1、专题二 三角变换与平面向量、复数 22222tantsin()sincoscossincos()coscossinsintanan.1tanta()sin22sincos;cos2cossin2cos1 1 2sintan2n2tan1t.a2n11a两角和与差的正弦、余弦、正切公式：；二倍角公式本；基：公式 2222221 cos22coscos1 cos22sinsin00sincossin()1 cos(ta221 cos2.23n)babaabab注意：公式的变形应用：，即；，即辅助角公式：当，时，其中 2222222222222222222.cos2coscos2coscos2cos
2、.(sinsinsin222122.)ABCRABCAabcbcABbabcABCbcabccabacabcacacBCcaababCABCABCabbc正弦定理、正弦定理：在中，余弦定理：在中，或；或；或其中的三内角、的对应边分别为理、定、余弦 si2n13AabAAababABCabA已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解下图中 为锐角时，时，无解；为直角时，均无解已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况在中，已知、和角 时解斜三角形的，解的情类型况如下：(3)已知三边用余弦定理，有解时，只有一解(4)已知两边及夹角用余弦定理，必有一解 21421ta1sin2n(
3、).tan2cos1 cos2已知求一、两角和与差的正弦、余弦和正的值；求例切公式的值 22221.12tantan1tan441tan1tantan411tan1421tan2sincos2sinctan().tan()tantanoscos1 cos212cos12sincos123cos2115631.2方由，有，解得解析法：22222222tansincos.sincos1 coscoscos.cos22cos1sin22sincosc1133119991045233539sin2cos51041 cos21.5.2os56 由，得所以，即，所以于是，代得方入法：本题是给值求值问题，解
4、决这类问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系，再决定如何利用已知条件，采用哪些公式，怎样变形，以免造成不必要的麻烦熟练掌握公式和整体运用公式是解决这类问题的基础【点评】和前提 113coscos()7140.2t1a22n2.已知，二、简单的三角且求的值恒例；等求变形 22221cos07214 3sin11774 37tan4 37122 4 3tan2118 3.44 371cossincostantan 由，得，所以，于是解析：2200.2213cos()14133 3sin()11.1414()coscos()cos cos()sin sin()1134 33 31 .714714
5、2.23aacosa 由，得又因为，所以由，得所以 12给角求值问题，这类问题要找非特殊角之间、非特殊角和特殊角之间的联系，化简中尽量减少角的个数、三角函数的名称，降低三角函数的次数给值求角问题有一个三角函数值利用平方关系求另一个三角函数值时，一定要根据角的范围确定开方后的符号给值求角问题，要合理选择该角的某一三角函数，在该范围内三角函数是单调的，根据已知三角函数值，尽量缩小角【点评】的范围 .1()A 1B 2C.3357120_31D.3_132_caAABCABCABCabcAabcABC三、正弦定理与余弦定在中，角、的对边分别为、已知，则 等于 若，则的面积为，的外接圆的面积为理 例
6、222sinsinsisin123n.26.12BBAaabABbAbABBCcaabc由正弦定理，得而，则，所以，从而，则由，得解析：故选 22222752 5cos12052403115 3sin.24142sin3.2493 ABCABCbbbbbSbcAaRASR外接圆由余弦定理及已知，有，即，解得，所以因为，所以 12“”利用正弦定理求三角形的内角时，应依据 大边对大角，对所求出的角进行验证在解题时要注意公式【点评】的逆用 2213sin cossin cossin2224.2ABCCAACBabcB在中，已知求证：、成等差数列；求角 的例取值范围 223sin cossin cos
7、sin222113sinsinsin222sincossinsincossin3sinsinsinsin3sinsinsinsinsin2sin.12CAACBcosCcosAACBACACACBACACBABCACBACBbacba由已知，化为，即，即，因为，所以，所以式解析化为由正：所以弦定，可得，理，c成等差数列 22222222cos2122cos2326218322(80acbBacacbacacBacacacacacacacB由余弦定理，可得，由知，所以，所以角 的取值范围，是本题将三角函数、等差数列知识有机结合，并不单纯考查对三角函数的恒等变形知识的掌握，而是通过三角形的边角关系
8、，同时考查正弦定理和余弦定理这样一道题涵盖了三角函数部分的大部分内容，而且计算并不繁琐，在考查基础知识的基础上注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，同时兼顾基础性和综合性，坚持多角度的考查，全面考查综合数学素养【点评】的要求 213cos.4sin2()12ABCACBCCABAC如右图，在中，求备选的求题值；的值 2222co2s21.ABACBCAC BCCAB由余弦定理，可得解，析：223471414.85 2.8cos0sin.sinsinsincos0cossin22sincoscos21 2sinsin(5 7,12)sin2 coscos23 7.82 si6n691
9、 CCcos CBCsCACACAAAAAAAAACinCABACAC由，且，得由正弦定理得由，所以由二倍角公式得且，故当题中已知条件较多时，正确地画出图形，灵活选用正弦定理和余弦定理是快捷求解、运算【点评】的关键 222222221cossinsin2cossincos1.21cos1 cos()2()234xxxxxx 三角常值代换：特别是用“1?的代换，如等项的分析与角的配凑如分拆项：函数恒等变；配凑角：，降次与形的基升次化弦等本略切策法 22sincossin(2t15).an2abababab证明三角确定思路：利用三角公式进行化角，化名，改变运算结构，使等式恒两等式边化的思路和为同一形引入辅助角，这里辅助角 所在象限由、的符号确定，角式证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、方法的值由相消法3三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关解三角形的问题
