1、双曲线的简单几何性质 有一首歌，名字叫做悲伤的双曲线，歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线如果我是反比例函数，你就是那坐标轴虽然我们有缘，能够生在同一个平面然而我们又无缘，漫漫长路无交点问题1：双曲线的对称轴和对称中心各是什么？提示：坐标轴、坐标原点问题2：在双曲线中，有两条线与双曲线无限靠近，但不能相交，这条直线叫做什么？提示：双曲线的渐近线问题3：过双曲线的某个焦点平行于渐近线的直线与双曲线有几个交点？提示：只有一个交点1双曲线的几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形标准方程(a0，b0)(a0，b0)性 质 焦点 焦距 范围 对称性 对称
2、轴 ，对称中心 x2a2y2b21y2a2x2b21F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)|F1F2|2cxa或xa，yR ya或ya，xR x轴、y轴坐标原点 标准方程(a0，b0)(a0，b0)性 质 顶点 轴长 实轴长，虚轴长 离心率 渐近线 或 或x2a2y2b21y2a2x2b21(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)2a2b eca(e1)xayb0ybaxxbya0yabx2等轴双曲线实轴和虚轴的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是，离心率为.等长yxe 2.双曲线的焦点和顶点在同一条对称轴上.2.利用双曲线的渐近线可以较为精确地画出双曲线，渐近线是直线
3、xa，yb(或 xb，ya)围成的矩形的对角线，它决定了双曲线的形状.3.为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线标准方程x2a2y2b21(a0，b0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程xayb0.第一课时 双曲线的简单几何性质 例1 求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程 思 路 点 拨 化为标准形式 求a，b，c 得双曲线的几何性质精解详析 把方程 nx2my2mn(m0，n0)化为标准方程x2my2n1(m0，n0)，由此可知，半实轴长 a m，半虚轴长 b n，c mn，
4、焦点坐标为(mn，0)，(mn，0)，离心率 eca mnm1nm，顶点坐标为(m，0)，(m，0)，渐近线的方程为 y nm x，即 y mnm x.一点通 已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的先化成标准方程弄清方程中的a，b对应的值，再利用c2a2b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质1(2011安徽高考)双曲线 2x2y28 的实轴长是()A2 B2 2C4 D4 2解析：双曲线方程可变形为x24 y281，所以 a24，a2，2a4.答案：C2已知双曲线 C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆x225y2161的长轴端点、焦点，则双曲线 C 的渐近线方程
5、为()A4x3y0 B3x4y0C4x5y0 D5x4y0解析：由已知得，双曲线焦点在 x 轴上，且 c5，a3，双曲线方程为x29 y2161.渐近线方程为x29 y2160,即x3y40.答案：A例 2 求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)虚轴长为 12，离心率为54；(2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y32x；(3)与双曲线 x22y22 有公共的渐近线，且过点 M(2，2)思 路 点 拨 分析双曲线的几何性质 求a，b，c 确定讨论焦点位置 求双曲线的标准方程精解详析(1)设双曲线的标准方程为x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a0，b0)由题意知 2b12，ca54且 c
6、2a2b2，b6，c10，a8，标准方程为x264y2361 或y264x2361.(2)法一：当焦点在 x 轴上时，ba32且 a3，b92.所求的方程为x29 4y2811.当焦点在 y 轴上时，ab32且 a3，b2.所求的方程为y29x24 1.法二：设以 y32x 为渐近线的双曲线方程为x24 y29(0)。当 0 时，a24，2a2 4694；当 0)若已知双曲线的渐近线方程 ybax，还可以将方程设为x2a2y2b2(0)，可避免讨论焦点的位置3若双曲线的一个焦点为(0，13)，且离心率为135，则其标准方程为()A.x252 y21221 B.y2122x2521C.x2122
7、y2521 D.y252 x21221解析：依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c13.又ca135，所以 a5，b c2a212，故其标准方程为y252 x21221.答案：D4与椭圆x29 y2251 共焦点，离心率之和为145 的双曲线标准方程为_解析：椭圆的焦点是(0,4)，(0，4)，c4，e45，双曲线的离心率等于145 452，4a2，a2.b2422212.双曲线的标准方程为y24x2121.答案：y24x2121.例 3 已知 F1，F2 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦.如果PF2Q90，求双曲线的离
8、心率 思 路 点 拨 设F1c，0，将焦点F1的横坐标代入方程求出P的纵坐标及|PF1|由PF2Q90建立a，b，c的关系 求出离心率精解详析 设 F1(c,0)，由|PF2|QF2|，PF2Q90，知|PF1|F1F2|2c，|PF2|2 2c.由双曲线的定义得 2 2c2c2a.eca22 221 2.所以所求双曲线的离心率为 1 2.一点通(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出 a，c，再计算 eca；二是依据条件建立参数 a，b，c 的关系式，一种方法是消去 b 转化成离心率 e 的方程求解，另一种方法是消去 c转化成含ba的方程，求出ba后利用 e1b2a2求离心率(2)求离心率的范围一般是根据条件建立 a，b，c 的不等式，通过解不等式得ca或ba的范围，再求得离心率的范围5已知双曲线x2a2y2b21 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()A.3B.2C.52D.22解析：由题意可知，此双曲线为等轴双曲线等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则 ab，ca2b2 2a，于是 eca 2.答案：B6设 a1，则双曲线x2a2y2a121 的离心率 e 的取值范围是()A(2，2)B(2，5)C(2,5)D(2,5)解析：e2a2a12a2 1a22a2(1a1)21，a1，01a1,11a12，2e21，2e0，b0)