1、2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共17小题，每小题5分，满分70分）1sin135=2已知ABC为直角三角形，C=90，B=30，AB=2，则AC=3直线y=2x+1的斜率为4圆（x1）2+y2=9的半径为5等差数列an，a1=1，a2=2，则a3=6函数f（x）=sin2x+sinxcosx的周期为7在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bc=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为8已知过点A（2，m）和点B（m，4）的直线l1，直线2x+y1=0为l2，直线x+ny+1=0为l3，若l1l2，l2l3，则m+n=9若直
2、线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）相交于A，B两点，且AOB=120，（O为坐标原点），则r=10（B）已知等比数列an，首项为3，公比为，前n项之积最大，则n=11已知cos（）=，sin（）=，且0，则sin=12在ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=，则sin（2B+）=13设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0c，则这两条直线之间的距离的取值范围是14设点M（x0，1），已知圆心C（2，0），半径为1的圆上存在点N，使得CMN=45，则x0的最大值为15已知各项均为正数的数列an的首项a1=1，Sn是数
3、列an的前n项和，且满足：anSn+1an+1Sn+anan+1=anan+1，则S12=16在ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则C的大小为17在ABC中，AC=3，A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为二、解答题18（1）已知sin=，（，），求sin2；（2）已知tan=，求tan2的值19在ABC中，（1）已知a=2bsinA，求B；（2）已知a2+b2+ab=c2，求C20（1）求过点A（2，3），且垂直于直线3x+2y1=0的直线方程；（2）已知直线l过原点，且点M（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程21过点P（3，4）作直线l，当l的斜
4、率为何值时（1）l将圆（x1）2+（y+2）2=4平分？（2）l与圆（x1）2+（y+2）2=4相切？（3）l与圆（x1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2？22已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=10（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn；（3）求数列的前n项和Tn23在ABC中，角A、B、C的 对边分别为a、b、c，且（1）求的值；（2）若，求tanA及tanC的值24如图，ABC为一直角三角形草坪，其中C=90，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C
5、；方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C（1）求方案一中三角形DEF面积S1的最小值；（2）求方案二中三角形DEF面积S2的最大值2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共17小题，每小题5分，满分70分）1sin135=【考点】运用诱导公式化简求值【分析】运用特殊角的三角函数值，和诱导公式即可化简求值【解答】解：sin135=sin=sin45故答案为：2已知ABC为直角三角形，C=90，B=30，AB=2，则AC=1【考点】正弦定理【分析】根据含有30的直角三角形的性质得出【解答】解：C=90，B=30
6、，AB=2，AC=故选13直线y=2x+1的斜率为2【考点】直线的斜率【分析】根据斜截式直线方程y=kx+b的斜率为k，写出斜率即可【解答】解：直线y=2x+1的斜率为2故答案为：24圆（x1）2+y2=9的半径为3【考点】圆的标准方程【分析】直接由圆的标准方程求得圆的半径【解答】解：由圆（x1）2+y2=9，得r2=9，r=3即圆（x1）2+y2=9的半径为3故答案为：35等差数列an，a1=1，a2=2，则a3=3【考点】等差数列的通项公式【分析】由等差数列an的性质可得：2a2=a1+a3即可得出【解答】解：由等差数列an的性质可得：2a2=a1+a322=1+a3，解得a3=3故答案为
7、：36函数f（x）=sin2x+sinxcosx的周期为【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】利用三角函数的降幂公式与辅助角公式可将f（x）=sin2x+sinxcosx+2化为：f（x）=sin（2x）+，利用周期公式即可求得其周期【解答】解：f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=（sin2xcos2x）+=sin（2x）+，其最小正周期T=故答案为：7在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bc=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA= 的值【解答】解：在
8、ABC中，bc=a ，2sinB=3sinC，2b=3c ，由可得a=2c，b=再由余弦定理可得 cosA=，故答案为：8已知过点A（2，m）和点B（m，4）的直线l1，直线2x+y1=0为l2，直线x+ny+1=0为l3，若l1l2，l2l3，则m+n=10【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由条件根据两直线平行，斜率相等；两直线垂直，斜率之积等于1，分别求得m、n的值，可得m+n的值【解答】解：由题意可得，直线为l1的斜率为，直线l2的斜率为2，且l1l2，=2，求得m=8由于直线l3的斜率为，l2l3，2（）=1，求得n=2，m+n=10，故
9、答案为：109若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）相交于A，B两点，且AOB=120，（O为坐标原点），则r=2【考点】直线与圆相交的性质【分析】若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）交于A、B两点，AOB=120，则AOB为顶角为120的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案【解答】解：若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB=120，则圆心（0，0）到直线3x4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：210（B）已知
10、等比数列an，首项为3，公比为，前n项之积最大，则n=3【考点】等比数列的前n项和【分析】an=3，可得前n项之积Tn=，对n分类讨论，底数与1比较大小关系即可得出【解答】解：an=3，前n项之积Tn=3n=，由于n3时，1；由于n4时，1n=3时，前n项之积最大，故答案为：311已知cos（）=，sin（）=，且0，则sin=【考点】三角函数的化简求值【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin（）和cos（）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin的值【解答】解：cos（）=，sin（）=，且0，（，），sin（）=；（0，），cos（）=则sin=sin（）（）=sin（）cos（）cos
11、（）sin（）=+=12在ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=，则sin（2B+）=【考点】三角函数的化简求值【分析】由条件利用同角三角的基本关系求得sinA的值，利用正弦定理求得sinB的值，可得cosB的值，利用二倍角公式求得sin2B、cos2B的值，再利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值【解答】解：ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=（，），B（0，），sinA=，则由正弦定理可得=，sinB=，cosB=，sin2B=2sinBcosB=，cos2B=12sin2B=，sin（2B+）=sin2Bcos+cos2Bsin=+=，故答案为：13设两条直线的方程分别为x
12、+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0c，则这两条直线之间的距离的取值范围是，【考点】两条平行直线间的距离【分析】由题意和韦达定理可得a+b=1，ab=c，可得两平行线间的距离d满足d2=，由0c和不等式的性质可得【解答】解：a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，由韦达定理可得a+b=1，ab=c，两平行线间的距离d=，故d2=，0c，04c，4c0，14c1，d2，d故答案为：，14设点M（x0，1），已知圆心C（2，0），半径为1的圆上存在点N，使得CMN=45，则x0的最大值为3【考点】直线与圆的位置关系【分析】作出对应的同学根据条件CMN=45
13、，则必有CMNCMT，所以只需CMT45即可，借助于三角函数容易求出x0的范围【解答】解：易知M（x0，1）在直线y=1上，设圆C的方程为（x2）2+y2=1与直线y=1的交点为T，假设存在点N，使得CMN=45，则必有CMNCMT，所以要是圆上存在点N，使得CMN=45，只需CMT45，因为T（2，1），所以只需在RtCMT中，tanCMT=tan45=1，即|x02|1，则1x021，即1x03故x01，3则x0的最大值为3，故答案为：315已知各项均为正数的数列an的首项a1=1，Sn是数列an的前n项和，且满足：anSn+1an+1Sn+anan+1=anan+1，则S12=3【考点】
14、等比数列的前n项和；等比数列的通项公式【分析】根据题意，利用等比数列的前n项和公式求出通项公式an，进一步求出数列对应的前n项和公式，再计算S12的值【解答】解：anSn+1an+1Sn+anan+1=anan+1，且Sn+1=Sn+an+1，（anan+1）Sn+anan+1+anan+1=0，Sn+1=0；又a1=1，令n=1，则1+1=0，解得a2=，同理可得a3=，猜想an=；下面利用数学归纳法证明：当n=1时，a1=1，成立；假设当nk（kN*）时成立，ak=，则Sk=；Sk+1=0，+1=0，解得ak+1=；因此当n=k+1时也成立，综上，对于nN*，an=都成立；由等差数列的前n
15、项和公式得，Sn=；S12=316在ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则C的大小为【考点】余弦定理【分析】已知两等式两边分别平方，相加后利用同角三角函数间的基本关系化简，求出sinC的值，即可确定出C的度数【解答】解：由3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，2+2得：（3sinA+4cosB）2+（3cosA+4sinB）2=37，化简得：9+16+24（sinAcosB+cosAsinB）=37，即sin（A+B）=sin（C）=sinC=，又C（0，），C的大小为或，若C=，得到A+B=，则cosA，所以3cosA1，3cosA+4sinB
16、1与3cosA+4sinB=1矛盾，所以C，满足题意的C的值为则C的大小为故答案为：17在ABC中，AC=3，A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为3【考点】三角形中的几何计算【分析】由已知，结合向量的基本运算可求得=，然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB，最后利用余弦定理可求BC【解答】解： =2=AD=|=，AC=|=3，A=，设AB=c=|cosA=则13=13=1整理可得，2c254=0c0解可得，c=3由余弦定理可得，a2=c2+b22bccosA=二、解答题18（1）已知sin=，（，），求sin2；（2）已知tan=，求tan2的值【考点】二倍角的正切；二倍角的正弦【
17、分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos的值，再利用二倍角公式，求得 sin2 的值（2）由条件利用二倍角的正切公式求得tan2的值【解答】解：（1）已知sin=，（，），cos=，sin2=2sincos=（2）已知tan=，tan2=19在ABC中，（1）已知a=2bsinA，求B；（2）已知a2+b2+ab=c2，求C【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA，sinA0，化为sinB=，即可得出；（2）利用余弦定理即可得出【解答】解：（1）a=2bsinA，由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA，sinA0，化为sinB
18、=，B（0，），B=或（2）a2+b2+ab=c2，cosC=，又C（0，），C=20（1）求过点A（2，3），且垂直于直线3x+2y1=0的直线方程；（2）已知直线l过原点，且点M（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程【考点】待定系数法求直线方程【分析】（1）由已知方程和垂直关系可得所求直线的斜率，写出点斜式方程，化为一般式即可；（2）可设直线l的方程为kxy=0，由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得【解答】解：（1）直线3x+2y1=0的斜率为，由垂直关系可得所求直线的斜率k=，又直线过点A（2，3），方程为y3=（x2）化为一般式可得2x3y+5=0；（2）直线l过原点，且
19、点M（5，0）到直线l的距离为3，可设直线l的方程为y=kx，即kxy=0，由点到直线的距离公式可得=3，解得k=直线l的方程为y=x，即3x4y=021过点P（3，4）作直线l，当l的斜率为何值时（1）l将圆（x1）2+（y+2）2=4平分？（2）l与圆（x1）2+（y+2）2=4相切？（3）l与圆（x1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2？【考点】直线的点斜式方程【分析】（1）当l经过圆心Q（1，2）时，可将圆（x1）2+（y+2）2=4平分，利用点斜式即可得出（2）设直线l的方程为：y+4=k（x+3），化为kxy+3k4=0，根据直线l与圆相切，可得圆心Q（1，2）到直线l的距离
20、d=2，解出即可（3）由于l与圆（x1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2，可得直线l的距离d=，解出k即可【解答】解：（1）当l经过圆心Q（1，2）时，可将圆（x1）2+（y+2）2=4平分，直线l的方程为：y+2=（x1），化为x2y5=0（2）设直线l的方程为：y+4=k（x+3），化为kxy+3k4=0，直线l与圆相切，圆心Q（1，2）到直线l的距离d=2，化为：3k24k=0，解得k=0或当k=0或时，直线l与圆相切（3）l与圆（x1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2，直线l的距离d=，化为13k216k+1=0，解得k=当k=时，满足条件22已知等差数列an满足a2=
21、0，a6+a8=10（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn；（3）求数列的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求；（2）直接利用等差数列的前n项和公式求解；（3）把数列an的通项公式代入，利用错位相减法求前n项和Tn【解答】解：（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a2=0，a6+a8=10，得，解得an=1（n1）=2n；（2）=；（3）=，两式作差得： =23在ABC中，角A、B、C的 对边分别为a、b、c，且（1）求的值；（2）若，求tan
22、A及tanC的值【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数【分析】（1）利用二倍角的余弦函数公式化简cos2C，变形后求出sin2C的值，由C为三角形的内角，得到sinC大于0，开方可得出sinC的值，利用正弦定理化简得到的关系式，得到2sinB=sinAsinC，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinB=sin（A+C），代入关系式中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinAsinC不为0，等式左右两边同时除以cosAcosC，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，即可得到所求式子的值；（2）由第一问求出的式子表示出tanA，然后把tanB中的B换为（A+C），利
23、用诱导公式化简后，将表示出的tanA代入，得到关于tanC的方程，求出方程的解得到tanC的值，代入表示出的tanA，可得出tanA的值【解答】解：（1），cos2C=12sin2C，C为三角形内角，sinC0，sinC=，即2sinB=sinAsinC，A+B+C=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，sinAsinC0，；（2），A+B+C=，整理得tan2C8tanC+16=0，解得：tanC=4，将tanC=4代入得： =424如图，ABC为一直角三角形草坪，其中C=90，BC=2米，AB=4米，为了
24、重建草坪，设计师准备了两套方案：方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C；方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C（1）求方案一中三角形DEF面积S1的最小值；（2）求方案二中三角形DEF面积S2的最大值【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】（1）在方案一：在三角形AFC中，设ACF=，（0，），表示出三角形DEF面积S1，利用基本不等式求出最小值；（2）在方案二：在三角形DBA中，设DBA=，（0，），表示出三角形DEF面积S1，利用辅助角公式求出最小值【解答】解：（1）在方案一：在三角形AFC中，设ACF=，（0，），则，因为DEAC，所以E=，且，即，解得，所以，所以当sin2=1，即=45时，S1有最小值 （2）在方案二：在三角形DBA中，设DBA=，（0，），则，解得，三角形CBE中，有，解得，则等边三角形的边长为，所以边长的最大值为，所以面积S2的最大值为2016年5月21日
