1、银川二中2021-2022学年第二学期高二年级期中考试文 科 数 学 试 题注意事项：1.本试卷共22小题，满分150分.考试时间为120分钟.答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题1. 点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）A. B. C. D. 2. 若不等式的解集为，求实数的值（ ）A. B. C. D. 3 若，则（ ）A. B. C. D. 4. 下列点在曲线上的是A. B. C D. 5. 不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 6. 在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于
2、两点.若是等边三角形，则a的值等于（ ）A. B. C. D. 7. 已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是（ ）A. B. C. D. 8. 曲线在坐标伸缩变换下的方程是（ ）A. B. C D. 9. 设，当时，则的取值范围（ ）A. B. C. D. 10. 直线（为参数）被曲线所截的弦长（ ）A B. C. D. 11. 已知函数，若存在，使得成立，则的取值范围（ ）A. B. C. D. 12. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 若点的极坐标是，则点的直角坐标为_14. 曲线与坐标轴的交点是_15.
3、 不等式的解集_.16. 在直角坐标系中，曲线方程为，直线的参数方程为（为参数），若曲线截直线所得线段的中点坐标为，则的斜率是_.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设函数，其中（）当时，求不等式的解集；（）若不等式的解集为 ，求a的值18. 在直角坐标系中，曲线的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知射线与曲线交于两点，射线与曲线交于两点求面积19. （1）设且证明：；（2）已知为正数，且满足证明：20. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，直线的参数方程为.（1）若，求与的交点坐标；（2）若时，曲线上的
4、点到距离的最大值为，求.21. 已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）对于任意正实数，且，若恒成立，求实数a的取值范围22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2，直线l与曲线C的交点为A，B（1）求曲线C的直角坐标方程及时|AB|的值；（2）设点P（1，1），求的最大值银川二中2021-2022学年第二学期高二年级期中考试文 科 数 学 试 题注意事项：1.本试卷共22小题，满分150分.考试时间为120分钟.答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡.一、选择题:本大题共12小题，每小题
5、5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题1. 点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设点的极坐标，再根据直角坐标与极坐标的关系求解即可【详解】设点的极坐标为则，故，故，故点的极坐标为故选：B2. 若不等式的解集为，求实数的值（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求出实数的值.【详解】因为，即，因为不等式的解集为，所以，解得：.故选：D.3. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化两点的极坐标为直角坐标，再由两点间的距离公式求解.【详解】由两点，得两
6、点的直角坐标分别为，由两点的距离公式得：.故选：C.4. 下列点在曲线上是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】将参数方程化为普通方程是，代入各点可得在曲线上.考点：参数方程.5. 不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据绝对值不等式的方法求解即可【详解】即，即，即故选：B6. 在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则a的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由为等边三角形，结合圆的对称性可得，从而可求出，进而可求出【详解】因为圆和直线相交于两点，且是等边三角形，所以，所以，所以，故选：C7. 已知直线
7、的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求解即可【详解】由，得，得，所以极点到该直线的距离为，故选：A8. 曲线在坐标伸缩变换下的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据伸缩变换，将用表示出来，代入曲线方程中即可求解.【详解】 ，将代入曲线中可得： 故选：D9. 设，当时，则的取值范围（ ）A. B. C D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式，结合已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】由可得，解得，
8、因为当时，则，所以，解得.故选：B.10. 直线（为参数）被曲线所截的弦长（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将直线的参数方程化为普通方程，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后求出圆心到直线的距离，再利用圆心距，弦和半径的关系可求出弦长【详解】直线（为参数）消去参数得，由，得，即，所以圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离为，所以所求弦长为，故选：D11. 已知函数，若存在，使得成立，则的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意得，由绝对值不等式的性质可得，所以，由不等式的性质得，所以，从而可求出的取值【详解】存在，使得成立，等价于，因为，
9、当且仅当时成立，所以，则，因为，当且仅当，即时取等号，所以，所以，解得或，所以的取值范围为，故选：C12. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用作差法可判断AB选项；利用特殊值法可判断CD选项.【详解】因为，所以，因为，则，A对B错；若，则成立，但，C错；若，则成立，则不成立，D错.故选：A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 若点的极坐标是，则点的直角坐标为_【答案】【解析】【分析】根据极坐标与直角坐标的关系求解即可【详解】点的直角坐标为，即故答案为：14. 曲线与坐标轴的交点是_【答案】【解析】【分析】分别令求解与对应的
10、点坐标即可【详解】令，则，此时，故与轴的交点是；令，则，此时，故与轴的交点是；故答案为：、15. 不等式的解集_.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，分段去绝对值符号，求解不等式作答.【详解】当时，原不等式化为：，解得，则，当时，原不等式化为：，无解，当时，原不等式化为：，解得，则，所以原不等式的解集为.故答案为：16. 在直角坐标系中，曲线方程为，直线的参数方程为（为参数），若曲线截直线所得线段的中点坐标为，则的斜率是_.【答案】【解析】【分析】将直线的参数方程代入曲线方程化简，由题意可知，则，从而可求出直线的斜率【详解】因为直线的参数方程为（为参数），表示过点的直线，所以将直线的参数方程
11、代入曲线方程得，化简整理得，因为直线的参数方程中参数的几何意义为直线上的点到点的位移，所以两交点到中点的距离和为0，即，所以，解得，所以，所以的斜率是，故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设函数，其中（）当时，求不等式的解集；（）若不等式的解集为 ，求a的值【答案】（）或；（）2.【解析】【分析】（）当时，可化为，去掉绝对值求解即可；（）可化为不等式组或，分别求解与已知不等式的解集对应相等，求出a的值【详解】（）当时，可化为，由此可得或故不等式的解集为或() 由 得，此不等式化为不等式组或，即或，因为，不等式组的解集为，由题设可得=，故【点睛】本题考查含绝对值
12、的不等式的解法，考查学生计算能力和分类讨论思想，属于基础题18. 在直角坐标系中，曲线的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知射线与曲线交于两点，射线与曲线交于两点求面积【答案】（1） （2）9【解析】【分析】（1）根据化简求解即可（2）设，再结合极坐标的几何意义与三角形面积公式求解即可【小问1详解】由，即，将，代入，得，即，故曲线的极坐标方程为【小问2详解】依题意，设，由曲线的极坐标方程为得，曲线的极坐标方程为则，所以19. （1）设且证明：；（2）已知为正数，且满足证明：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【
13、分析】（1）将展开可得，由题意可得，都不为，则即可求证；（2）利用基本不等式可得，三式相加，结合，可得结论【详解】（1）因为，所以，因为，所以，都不为，则，所以.（2）因为a，b，c为正数，所以，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，即20. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，直线的参数方程为.（1）若，求与的交点坐标；（2）若时，曲线上的点到距离的最大值为，求.【答案】（1）， （2）8【解析】【分析】（1）将曲线化为标准方程，直线的参数方程化为一般方程，联立方程可以求得交点坐标.（2）曲线上的点可以表示成，应用点到直线的距离公式可以表示出到直线的距离，再结合距离最大值为进行分析，即可求出的值
14、.【小问1详解】曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或从而与的交点坐标为，.【小问2详解】直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以.21. 已知函数（1）若，求不等式解集；（2）对于任意的正实数，且，若恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值求解即可；（2）变换根据基本不等式求解最小值，再根据绝对值的三角不等式，结合恒成立问题求解即可【小问1详解】原不等式为，当时，得，显然成立，所以当时，得，得所以，当时，不成立.综上得不等式的解集为【小问2详解】因为为正实数，并且，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值又因
15、为，当时取到等号，要使恒成立，只需所以22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2，直线l与曲线C的交点为A，B（1）求曲线C的直角坐标方程及时|AB|的值；（2）设点P（1，1），求的最大值【答案】（1）；|AB|3；（2）2【解析】【分析】(1)结合即可得出曲线的直角方程，将当代入直线l的参数方程得出的直角方程为x1，联立曲线方程解出的值即可.(2)把直线的参数方程代入曲线的直角方程得出关于的一元二次方程，结合韦达定理和的几何意义即可求出结果.【详解】解：（1）曲线C的极坐标方程为2，根据，转换直
16、角坐标方程为，当时，直线l的参数方程为（t为参数，0），转换为直角坐标方程为x1所以，由，解得，所以|AB|3（2）把直线的参数方程，代入，得到（3+sin2）t2+（8sin6cos）t50，设点对应的参数为，点对应的参数为，故，故t1、t2的符号相反，由此时的几何意义可得：|PA|PB|t1|t2|t1+t2|，2|sin（）|的最大值为2，(其中).【点睛】(1)极坐标方程与直角坐标方程的互化方法:直角坐标方程化为极坐标方程：将公式xcos 及ysin 直接代入直角坐标方程并化简即可极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如cos ，sin ，2的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形技巧(2)圆和圆锥曲线参数方程的应用要注意两点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义有关圆或圆锥曲线上动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解