1、2015-2016学年江苏省盐城市射阳二中高三（上）期初数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写答题纸相应的位置上）1已知集合M=1，1，2，集合N=y|y=x2，xM，则MN=2复数的虚部为3已知函数f（x）=，则不等式f（x）x2的解集为4已知an为等差数列，a1+a3=22，a6=7，则a5=5已知双曲线的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，则双曲线的离心率为6若函数g（x）=4x+2x2的零点在（n，n+1）之间，nN，则n=7函数的值域为8若，则=9已知不等式ax2+bx+c0的解集是，则cx2bx+a0的解集是10已知角的终边过点P（4，3），则2
2、sin+cos的值是11已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在0，+）上为增函数，则不等式的解集为12设x表示不超过x的最大整数，如1.5=1，1.5=2若函数（a0，a1），则g（x）=f（x）+f（x）的值域为13若a0，b0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（写出所有正确命题的编号）ab1；a2+b22；a3+b33；14三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+|x35x2|ax在1，12上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“
3、把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是二、解答题（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15已知，设，（1）当时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合；（2）若锐角满足，求的值16如图所示，四棱锥PABCD底面是直角梯形，BAAD，CDAD，CD=2AB，PA底面ABCD，E为PC的中点，PA=AD=AB=1（1）证明：EB平面PAD；（2）证明：BE平面PDC；（3）求三棱锥BPDC的体积V17某小区有一块三角形空地，如图ABC，其中AC=180米，BC=90米，C=90，开发商
4、计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在ABC内的P点处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC边上选一点D，然后过点P和点D画一分界线与边AB相交于点E，在ADE区域内绿化，在四边形BCDE区域内修建运动场所现已知点P处的服务站与AC距离为10米，与BC距离为100米设DC=d米，试问d取何值时，运动场所面积最大？18已知函数f（x）=x3ax2（aR）（）若f（1）=3，（i）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程，（ii）求f（x）在区间0，2上的最大值；（）若当x0，2时，f（x）+x0恒成立，求实数a的取值范围19在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（ab0
5、）的左、右顶点分别为A，B，离心率为，右准线为l：x=4M为椭圆上不同于A，B的一点，直线AM与直线l交于点P（1）求椭圆C的方程；（2）若，判断点B是否在以PM为直径的圆上，并说明理由；（3）连接PB并延长交椭圆C于点N，若直线MN垂直于x轴，求点M的坐标20已知数列an首项是a1=1，且满足递推关系（1）证明：数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）求等差数列使得对一切自然数nN*都有如下的等式成立：；（3）cn=nbn，是否存在正常数M使得对nN*恒成立，并证明你的结论2015-2016学年江苏省盐城市射阳二中高三（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每
6、小题5分，共70分，请将答案填写答题纸相应的位置上）1已知集合M=1，1，2，集合N=y|y=x2，xM，则MN=1【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】求出集合N中函数的值域确定出集合N，再利用交集的定义求出两集合的交集即可【解答】解：由集合N中的函数y=x2，xM得到x2=1，4，所以集合N=1，4，由集合集合M=1，1，2，则MN=1故答案为：1【点评】此题属于以函数的值域为平台，考查了交集的运算，是一道基础题2复数的虚部为【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念【专题】计算题【分析】复数的分子展开化简，然后利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数化简为a+bi的形式，即可得到复
7、数的虚部【解答】解：复数=所以复数的虚部为：故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力3已知函数f（x）=，则不等式f（x）x2的解集为1，1【考点】其他不等式的解法【专题】计算题；分类讨论【分析】分x小于等于0和x大于0两种情况根据分段函数分别得到f（x）的解析式，把得到的f（x）的解析式分别代入不等式得到两个一元二次不等式，分别求出各自的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集【解答】解：当x0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2x2，即（x2）（x+1）0，解得1x2，所以原不等式的解集为1，0；当x0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+
8、2x2，即（x+2）（x1）0，解得2x1，所以原不等式的解集为0，1，综上，原不等式的解集为1，1故答案为：1，1【点评】此题考查了不等式的解法，考查了转化思想和分类讨论的思想，是一道基础题4已知an为等差数列，a1+a3=22，a6=7，则a5=8【考点】等差数列的性质【专题】计算题【分析】先根据an为等差数列，a1+a3=22，a6=7求出数列的首项和公差，然后求出a5的值即可【解答】解：an为等差数列，a1+a3=22，a6=7，2a1+2d=22，a1+5d=7解得：a1=12，d=1a5=a1+4d=124=8故答案为：8【点评】本题主要考查了等差数列的性质，以及二元一次方程组的求
9、解，属于基础题5已知双曲线的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，则双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；函数思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求得抛物线的准线方程，进而求得双曲线的准线方程表达式，进而求得b，则c可得，进而求得双曲线的离心率【解答】解：依题意可知抛物线准线方程为x=2，准线在x轴上双曲线的准线方程为x=， =1，解得m=2c=2双曲线的离心率e=故答案为：【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质解题的关键是熟练掌握双曲线性质中长轴、短轴、焦距、离心率等之间的关系6若函数g（x）=4x+2x2的零点在（n，n+1）之间，nN，则n=0【考点】函
10、数零点的判定定理【专题】函数思想；转化思想【分析】根据函数g（x）=4x+2x2，求出函数的单调性和零点所在的区间，再由函数g（x）=4x+2x2的零点在（n，n+1）之间，nN，求出n的值【解答】解；函数g（x）在0，1上连续且单调递增，g（0）=12=10，g（1）=40函数g（x）=4x+2x2在0，1上有一个零点，又函数g（x）=4x+2x2的零点在（n，n+1）之间，nNn=0故答案为0【点评】考查函数零点与函数图象与x轴的交点问题，体现了转化的思想方法，属基础题7函数的值域为【考点】函数的值域【专题】计算题；转化思想【分析】利用换元法，将原函数转化成二次函数在给定区间上的值域，解题
11、时注意换元后变量的范围【解答】解：令=t0，则x=t2+1y=2（t2+1）t=2t2t+2=2（t）2+当且仅当t=时取到等号函数的值域为故答案为：【点评】本题主要考查函数的值域的求法，解题时注意合理地进行等价转化，同时考查了运算求解能力，属于基础题8若，则=2【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用【分析】由已知首先求出是数量积，然后根据向量的模的平方与向量的平方相等解答【解答】解：由已知，则=9+412=9，所以=，则2=9+1+2=12，所以=2；故答案为：2【点评】本题考查了数量积的公式的应用求向量的模9已知不等式ax2+bx+c0的解集是，则cx2bx+
12、a0的解集是（1，2）【考点】一元二次不等式的解法【专题】计算题；方程思想；转化法；不等式的解法及应用【分析】由已知不等式ax2+bx+c0的解集得到ax2+bx+c=0的两根，得到a，b，c的关系，进一步将cx2bx+a0化简解之【解答】解：不等式ax2+bx+c0的解集是，且a0，+1=，1=，b=a，c=a，cx2bx+a0化为ax2+ax+a0，即x2x20，即（x+1）（x2）0，解得1x2，则cx2bx+a0的解集是（1，2），故答案为：（1，2）【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了一元二次方程的根与系数关系，解答的关键是注意c的符号，是基础题10已知角的终边过点P（4，
13、3），则2sin+cos的值是【考点】任意角的三角函数的定义【专题】计算题【分析】先计算r，再利用三角函数的定义，求出sin，cos的值，即可得到结论【解答】解：由题意r=|OP|=5sin=，cos=2sin+cos=2=故答案为：【点评】本题考查三角函数的定义，考查学生的运算能力，解题的关键是正确运用三角函数的定义11已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在0，+）上为增函数，则不等式的解集为【考点】其他不等式的解法；函数单调性的性质；偶函数【专题】计算题【分析】利用偶函数的图象关于y轴对称，又且在0，+）上为增函数，将不等式中的抽象法则f脱去，解对数不等式求出解集【解答】解：f（x）是定义
14、在R上的偶函数，且在0，+）上为增函数又，解得故答案为【点评】本题考查利用函数的对称性及函数的单调性脱抽象的法则，将抽象不等式转化为具体不等式解12设x表示不超过x的最大整数，如1.5=1，1.5=2若函数（a0，a1），则g（x）=f（x）+f（x）的值域为0，1【考点】函数的值域【专题】计算题；压轴题；新定义【分析】先求出函数f（x）的值域，然后求出f（x）的值，再求出f（x）的值域，然后求出f（x）的值，最后求出g（x）=f（x）+f（x）的值域即可【解答】解： =（0，1）f（x）（，）f（x）=0 或1f（x）=（0，1）f（x）（，）则f（x）=1或0g（x）=f（x）+f（x）的
15、值域为0，1故答案为：0，1【点评】本题主要考查了函数的值域，同时考查分类讨论的数学思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题13若a0，b0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是，（写出所有正确命题的编号）ab1；a2+b22；a3+b33；【考点】基本不等式【专题】压轴题；分析法【分析】首先对于此类填空题需要一个一个判断，用排除法求解，对于命题直接用特殊值法代入排除，其他命题用基本不等式代入求解即可判断【解答】解：对于命题ab1：由，命题正确；对于命题：令a=1，b=1时候不成立，所以命题错误；对于命题a2+b22：a2+b2=（a+b）22ab=42ab2，命题正确；对
16、于命题a3+b33：令a=1，b=1时候不成立，所以命题错误；对于命题：，命题正确所以答案为，【点评】此题主要考查基本不等式的求解问题，对于此类判断命题真假的题目，包含知识点较多需要一个一个分析，容易出错，属于中档题目14三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+|x35x2|ax在1，12上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是（，10【考点】绝对
17、值不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用【专题】计算题；压轴题【分析】利用“不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”的想法：原式化为：再利用：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”即可解决【解答】解：由x2+25+|x35x2|，而，等号当且仅当x=51，12时成立；且|x25x|0，等号当且仅当x=51，12时成立；所以，等号当且仅当x=51，12时成立；故答案为（，10；【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法、基本不等式在最值问题中的应用，是一道已给出解法提示，让解题者得到友情提醒的情况下答题，富有创意二、解答题（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字
18、说明、证明过程或演算步骤）15已知，设，（1）当时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合；（2）若锐角满足，求的值【考点】三角函数的最值；两角和与差的正弦函数【专题】计算题；综合题【分析】（1）利用函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据正弦函数的值域，直接求出函数f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合；（2）根据，求出，利用同角三角函数基本关系式求出，利用诱导公式即可求出结果【解答】解：（ 1）即：，此时：（kZ），解得：（kZ）即f（x）的最小值是，此时x的取值集合是；（ 2）由得，即，因为是锐角，所以，所以=【点评】本题考查向量数量积的运算律、三角函数的平方关系和商数关
19、系、三角函数的有界性和最值，考查运算能力，注意在解决三角函数的有关问题时，注意角之间的关系，属中档题16如图所示，四棱锥PABCD底面是直角梯形，BAAD，CDAD，CD=2AB，PA底面ABCD，E为PC的中点，PA=AD=AB=1（1）证明：EB平面PAD；（2）证明：BE平面PDC；（3）求三棱锥BPDC的体积V【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【专题】计算题；证明题【分析】（1）取PD中点Q，连EQ，AQ，由已知条件及平行四边形的判定定理，可得四边形ABEQ是平行四边形，进而得到BEAQ，进而由线面平行的判定定理得到EB平面PAD；（2）由已知中
20、PA底面ABCD，由线面垂直的性质可得PACD，结合CDAD，和线面垂直的判定定理可得CD平面PAD，进而由线面垂直性质得到CDAQ，由三线合一得到AQPD，进而根据线面垂直的判定定理及第二判定定理得到BE平面PDC；（3）由等体积法可得三棱锥BPDC的体积等于三棱锥PBDC，求出底面BDC及高PA的值，代入棱锥体积公式，即可得到答案【解答】解（1）证明：取PD中点Q，连EQ，AQ，则四边形ABEQ是平行四边形BEAQ（2）证明： PACD，又CDAD，PAAD=ACD平面PAD又AQ平面PADAQCD，又PA=AD，Q为PD的中点AQPD，又PDCD=D（3）【点评】本题考查的知识点是直线与
21、平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，锥锥的体积，其中（1）的关键是在平面PAD中找到BEAQ，（2）的关键是熟练掌握线线垂直与线面垂直之间的相互转化，（3）的关键是由等体积法将三棱锥BPDC的体积化为三棱锥PBDC17某小区有一块三角形空地，如图ABC，其中AC=180米，BC=90米，C=90，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在ABC内的P点处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC边上选一点D，然后过点P和点D画一分界线与边AB相交于点E，在ADE区域内绿化，在四边形BCDE区域内修建运动场所现已知点P处的服务站与AC距离为10米，与BC距离为100米设DC=d米，
22、试问d取何值时，运动场所面积最大？【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】计算题【分析】解法一：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立直角坐标系，得到C、A、B、P、D的坐标，再写出直线DE、AB的方程，由此联立解出E的坐标，进而表示ADE的面积，利用基本不等式的知识分析可得答案；解法二：分别过点P，E作AC的垂线，垂足为Q，F，设EF=h，分情况讨论可得EF的长度，进而可以表示ADE的面积，再利用基本不等式的知识分析可得答案【解答】解：法一：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立直角坐标系，则C（0，0），A（0，180），B（90，0），P（10
23、，100），D（0，d）DE直线方程：，AB所在直线方程为2x+y=180，解、组成的方程组得，直线DE经过点B时，设， =，（当且仅当t=60，即k=4时取等号），此时d=120t=60，当d=60时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大法二：如图，分别过点P，E作AC的垂线，垂足为Q，F，设EF=h，若如图1所示，则PQ=10，CQ=100，DQ=100d，由AFEACB得，即AF=2h，从而CF=1802h，DF=1802hd，由DPQDEF得，解得若如图2所示，则PQ=10，CQ=100，DQ=d100，AF=2h，CF=1802h，DF=2h+d180，由DPQDEF得，解得；由0h9
24、0得，由，设，=，（当且仅当t=60，即k=4时取等号），此时d=120t=60，当d=60时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大【点评】本题考查基本不等式的应用，关键是根据题意，建立正确的模型，得到关于关于三角形面积的不等关系式18已知函数f（x）=x3ax2（aR）（）若f（1）=3，（i）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程，（ii）求f（x）在区间0，2上的最大值；（）若当x0，2时，f（x）+x0恒成立，求实数a的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】（）求函数的导数，利
25、用导数的几何意义求切线方程，以及求函数的最值（）将不等式进行转化，将恒成立问题转化为求函数的大小问题【解答】解：（）（i）f（x）=x3ax2（aR），f（x）=3x22ax，由f（1）=32a=3，解得a=0，y=f（x）=x3f（1）=1，f（x）=3x2，f（1）=3，切点（1，1），斜率为3，y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=3x2（ii）f（x）=x3，f（x）=3x20，f（x）在0，2单调递增，f（x）最大值为f（2）=8（）x3ax2+x0对x0，2恒成立，ax2x3+x当x=0时成立当x（0，2时ax+，x+2，在x=1处取最小值a2【点评】本题主要考查利用导数
26、研究函数的性质，考查导数的基本运算和应用，考查学生的运算能力19在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（ab0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为，右准线为l：x=4M为椭圆上不同于A，B的一点，直线AM与直线l交于点P（1）求椭圆C的方程；（2）若，判断点B是否在以PM为直径的圆上，并说明理由；（3）连接PB并延长交椭圆C于点N，若直线MN垂直于x轴，求点M的坐标【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意建立方程组可求a2和b2的值，可写方程；（2）要判断点B是否在圆上，可转化为判是否为0；（3）设点，写出直线的方程，分别和椭圆方程联立，可解得yp=，和
27、yp=，由两式相等可解得M坐标【解答】解：（1）由解得所以b2=3所以椭圆方程为=1 （2）因为，所以xM=1，代入椭圆得yM=，即M（1，），所以直线AM为：y=（x+2），得P（4，3），所以=（1，），=（2，3） 因为=0，所以点B不在以PM为直径的圆上 （3）因为MN垂直于x轴，由椭圆对称性可设M（x1，y1），N（x1，y1）直线AM的方程为：y=（x+2），所以yp=，直线BN的方程为：y=（x2），所以yp=，所以=因为y10，所以=解得x1=1所以点M的坐标为（1，） 【点评】本题为椭圆与直线的位置关系的考查，涉及向量的知识和圆的知识，属中档题20已知数列an首项是a1=1，
28、且满足递推关系（1）证明：数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）求等差数列使得对一切自然数nN*都有如下的等式成立：；（3）cn=nbn，是否存在正常数M使得对nN*恒成立，并证明你的结论【考点】数列的求和；等差数列的性质【专题】综合题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）把数列递推式两边同时除以2n+1，可得则数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式求得数列an的通项公式；（2）设出等差数列bn的首项和公差，采用倒序相加法求得b1+bn+1=2n+2分别取n=1、2列式求得首项和公差，则等差数列bn的通项公式可求；（3）由（1）（2）得到的通项公式，然后
29、利用错位相减法求和，再由放缩法证得答案【解答】（1）证明：由，得，即数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，；（2）解：设等差数列bn的首项为b1，公差为d，则bn=b1+（n1）d（nN*）考察等差数列，易知：b1+bn+1=b2+bn=b3+bn1=bn+1+b1又 b1Cn0+b2Cn1+b3Cn2+bn+1Cnn=an+1，利用加法交换律把此等式变为bn+1Cnn+bnCnn1+bn1Cnn2+b1Cn0=an+1，两式相加，利用组合数的性质Cnm=Cnnm化简，得（b1+bn+1）（Cn0+Cn1+Cnn）=2an+1，即b1+bn+1=2n+2再分别令n=1，n=2，得，求解可得b1=1，d=2因此，满足题设的等差数列bn的通项公式为bn=2n1（nN*）；（3）解：结论：存在正常数M（只要M6即可），使得对nN*恒成立证明：由（2）知，bn=2n1，于是，cn=n（2n1），=令Tn=，则，两式作差得，整理得6当且仅当正常数M6时，对nN*恒成立【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了倒序相加法求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，属中高档题