240.所以椭圆的标准方程为x249y2401.(2)焦点在 y 轴上时，设标准方程为y2a2x2b21(ab0)，则有ac10，ac4，解得 a7，c3，所以 b2a2c2723240.所以标准方程为y249x2401.综上所述，椭圆的标准方程为x249y2401 或y249x2401.(1)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：求出 a2，b2 的值；确定焦点所在的坐标轴；写出标准方程(2)当所求椭圆焦点不确定时一定要注意分类讨论(3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用
