1、课时作业34直线与平面垂直的判定时间：45分钟基础巩固类一、选择题1如果一条直线垂直于一个平面内的三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边，那么能保证该直线与平面垂直的是(A)A BC D解析：能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，中的两条直线有可能是平行的2.如图，三棱锥PABC中，PAAB，PABC，则直线PB和平面ABC所成的角是(B)ABPABPBACPBCD对上都不对解析：由PAAB，PABC，ABBCB，得PA平面ABC，所以PBA为BP与平面ABC所成的角故选B.3.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则
2、AD1与B1E的关系为(A)AAD1B1EBAD1B1ECAD1与B1E共面D以上都不对解析：连接A1D，则由正方形的性质，知AD1A1D，又B1A1平面AA1D1D，所以B1A1AD1，所以AD1平面A1B1ED，又B1E平面A1B1ED，所以AD1B1E，故选A.4(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有(BD)AB CD解析：在中，AB与CE的夹角为45，所以直线AB与平面CDE不垂直，故不符合；在中，ABEC，ABCD，所以AB平面CDE，故符合；在中，AB与EC的夹角为60，所以直线AB与平面CDE不垂直，故不符合；在中，连接AC，由ED平面ABC，得ABDE，
3、同理可得ABCE，所以AB平面CDE，故符合5在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(C)A30 B45C60 D90解析：如图，取BC的中点E，连接AE，ED，AD，则AE平面BB1C1C，故ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角设各棱长为a，则AEa，DEa.tanADE.ADE60.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(D)A. B.C. D.解析：如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1DD1，DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD
4、1所成的角易知DD1O即为所求设正方体的棱长为1，则DD11，DO，D1O， cos DD1O.BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为.二、填空题7ABCD的对角线交点为O，点P在ABCD所在平面外，且PAPC，PDPB，则PO与平面ABCD的位置关系是垂直解析：PAPC，O是AC的中点，POAC.同理可得POBD.ACBDO，PO平面ABCD.8已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PCBD，则BD与平面PAC的位置关系是垂直，平行四边形ABCD一定是菱形解析：由于PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.又PCBD，且PC平面PAC，PA平面PAC，PCPAP，所以BD平面
5、PAC.又AC平面PAC，所以BDAC.又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形9.如图，ACB90，平面ABC外有一点P，PC4 cm，点P到角的两边AC，BC的距离都等于2 cm，则PC与平面ABC所成角的大小为45.解析：如图，过P作PO平面ABC于点O，连接CO，则CO为ACB的平分线，且PCO为PC与平面ABC所成的角，设其为，连接OF，易知CFO为直角三角形又PC4，PF2，CF2，CO2，在RtPCO中，cos，45.三、解答题10.如图，在ABC中，ABC90，D是AC的中点，S是ABC所在平面外一点，且SASBSC.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，
6、求证：BD平面SAC.证明：(1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，ADBD，由已知SASB，所以ADSBDS，所以SDBD，又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC，由(1)知SDBD.又因为SDACD，所以BD平面SAC.11如图所示，在直角梯形ABCD中，已知BCAD，ABAD，BCBAADm，VA平面ABCD.(1)求证：CD平面VAC.(2)若VAm，求CV与平面VAD所成角的大小解：(1)证明：因为ABBC，ABC90，所以CABACB45，取AD中点G，连接CG，如图，因为BCAD，所以四边形ABCG为正方形所以
7、CGGD，CGD90，所以DCG45，所以DCA90，所以CDCA，又VA平面ABCD，所以CDVA，因为CAVAA，所以CD平面VAC.(2)如图，连接VG，由CG平面VAD，所以CVG是CV与平面VAD所成的角，VC2m，CGm，所以CVG30，所以CV与平面VAD所成角为30.能力提升类12已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(A)A. B.C. D.解析：如图所示，取A1C1的中点D，连接AD，B1D，则易证得B1D平面ACC1A1，DAB1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角不妨设正三棱柱的棱长为2，则在RtAB1
8、D中，sinDAB1，故选A.13在长方体ABCD A1B1C1D1中，正方形ABCD的面积为16，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为(B)A64 B64C48 D64解析：因为正方形ABCD的面积为16，所以ABCD4，因为AB平面BB1C1C，故AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角，即AC1B30，所以BC14，所以CC14，所以长方体的体积V16464.14.如图，四棱锥SABCD的底面ABCD为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中正确的有4个ACSB；AB平面SCD；SA与平面ABCD所成的角是SAD；AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角解析：因为S
9、D平面ABCD，所以ACSD.因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD.又BDSDD，所以AC平面SBD，所以ACSB，故正确因为ABCD，AB平面SCD，CD平面SCD，所以AB平面SCD，故正确因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是SAD.故正确因为ABCD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故正确15.如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F.解：如图，当F为CD的中点时，D1E平面AB1F.连接A1B、CD1、DE，则A1BAB1，A1D1AB1，又A1D1A1BA1，AB1平面A1BCD1.又D1E平面A1BCD1，AB1D1E.又DD1平面BD，AFDD1.又由ADFDCE，ECDADF90得AFDE，AF平面D1DE，AFD1E.D1E平面AB1F.即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F.