1、1.4.3 含有一个量词的命题的否定【自主预习】1.全称命题p:xM,p(x),否定:_.2.特称命题p:x0M,p(x0),否定:_.p:x0M,p(x0)p:xM,p(x)【即时小测】1.有下列4个命题:(1)没有男生爱踢足球;(2)所有男生都不爱踢足球;(3)至少有一个男生不爱踢足球;(4)所有女生都爱踢足球.其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定的是()A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)【解析】选C.只要有一个男生不爱踢足球,就不能说所有的男生都爱踢足球;所以命题“所有男生都爱踢足球”的否定是“至少有一个男生不爱踢足球”.2.已知命题p:对xR,有sinx1,则()A.p:x0R
2、,使sinx01 B.p:xR,使sinx1 C.p:x0R,使sinx01 D.p:xR,使sinx1【解析】选C.p:x0R,使sinx01.3.命题“x-2,3,-1x3”的否定是_.【解析】把改为,-1x2n B.n0N,C.nN,n22n D.n0N,0n20n2,0n20n20n20n22.(2015浙江高考)命题“nN*,f(n)N*且f(n)n”的否定形式是()A.nN*,f(n)N*且f(n)n B.nN*,f(n)N*或f(n)n C.n0N*,f(n0)N*且f(n0)n0 D.n0N*,f(n0)N*或f(n0)n0【解题探究】1.典例1中命题p是什么命题?其否定是什么
3、命题?提示:特称命题,其否定是全称命题.2.典例2中如何对“p且q”进行否定?提示:否定为p或q.【解析】1.选C.否定时,要把“”变为“”,“”变为“”,故p:nN,n22n.2.选D.根据全称命题的否定是特称命题,含有“或”“且”的否定,要互换联结词.【延伸探究】本例2中命题改为:“n0N*,f(n0)N*或f(n0)n0”,则其否定形式为()【解析】选A.命题的否定形式为nN*,f(n)N*且f(n)n.【方法技巧】1.对全称命题否定的两个步骤(1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.(2)否定性质:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.2.全称命题否定后的真假判断方法
4、 全称命题的否定是特称命题,其真假性与全称命题相反;要说明一个全称命题是假命题,只需举一个反例即可.【拓展延伸】常见词语的否定 原词否定词原词否定词等于不等于至多一个至少两个大于不大于至少一个一个也没有小于不小于任意某个是不是所有的某些都是不都是【变式训练】写出下列命题的否定.(1)所有自然数的平方是正数.(2)任何实数x都是方程5x-12=0的根.(3)有些质数是奇数.【解析】(1)的否定:有些自然数的平方不是正数.(2)的否定:存在实数x0不是方程5x0-12=0的根.(3)的否定:所有的质数都不是奇数.类型二 含量词的命题的应用【典例】已知命题“对于任意xR,x2+ax+10”是假命题,
5、求实数a的取值范围.【解题探究】原命题与其否定的真假性有什么关系?处理二次不等式恒成立问题的关键是什么?提示:原命题与其否定的真假性相反.关键是开口方向和判别式 的符号.【解析】因为全称命题“对于任意xR,x2+ax+10”的否定形式为:“存在x0R,x02+ax0+10,解得a2.所以实数a的取值范围是(-,-2)(2,+).【延伸探究】1.本例中把条件“任意xR”改为“x0”,则实数a的取值范围是_.【解析】由题意新命题的否定“存在x00,x02+ax0+10”为真.因为f(x)=x2+ax+1是开口向上的抛 物线且过(0,1)点,借助二次函数的图象易知 解得af(x)(或af(x)max(或af(x0)(或af(x)min(或a0是真命题,即不等式e|x-1|-m0恒成立,所以me|x-1|.因为e|x-1|最小值为1,所以m1”的否定是_.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是把命题误当为简单命题处理;这种情形下,应先将命题写成完整形式,再来写出其否定形式.正确解答过程如下:【解析】原命题即:xR,x2+11,所以其否定为:x0R,x02+11.答案:x0R,x02+11