1、2.2 双 曲 线 2.2.1 双曲线及其标准方程【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材，并识记双曲线的定义和标准方程，初步会求双曲线的标准方程【知识链接】1.反比例函数的图象：函数y=的图象是双曲线 2.椭圆的定义：平面内与两定点的距离的和是常数(大于两定点间距离)的点的轨迹 1x主题一：双曲线的定义【自主认知】1.若把椭圆定义中的与两定点的“距离之和”改成“距离之差的绝对值”，这时轨迹又是什么曲线？提示：双曲线.2.如图所示|MF1|与|MF2|哪个大？若点M在另一支上呢？提示：点M在右支上时，|MF1|MF2|；若点M在左支上，则有|MF1|MF2|.3.双曲线上的点M与F1，F2的距
2、离之差是|MF1|-|MF2|还是|MF2|-|MF1|？提示：既包括|MF1|-|MF2|，也包括|MF2|-|MF1|.根据以上探究过程，试着写出双曲线的定义：平面内与_ _叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫双曲线的_.两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 焦距【合作探究】1.双曲线的定义中规定“距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)”，若不满足，会是什么结果？提示：若常数等于|F1F2|，则轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；若常数大于|F1F2|，则轨迹不存在.2.如果已知双曲线及双曲线上一点到其中一个焦点的距离，
3、能否得到它到另一焦点的距离？提示：能.根据双曲线的定义，双曲线上的点到两定点的距离之差的绝对值为常数，如果已知双曲线上一点到其中一个焦点的距离，可以求出它到另一个焦点的距离.【过关小练】若F1，F2是两定点，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a(02a|F1F2|)，则动点P的轨迹是()A.双曲线 B.双曲线靠近F2的一支 C.双曲线靠近F1的一支 D.一条线段【解析】选B.由双曲线定义当|PF2|-|PF1|=2a(02a|F1F2|)时动点P的轨迹是双曲线，所以满足|PF1|-|PF2|=2a(02a|F1F2|)的动点P的轨迹是双曲线靠近F2的一支.主题二：双曲线的标准方程【自主认知】
4、1.根据双曲线的几何特征，如何建立坐标系才能使双曲线的方程比较简单？提示：选择x轴(或y轴)经过两个定点F1，F2，并且使坐标原点为线段F1F2的中点，这样两个定点的坐标比较简单，从而求得的双曲线方程也简单.2.若以两焦点F1，F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线所在直线为y轴建立坐标系，则此时双曲线上任一点M满足的条件是什么？提示：根据双曲线的定义知满足条件|MF1|-|MF2|=2a.根据以上探究过程，试着写出求双曲线的标准方程：焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 _ _ 焦点坐标 _ _ a，b，c关系 c2=_ 2222xy1 a0,b0ab2222yx1 a0,b0ab(
5、-c，0)，(c，0)(0，-c)，(0，c)a2+b2【合作探究】1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是什么？提示：确定参数a，b的值.2.求双曲线的标准方程时，设出双曲线方程的关键是什么？提示：关键是先确定焦点的位置，若双曲线的焦点位置不能确定，要分别写出焦点在x轴、y轴上的双曲线的标准方程，不能遗漏.【过关小练】1.已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点 和 则双曲线的标准方程是_.【解析】由已知，可设所求双曲线方程为 解得 所以双曲线的方程为 答案：(34 2),9(,5)4，2222yx1 a0 b0ab，22223291,ab25811,a16b则22a16,b9,22yx1
6、16922yx11692.已知双曲线x2-y2=m与椭圆2x2+3y2=72有相同的焦点，求m的值.【解析】椭圆方程为 c2=a2-b2=36-24=12,所以焦点 双曲线 与椭圆有相同焦点，所以2m=12,所以m=6.22xy1,362412F(2 3,0)F(2 3 0)，22xy1mm【归纳总结】1.对双曲线定义的三点说明(1)a，c关系：02a2c，可用双曲线焦点三角形PF1F2的两边之差小于第三边来记忆，若点P刚好是双曲线与F1，F2所在直线的交点，此时构不成三角形，仍然很容易得到2a0)小于|F1F2|”.(3)左右支：当M满足|MF1|-|MF2|=2a|F1F2|时，M点的轨迹
7、是离点F2较近的双曲线一支；当M满足|MF2|-|MF1|=2aa0，cb0，a与b的大小不定.(4)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准方程.【拓展延伸】1.双曲线与椭圆的区别与联系 椭圆 双曲线|MF1|+|MF2|=2a|MF1|-|MF2|=2a a2=b2+c2 c2=a2+b2 a比b大 a不一定比b大 焦点位置与分母大小相对应 焦点位置与项的正负对应 2222xy1,ab2222yx1(ab0)ab 22222222xyyx1,1(a0,b0)abab2.翻转法求焦点在y轴上的椭圆方程 可借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知
8、，将已知焦点在x轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在y轴上的椭圆的标准方程.只需将图(1)沿直线y=x翻折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转90即可转化成图(2)，需将x轴、y轴的名称换为y轴、-x轴.类型一：求双曲线的标准方程【典例1】(1)(2015嘉兴高二检测)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，-5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6.则双曲线的标准方程为_.(2)动圆M与C：(x+2)2+y2=2内切，且过点A(2，0)，求圆心M的轨迹方程.【解题指南】(1)由题意焦点在y轴上，设出标准方程利用待定系数法求解.(2)利用两圆内切和圆过定点，可以得到点M
9、满足的条件，进而判断符合双曲线的定义.【解析】(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为 因为2a6,2c10，所以a3，c5.所以b2523216.所以所求双曲线标准方程为 答案：2222yx1 a0 b0ab，22yx1.91622yx1916(2)设动圆M的半径为r,因为C与M内切，点A在C外，所以|MC|=MA=r,因此有MA-MC=所以点M的轨迹是以 C,A为焦点的双曲线的左支，即M的轨迹方程是 r2，2，222y2x1 x2.7【延伸探究】1.(变换条件)本典例(2)改为动圆与C1：x2+(y-1)2=1和C2：x2+(y+1)2=4都外切，求圆心M的轨迹方程.【解析】因
10、为M与C1、C2均外切，所以|MC1|=r+1，|MC2|=r+2，因此有|MC2|-|MC1|=1，所以点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的 上支，所以M的轨迹方程是 224x14y1(y).322.(变换条件)本典例(2)中条件改为动圆M与C1：(x+3)2+y2=9外 切，且与C2：(x-3)2+y2=1内切，求圆心M的轨迹方程.【解析】因为M与C1外切，且M与C2内切，所以|MC1|=r+3，|MC2|=r-1，因此|MC1|-|MC2|=4，所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的 双曲线的右支，所以M的轨迹方程是 22xy1(x2)45【规律总结】1.待定系数法求方程的步骤(1)定
11、型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式,若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB0).与双曲线 共焦点的双曲线的标准方程可设为 (-b2a2).2222xy1ab2222xy1ab(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.(4)结论：写出双曲线的标准方程.2.定义法求双曲线方程的步骤(1)列出动点满足的条件(2)整理化简条件式，若满足动点到两定点的距离的差(或差的绝对值)是常数，则可以判定动点的轨迹是双曲线的一支(或完整的双曲线)(3)利用两定点间的距离和常数，可以求出a，c，进而得系数b，可
12、以写成标准方程.【补偿训练】1.已知双曲线的焦点分别为(0，2)，(0,2)，且经过 点P(3,2)，则双曲线的标准方程是_【解析】由题知c2，又点P到(0，2)和(0,2)的距离之差的绝对 值为2a，所以a1，所以b2c2a23，又焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为 答案：22222a(3 0)223 02 22 ，22xy1.322xy132.已知与双曲线 共焦点的双曲线过点 求该双曲线的标准方程【解析】已知双曲线 得c2a2b216925，所以c5.设所求双曲线的标准方程为 依题意，c5，所以b2c2a225a2，故双曲线方程可写为 22xy11695P(6)2,，22xy1169，2
13、222xy1 a0 b0ab，2222xy1a25 a，因为点 在双曲线上，所以 化简得，4a4129a21250，解得a21或 又当 时，b225a2 不合题意，舍去，故a21，b224.所以所求双曲线的标准方程为 5P(6)2，22225()(6)21.a25 a2 125a.42 125a41252525044，22yx1.24类型二：双曲线的定义【典例2】已知F1，F2是双曲线 的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32.试求F1PF2的面积.【解题指南】由条件知|PF2|PF1|6,再利用余弦定理得F1PF2的边角关系，进而求得面积.22xy1916【解析】由已知
14、得，a=3，b=4，所以2c=10，2a=6.因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|-|PF1|=6，两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|PF2|=36+232=100.c9 165，在F1PF2中，由余弦定理，得cos F1PF2 所以F1PF290，所以 222121 212|PF|PF|FF|2|PF|PF|12100 10002|PF|PF，12FPF1211S|PF|PF|32 16.22【延伸探究】1.(变换条件)若双曲线上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离.【解析】由双曲线的标准方
15、程 可知a3，b4，由双曲线的定义，得|PF2|PF1|2a6，则|PF2|10|6，解得|PF2|4或|PF2|16.22xy1916，22cab5.2.(变换条件)把题设条件“|PF1|PF2|32”换成“|PF1|PF2|25”，试求F1PF2的面积.【解析】由|PF1|PF2|25，|PF2|PF1|6，可知|PF2|=10，|PF1|4.所以 12FPF1S4 4 6 8 6.2【规律总结】双曲线中的焦点三角形 双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1，|PF2|=r2,F1PF2=,因|F1F2|=2c,所以有(1)定义：|r
16、1-r2|=2a.(2)余弦公式：4c2=r12+r22-2r1r2cos.(3)面积公式：一般地，在PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.1 2PFF1 21Sr r sin.2【补偿训练】平面内有两个定点F1(5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|PF2|6，则动点P的轨迹方程是()22222222xyA.1(x4)169xyB.1(x3)916xyC.1(x4)169xyD.1(x3)916【解析】选D.因为F1(5，0)和F2(5，0)，|PF1|PF2|6,根据双 曲线的定义可得动点P的轨迹是双曲线的右支，且c=5,a=3,b=4,故动 点P的轨迹方程为 22
17、xy1 x3.916类型三：双曲线标准方程的应用【典例3】(1)(2015益阳高二检测)若方程 表示双曲线，则k的取值范围是()A(5,10)B(，5)C(10，)D(，5)(10，)22xy110 k5 k(2)双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()(3)若双曲线 的焦点在y轴上，则m的取值范围是()A(2,2)B(2，1)C(1,2)D(1,2)256A.(,0)B.(,0)C.(,0)D.(3,0)222222xy1m4m 1【解题指南】(1)方程是双曲线方程，则分母异号.(2)把方程化为标准形式即可确定.(3)焦点在y轴上，则y2的系数为正，x2的系数为负.【解析】(1)选A.由题意得(10k)(5k)0，解得5k10.(2)选C.因为双曲线方程为 所以a1，得 所以它的右焦点坐标为 故C正确(3)选B.由已知得 即-2m1，则关于x，y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的双曲线【解析】选C.原方程化为 因为k1，所以k210,1k0.所以方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线 222yx1k1 1 k，