1、2020-2021学年高二数学上学期期中考测试卷01（人教B版2019）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1直线的倾斜角( )ABCD【答案】A【解析】可得直线的斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得，又2若向量，向量，则（ ）ABCD【答案】C【解析】因为向量，向量，则，则.3过两点，的直线方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】解：直线经过两点，而这2个点恰是直线和坐标轴的交点，过两点，的直线方程为，即4抛物线的准线方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】，抛物线的准线方程为，即，故选A .5已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于
2、，则的方程是（ ）ABCD【答案】D【解析】由椭圆的右焦点为知，又，所以椭圆方程为.6已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为（ ）ABCD【答案】D【解析】解：找出点关于轴的对称点，连接，与轴的交于点，连接，此时为最短，由与关于轴对称，所以，又，则直线的方程为化简得：，令，解得，所以故选：D7圆与圆的位置关系是（ ）A相交B相离C内切D外切【答案】C【解析】因为圆的圆心为半径为，圆的圆心为半径为，而所以两圆相内切.8正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦为（ ）ABCD【答案】C【解析】以点P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，如
3、图所示，设，则，设平面PEF的法向量，则，取得，设平面与平面所成角为，则二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9（多选）若两平行线分别经过点，则它们之间的距离d可能等于（ ）A0B5C12D13【答案】BCD【解析】易知当两平行线与A，B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大，即，所以，故距离d可能等于5，12，13故选：BCD10（多选题）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使l的是（ ）A=(1，0，0)，=(-2，0，0)B=(1，3，5)，=(1，0，1)C=(0
4、，2，1)，=(-1，0，-1)D=(1，-1，3)，=(0，3，1)【答案】ABC【解析】若l，则需，即，根据选择项验证可知：A中，；B中，；C中，；D中，；综上所述，选项A，B，C符合题意11如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，其中正确的命题为（ ）A三棱锥的体积为定值B异面直线与所成的角为C平面D直线与平面所成的角为【答案】AD【解析】解：对于A， 故三棱锥的体积为定值，故A正确对于B， ，和所成的角为，异面直线与所成的角为，故B错误对于C， 若平面，则直线，即异面直线与所成的角为，故C错误对于D，以为坐标原点，分布以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为则，即令，
5、则所以直线与平面所成的角为，正确12已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）A的方程为B的离心率为C曲线经过的一个焦点D直线与有两个公共点【答案】AC【解析】对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；对于选项B：由双曲线方程可知，从而离心率为，所以B选项错误；对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若过点，的直线的倾斜角为，则_.【答案】【解析】由题意可得，求得.14已知，若，则实数m的值为_【答案
6、】7【解析】因为，所以，解得15若直线与圆有且仅有一个公共点，则实数的值为_.【答案】或【解析】由题意，圆心到直线的距离，解得或.16已知，是双曲线C：（，）的左、右焦点，以为直径的圆与C的左支交于点A，与C的右支交于点B，则C的离心率为_.【答案】【解析】由题意知，所以，即，易得.设，由双曲线的定义得：，解得：，所以，因为，所以离心率.四、 解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已知的顶点坐标分别是；（1）求边上的中线所在直线的方程（答案用斜截式方程）；（2）求过点C且与直线垂直的直线方程（答案用斜截式方程）.【解析】（1），的中点坐
7、标为，中线的斜率为，中线所在直线的方程为，（2）由已知可得的斜率为，所以与直线垂直的直线的斜率为与直线垂直的直线为18（本小题12分）在直角坐标系中，已知圆与直线相切，（1）求实数的值；（2）过点的直线与圆交于两点，如果，求.【解析】解:（1）圆的方程可化为，圆心，半径，其中，因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，解得；（2）当直线斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线的距离，由垂径定理，不合题意；故直线斜率存在，设其方程为，即，圆心到直线的距离，由垂径定理，即，解得，故直线的方程为，代入圆的方程，整理得，解得，于是，这里，)，所以.19 （本小题12分）设椭圆的左右焦点分别为，下
8、顶点为为坐标原点，点到直线的距离为为等腰三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）若倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于两点(点在点的上方)求线段与的长度之比.【解析】（1）由题意知，、，所以直线的方程为，即，则，因为为等腰三角形，所以，又，所以椭圆的方程为；（2）由题意知过右焦点的倾斜角为的直线为， 、联立或，所以20（本小题12分）平面直角坐标系xoy中，直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于轴于点（，）和
9、（，），问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由【解析】（1）因为O到直线xy10的距离为 ， 所以圆O的半径r，故圆O的方程为x2y22.（2）设直线l的方程为1(a0，b0)，即bxayab0， 由直线l与圆O相切，得，即，所以DE2a2b22(a2b2)（） 228(当且仅当ab2时等号成立)，此时直线l的方程为xy20.（3）设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(x1，y1)，xy2，xy2，直线MP与x轴的交点为，即m .直线NP与x轴的交点为，即n.所以mn 2，故mn2为定值21（本小题12分）如图，在圆柱中，为圆的直径，C，D是弧上的两个三等分点，是圆柱的母线
10、.（1）求证：平面；（2）设，求二面角的余弦值.【解析】（1）如图所示：连接，因为C，D是半圆上的两个三等分点，所以，又，所以，均为等边三角形.所以，所以四边形是平行四边形.所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为是圆柱的母线，所以平面，平面，所以因为为圆的直径，所以在中，所以，所以在中，（方法一）因为，所以平面，又平面，所以，如图所示：在内，作于点H，连接.因为，平面，所以平面，又平面，所以，所以就是二面角的平面角.在中，.在中，所以，所以.所以，二面角的余弦值为.（方法二）如图所示：以C为坐标原点，分别以，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，.设平面的一个法
11、向量为，则，即令，则，所以平面的一个法向量为.又因为平面的一个法向量.所以.所以结合图形得，二面角的余弦值为.22（本小题12分）已知双曲线过点(3，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|MF2|6，试判别MF1F2的形状【解析】(1)椭圆方程可化为，焦点在x轴上，且c，故设双曲线方程为，则有解得a23，b22.所以双曲线的标准方程为.(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|MF2|2 ，又|MF1|MF2|6，故解得|MF1|4，|MF2|2，又|F1F2|2，因此在MF1F2中，|MF1|边最长，而cos MF2F1 ，所以MF2F1为钝角，故MF1F2为钝角三角形