1、第5讲动态平衡问题和平衡中的临界、极值问题一、动态平衡问题“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力,是动态力,力的大小或方向要发生变化,但变化过程中的每一时刻的状态均可视为平衡状态,所以叫动态平衡,这是力平衡问题中的一类难题。解动态平衡问题两种常用的方法是解析法和图解法。二、平衡中的临界、极值问题1.临界状态:是从一种物理现象转变为另一种物理现象,或从一个物理过程转入另一个物理过程的转折状态。临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态。常见的临界状态有:(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0);(2)绳子断与不断的临界条件为作用力
2、达到最大值;(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。2.解答临界问题的关键是找到临界条件。1.如图所示,将所受重力为G的光滑小球用轻质细绳拴在竖直墙壁上,当把绳的长度增长,则下列判断正确的是()A.绳对球的拉力T和墙对球的弹力N均减小B.绳对球的拉力T增大,墙对球的弹力N减小C.绳对球的拉力T减小,墙对球的弹力N增大D.绳对球的拉力T和墙对球的弹力N均增大答案A小球受力情况如图甲所示,设绳与墙夹角为。因小球处于平衡状态,所以任意两个力的合力均与第三个力大小相等、方向相反。如图乙所示,根据平行四边形定则将力G与N合成,可知N=G tan ,T=F=Gco
3、s,故当绳变长时,减小,N、T均减小,A正确。甲乙2.如图所示,轻绳OA、OB一端分别固定于天花板上的A、B两点,轻绳OC一端悬挂一重物。已知OA、OB、OC能承受的最大拉力分别为150 N、100 N、200 N。问悬挂的重物的重力不得超过多少?答案173.2 N解析设重物重力G较小,三绳所受拉力均没有超过其所能承受的最大拉力。分析结点O受力情况如图所示。根据共点力平衡可得:FC=GFA=32GFB=12G考虑到FC200 N,FA150 N,FB100 N解得G1200 N,G2173.2 N,G3200 N所以应有G173.2 N。考点一动态平衡问题 所谓动态平衡问题,是指通过控制某些物
4、理量,使物体的状态发生缓慢变化,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态。解决此类问题的常用方法有解析法和图解法。1-1如图所示,用轻细绳AO和BO将质量为m的重物悬吊起来,静止时AO是水平的,BO与竖直方向的夹角为。已知重力加速度为g。设AO绳的拉力为F1,BO绳的拉力为F2。(1)如果保持节点O的位置不变,将B点向左缓慢移动(同时增加绳长),则()A.F2变小,F1变大B.F2变大,F1变小C.F1和F2的合力不变D.F1和F2的合力变小(2)如果保持节点O的位置不变,将A点向上缓慢移动(同时增加绳长),F1和F2分别怎样变化?答案见解析解析(1)方法1:在B点缓慢左移的过程中,缓慢增
5、大,而O点始终保持受力平衡状态,F1和F2均发生变化,但它们的合力一定不变,f=mg,方向竖直向上;因F1=mg tan ,F2=mgcos,所以增大,tan 增大、cos 减小。所以F2逐渐增大,F1逐渐增大。方法2:F1和F2的合力大小、方向不变,F1的方向不变。作矢量图如图甲所示,可以看出当角逐渐增大的过程中,F2和F1对应的边长逐渐增大。(2)因为在缓慢移动A点的过程中,F1、F2和f构成的三角形不再是直角三角形。作矢量图如图乙所示,可以看出F1先减小后增大,F2逐渐减小。OA绳上的拉力有最小值F1=mg sin 。1-2如图将质量为m的小球a用轻质细线悬挂于O点,用力F拉小球a,使整
6、个装置处于静止状态,且悬线与竖直方向的夹角=30,重力加速度为g,则F的最小值为()A.33mg B.12mgC.32mg D.2mg答案B整个装置处于静止状态,小球受力平衡,设线的拉力为T,根据平衡条件知:F与T的合力与小球的重力mg总是大小相等、方向相反,由力的合成图可知,当F与线垂直时,F有最小值,如图所示。F的最小值为Fmin=mg sin =12mg,选项B正确。考点二平衡中的极值问题一种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态。平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏而尚未被破坏的状态。解决平衡物体的临界问题的关键是找到临界条件。2-1三段不可伸长的轻质细绳OA
7、、OB、OC能承受的最大拉力相同,它们共同悬挂一物体,如图所示,其中OB是水平的,A端、B端固定。若逐渐增加C端所挂物体的质量,则最先断的绳() A.必定是OAB.必定是OBC.必定是OCD.可能是OB,也可能是OC答案A以结点O为研究对象,在绳子均不被拉断时受力图如图,则知:FOAFOB,FOAFOC,即OA绳的拉力最大,而细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同,则当物体质量逐渐增加时,OA绳最先被拉断,故选A。2-2如图所示,质量为m的物体放在水平地面上,物体与地面间的动摩擦因数为。现施以与水平方向成角且斜向上的拉力F,为使物体能沿水平面做匀速运动,当取何值时,力F最小?此最小值为多大?
8、答案见解析解析物体受力如图所示。将力F分解为水平分力F1和竖直分力F2,则有F1=fF2+N=G即F cos =N=N(N为物体对地面的正压力)F sin +N=G所以F=mgcos+sin为使F最小,可令sin =11+2,则上式可化为F=mg1+2sin(+)当+=90,即=90-,当满足tan =时,F有最小值,此最小值为mg1+2。A组基础巩固 1.(多选)(2018首师大附中月考)如图所示,用轻绳OA把球挂在光滑的竖直墙壁上,O点为轻绳的固定点,B点为球与墙壁的接触点。现保持固定点O不动,将轻绳OA加长,使轻绳与墙壁的夹角变小,则球静止后与轻绳OA加长之前相比()A.轻绳对球的拉力变
9、小 B.球对墙壁的压力变小C.墙壁对球的支持力不变 D.球所受的合力变大答案AB对球进行受力分析,如图所示:因球在两种情况下均处于静止状态,则球所受合力不变,为零。因球所受合力为零,故有T=mgcos,F=mg tan 。当将轻绳OA加长,使绳与墙壁的夹角变小时,cos 增大,tan 减小,则T减小,F减小,由牛顿第三定律可知,球对墙壁的压力变小,故选A、B。2.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O,如图所示。用T表示绳OA段拉力的大小,在O点向左移动的过程中()A.F逐渐变大,T逐渐变大B.F逐渐变大,T逐渐变小C.F逐渐变小,T逐渐变大D.F逐渐变小,
10、T逐渐变小答案A由题意知,系统处于动态平衡状态,分析O点的受力情况,其中T=G恒定不变,F方向不变,T大小方向均改变,在O点向左移动的过程中,角逐渐变大,由动态矢量三角形可知F、T均逐渐变大,故A项正确。3.如图所示,质量m=1 kg的物块在与水平方向夹角为=37的推力F作用下静止于墙壁上,物块与墙之间的动摩擦因数=0.5,推力F应满足什么条件?(最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g取10 m/s2)答案10 NF50 N解析当F较大时,物块会有向上滑动的趋势,摩擦力向下,当物块恰不上滑时,力F有最大值(受力如图1所示)所以N=Fmax cos Fmax sin =f+mgf=Fmax s
11、in -mg又f=N代入数据可以得出Fmax=50 N。当力F较小时,物块有向下滑动的趋势,摩擦力向上,所以当物块恰不下滑时,力F有最小值(受力如图2所示),由平衡条件可得出N=Fmin cos Fmin sin +f-mg=0f=mg-Fmin sin ,又f=N代入数据可以得出Fmin=10 N所以使物块静止于墙壁上推力F的取值范围为10 NF50 N。B组综合提能 1.如图所示,小球用细绳系住放在倾角为的光滑斜面上,当细绳由水平方向逐渐向上偏移时(球位置不变,绳加长),细绳上的拉力将()A.逐渐增大 B.逐渐减小C.先增大后减小 D.先减小后增大答案D对小球进行受力分析,小球受重力G、斜
12、面的支持力FN、细绳的拉力FT,因为G、FN、FT三力共点平衡,故三个力可以构成一个矢量三角形,如图所示。G的大小和方向始终不变,FN的方向不变,大小可变,FT的大小、方向都在变,在细绳向上偏移的过程中,可以作出一系列矢量三角形,显而易见FT在从水平变化到与FN垂直前是逐渐变小的,之后FT又逐渐变大,故正确答案为D。2.如图所示,小球用细绳系住,绳的另一端固定于O点。现用水平力F缓慢推动斜面体,小球在斜面上无摩擦地滑动,细绳始终处于直线状态,当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平,此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是()A.FN保持不变,FT不断增大B.FN不断增大,
13、FT不断减小C.FN保持不变,FT先增大后减小D.FN不断增大,FT先减小后增大答案D用水平力F缓慢推动斜面体时,小球受重力、绳的拉力FT和垂直于斜面的支持力FN,如图所示,在斜面体缓慢移动过程中FN方向不变,G的大小和方向均不变,而FT大小、方向均改变,对其受力进行动态分析可知,FT先减小后增大,FN逐渐增大。3.如图所示,质量为m的物体,放在一固定斜面上,当斜面倾角为30时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F的水平向右的恒力,物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,当斜面倾角增大并超过某一临界角0时,不论水平恒力F多大,都不能使物体沿斜面向上滑行,试求:(1)物体与斜面间的动摩擦因数;(2)这一临界角0的大小。答案(1)33(2)60解析(1)斜面倾角为30时,物体恰能匀速下滑满足mg sin 30=mg cos 30解得=33(2)设斜面倾角为,物体受力情况如图,由物体受力平衡得F cos =mg sin +FfFN=mg cos +F sin Ff=FN解得F=mgsin+mgcoscos-sin当cos - sin =0即tan =1时,F,即“不论水平恒力F多大”,都不能使物体沿斜面向上滑行,此时临界角 0=60。