1、专题二 三角变换与平面向量、复数()sin()1yAwx三角函数是描述周期现象的数学模型高考中，单摆、弹簧振子、圆上一点的运动、以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等周期性现象是新的命题背景新教材中增设了三角函数模型的简单应用，且在课程标准中把“潮汐与港口水深”这一三角问题专门作为参考案例 在原来的教材中只有阅读材料，教材中有几处涉及三角函数在物理学科中的应用，如用函数的物理意义刻画简谐振动、交流电等，说明三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型显示重视三角函数实际应用的意图()2融入三角形之中的实际问题也常出现这种题型既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，故近年来备
2、受命题者的青睐，主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正 余弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换，从而获解一、三角函数图象的应用例1已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作y=f(t)下表是某日各时的浪高数据：经过长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acost+b的图象t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据，求出函数y=Acost+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放请根据(1)的结论，判断一天内的上
3、午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？【分析】读取与分析表中的数据，求得模型后，把第(2)问的情景转化为一个简单的三角函数不等式，再运用整体思想，借助函数的图象或者单位圆可以求解 01.51.5311 cos1.261222.126.01.1,201.0.51 tyAbtybTbTAyt则由，得，由，得所以，所以振幅为所以由表中数据知解，周期，析：1cos11cos0.22()123123()0240,1,203915212269 0015 004.8126620020 0062ZZyttkkkktkktktttt由题知，当 时才可对冲浪爱好者开放所以，所以所以，即
4、 因为，故可令有 个小时时间可供冲浪中 分别为，得 或 或故在规定时间上午：至者运动，即上午：至晚上：之间：，下午读取与分析表中的数据，是求解此题的关键，也是一种数学思维能力的训练，【点评】要加强403020cosABCCBB如图，位于 处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的 处的乙船，现乙船二、解三角形的朝北偏东 的方向沿直线前往 处例应救援用，求2的值2222cos120280020sinsin12040201207.,sinsin21.72 7.cos30coscos(370ABCABACBACABBBCAB
5、ACAB ACBCACBBACBACACBCACBBACABBCACBACBACB ，得由正弦定理得由，则为锐如题图所示，在中，角，由余弦定理，则解由知，析：)coscos30si2nsin301.14ACBACB本题是解斜三角形的应用题，考查了正、余弦定理以及两角和余弦公式的应用，考查学生利用数学知识解决实际问题【点评】的能力 41262RABCDABADBCCDABCDRADDCABBCP长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是 的圆面该圆面的内接四边形是原棚户建筑用地，测量可知边界万米，万米，万米请计算原棚户区建筑用地的面积及圆面的半
6、径 的值；因地理条件的限制，边界、不能变更，而边界、可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在弧上设计一3点例；使APCD得棚户区改造的新建筑用地的面积最大，并求最大值 222222180.462 4 6 cos422 2 4cos.1coscoscos.2(0 180)60.114 6 sin602 4 sin120221ABCDABCDABCADCACACABCACADCABCADCABCABCABCS 四边形因为四边形内接于圆，所以连接，由余弦定理，又，所以解因为，故析：8 3()万平方米 2222cos116362 4 6282 7.222 74 2123322 21()3AB
7、CACABBCAB BCABCACabRsinAsinBACRsinABCR 在中，由余弦定理，所以由正弦定理，所以，以万米所 22222221sin1202 3.213sin60.242cos60 282228APCDADCAPCADCAPCSSSSAD CDAPxCPySxyxyACxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyS 四边形四边形因为，又设，则又由余弦定理，所以，所以，当且仅当时取等号所以332 32 3289449 3APCDxy，所以最大面积为万平方米本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题【点评】的能力 1.11303011106060
8、(12)APBCDA在海岛 上有一座海拔 千米的山，山顶设有一个观察站 上午时，测得一轮船在岛北偏东，俯角为的 处，到时 分又测得该船在岛北偏西、俯角为的 处该船沿直线航行求船的航行速度；又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的 处，问此时船距备选例题岛：有多远？2222Rt6013.3Rt30.3306090330333301362 30(/)1 PABAPBPAABPACAPCACACBCABBCACAB如图所示，在中，则在中，则在中，则，故船的航行速度解析：米为千小时 2906030sinsin(180)sin3 33101030sinsin(30)sincos30cossin30331
9、33 311010110.102210202 DACABDCAACBACBBCCDAACBACBACB，33 10993133310133 311020A ADACACDsin DCAsin CDAAC sin DCAADsin CDA在中，据正弦定理得，所以，即此时船距离岛千米本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的【评】能力点1三角函数模型的常见应用三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题时有着广泛的应用如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述三角函数模型的常见类型有：(1)航海类问题：涉及方位角概念方位角指的是从指北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角(2)涉及正、余弦定理与三角函数图象有关的应用题.2010年全国高考有一解答题正是此类应用题(3)引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决最优化问题，即求最值(4)三角函数在物理学中的应用2解三角形应用题的一般步骤：(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知与所求，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型(3)正确选择正、余弦定理求解(4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中的单位、近似计算的要求