1、第3讲连接体问题和临界、极值问题一、连接体问题1.整体法当连接体内(即系统内)各物体的加速度相同时,可以把系统内的所有物体看成一个整体,分析其受力和运动情况,运用牛顿第二定律对整体列方程求解的方法。2.隔离法当求系统内物体间相互作用的内力时,常把某个物体从系统中隔离出来,分析其受力和运动情况,再用牛顿第二定律对隔离出来的物体列方程求解的方法。二、临界、极值问题1.动力学中的临界、极值问题在应用牛顿运动定律解决动力学问题中,当物体运动的加速度不同时,物体有可能处于不同的状态,特别是题目中出现“最大”“最小”“刚好”等词语时,往往会有临界值出现。2.产生临界问题的条件(1)接触与脱离的临界条件:两
2、物体相接触或脱离,临界条件是弹力FN=0。(2)相对滑动的临界条件:两物体相接触且处于相对静止时,常存在着静摩擦力,则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。(3)绳子断裂与松弛的临界条件:绳子所能承受的张力是有限的,绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力,绳子松弛的临界条件是FT=0。(4)加速度最大与速度最大的临界条件:当物体在受到变化的外力作用下运动时,其加速度和速度都会不断变化,当所受合外力最大时,具有最大加速度;合外力最小时,具有最小加速度。通常当出现速度有最大值或最小值的临界条件时,物体处于临界状态,所对应的速度便会出现最大值或最小值。1.(多选)如图所示,水平地
3、面上有两块完全相同的木块A、B,在水平推力F作用下,一起向右运动,用FAB代表A、B间的相互作用力,下列说法中正确的是()A.若地面是光滑的,则FAB=FB.若地面是光滑的,则FAB=F2C.若地面是粗糙的,则FAB=FD.若地面是粗糙的,则FAB=F2答案BD地面光滑=0,不光滑0。对A、B整体有:F-(2mg)=2ma,对B有:FAB-mg=ma,两式联立得FAB=F2,所以不论地面光滑与否,均为FAB=F2。2.(2018四中期中)如图所示,物体A叠放在物体B上,B置于光滑水平地面上。A、B质量分别为6.0 kg和2.0 kg,A、B之间的动摩擦因数为0.2,在物体A上施加水平方向的拉力
4、F,开始时F=10 N,此后逐渐增大,在增大到45 N的过程中,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。g取10 m/s2,以下判断正确的是()A.两物体间始终没有相对运动B.两物体间从受力开始就有相对运动C.当拉力F18 N时,开始相对滑动答案A隔离B分析,当A、B间摩擦力达到最大静摩擦力时,A、B将要发生相对滑动,此时B的加速度aB=mAgmB=0.26.0102.0m/s2=6 m/s2;再对AB整体分析有:F=(mA+mB)a=86 N=48 N,知当拉力达到48 N时,A、B才开始发生相对滑动。故A正确,B、C、D错误。3.如图(a)所示,一轻质弹簧的下端固定在水平面上,上端放置一物体(物体与
5、弹簧不连接),初始时物体处于静止状态。现用竖直向上的拉力F作用在物体上,使物体开始向上做匀加速运动,拉力F与物体位移x的关系如图(b)所示(g取10 m/s2),则正确的结论是()A.物体与弹簧分离时,弹簧处于压缩状态B.弹簧的劲度系数为7.5 N/cmC.物体的质量为3 kgD.物体的加速度大小为5 m/s2答案D设初始时弹簧压缩量为x0,则kx0=mg。设物体加速度为a,当物体位移为x(xx0)时,F+k(x0-x)-mg=ma,由此可得F=kx+ma,弹簧恰好恢复到自然长度时,物体与弹簧分离,A错误;根据F-x图像的斜率可知,弹簧劲度系数k=5 N/cm,所以B项错误;又当x=0时,10
6、 N=ma,当x=4 cm时,30 N-mg=ma,联立可得m=2 kg,a=5 m/s2,所以C错误,D正确。考点一连接体问题一、两物体的加速度相同时,一般采用先整体后隔离的方法1-1如图所示,一夹子夹住木块,在力F作用下向上提升。夹子和木块的质量分别为m、M,夹子与木块两侧间的最大静摩擦力均为f。若木块不滑动,重力加速度为g,力F的最大值是()A.2f(m+M)M B.2f(m+M)mC.2f(m+M)M-(m+M)g D.2f(m+M)m+(m+M)g答案A对整个系统应用牛顿第二定律F-(M+m)g=(M+m)a对木块应用牛顿第二定律2f-Mg=Ma可得F=2f(m+M)M,故A正确。1
7、-2如图所示,A、B两物块的质量分别为m和M,让它们靠在一起从光滑斜面的顶端由静止开始下滑。已知斜面的倾角为,斜面始终保持静止。则在此过程中物块B对物块A的压力为()A.Mg sin B.Mg cos C.0 D.(M+m)g sin 答案C先对A、B整体进行受力分析,并应用牛顿第二定律可得,加速度a=g sin ,再对A进行受力分析,要使其加速度仍为a,在沿斜面的方向上B对A的压力为0,选项C正确。1-3(2018师大附中期中)如图甲所示,一根材质均匀的粗绳AB的长度为l,其质量均匀分布,在水平恒力F的作用下,沿水平面做匀加速直线运动,测得绳上距A端x处的张力T与x的关系如图乙所示。下列说法
8、中正确的是()A.粗绳一定不受摩擦力作用B.粗绳可能受到摩擦力作用C.图像的斜率与粗绳的质量有关D.图像的斜率与粗绳运动的加速度有关答案B假设粗绳与水平面间存在摩擦力,设动摩擦因数为、粗绳的质量为m,则粗绳单位长度质量为=ml,先对整根粗绳有F-f=ma,可得粗绳的加速度为a=F-fm=Fm-g,再对粗绳左侧l-x长部分研究,应有 T-(l-x)g=(l-x)a,可得T=-Flx+F。同理若粗绳不受摩擦力,也可得到T=-Flx+F,无法确定粗绳是否受到摩擦力,故A错误,B正确;图像的斜率为-Fl,则图像的斜率只与F和l有关,与粗绳的质量以及粗绳运动的加速度无关,选项C、D错误。二、两物体的加速
9、度不同时,一般采用隔离法1-4如图所示,长12 m、质量为50 kg的木板置于水平地面上,木板与地面间的动摩擦因数为0.1,开始时质量为50 kg的人立于木板左端,木板与人均静止,当人以 4 m/s2的加速度匀加速向右奔跑时,(取g=10 m/s2)求:(1)人在奔跑过程中受到的摩擦力的大小;(2)人在奔跑过程中木板的加速度;(3)人从开始奔跑至到达木板右端所经历的时间。答案(1)200 N(2)2 m/s2,方向向左(3)2 s解析(1)设人的质量为m,加速度为a1,木板的质量为M,加速度为a2,人对木板的摩擦力为f(f为木板对人的摩擦力)则对人有f =ma1=200 N(2)对木板进行受力
10、分析可知f-(M+m)g=Ma2则a2= f-(M+m)gM代入数据解得a2=2 m/s2,方向向左(3)设人从左端跑到右端时间为t由运动学公式得L=12a1t2+12a2t2则t=2La1+a2代入数据解得t=2 s。考点二动力学中的临界、极值问题1.极限法:把物理问题(或过程)推向极端,从而使临界现象(或状态)暴露出来,以达到正确解决问题的目的。2.假设法:临界问题存在多种可能,特别是非此即彼两种可能时,或变化过程中可能出现临界条件,也可能不出现临界条件时,往往用假设法解决问题。3.数学方法:将物理过程用数学公式来描述,根据数学表达式解出临界条件。2-1如图所示,质量为M的木块与水平地面间
11、的动摩擦因数为,用大小为F的恒力使木块沿地面向右做直线运动,木块M可视为质点,则怎样施力才能使木块产生最大的加速度?最大的加速度为多少?答案见解析解析设当力F与水平方向的夹角为时,木块的加速度最大,如图所示对木块有F cos -(Mg-F sin )=Ma整理得a=F(cos+sin)M-g由上式可知,当cos + sin 取最大值时,a最大令cos + sin =A则A=1+211+2 cos+1+2 sin=1+2 sin (+)其中sin =11+2而Amax=1+2与此相对应的=2-故加速度a的最大值amax=F1+2M-g2-2如图所示,一个弹簧台秤放在水平地面上,Q为与轻弹簧上端连
12、在一起的秤盘,P为一重物,已知P的质量M=10.5 kg,Q的质量m=1.5 kg,弹簧的质量不计,劲度系数k=800 N/m,系统处于静止。现给P施加一个方向竖直向上的力F,使它从静止开始向上做匀加速运动,已知在前 0.2 s内,F为变力,0.2 s以后,F为恒力。求力F的最大值与最小值。(取g=10 m/s2)答案168 N72 N解析设开始时弹簧压缩量为x1,t=0.2 s时弹簧的压缩量为x2,重物P的加速度为a,则有kx1=(M+m)gkx2-mg=max1-x2=12at2得x1=(M+m)gk=0.15 ma=6 m/s2Fmin+kx1-(M+m)g=(M+m)aFmax-Mg=
13、Ma得Fmin=(M+m)a=72 N,Fmax=M(g+a)=168 NA组基础巩固 1.如图所示,将两个质量分别为m1=1 kg、m2=4 kg 的物体A、B置于光滑的水平面上,中间用轻质弹簧测力计连接,两个大小分别为F1=30 N、F2=20 N的水平拉力分别作用在A、B上,则达到稳定状态后,下列说法正确的是()A.弹簧测力计的示数是25 NB.弹簧测力计的示数是50 NC.在突然撤去F2的瞬间,B的加速度大小为7 m/s2D.在突然撤去F1的瞬间,A的加速度大小为13 m/s2答案C以A、B以及弹簧测力计整体为研究对象,则整体向右的加速度a=F1-F2m1+m2=2 m/s2;再以B为
14、研究对象,设弹簧测力计的弹力大小为F,则F-F2=m2a,得F=28 N,A、B错误;突然撤去F2的瞬间,弹簧测力计的弹力不变,此时B的加速度大小a2=Fm2=7 m/s2,C正确;突然撤去F1的瞬间,弹簧测力计的弹力也不变,此时A的加速度大小a1=Fm1=28 m/s2,D错误。2.如图所示,在光滑的水平面上有一段长为L、质量分布均匀的绳子。在水平向左的恒力F作用下从静止开始做匀加速运动。绳子中某点到绳子左端的距离为x,设该处绳的张力大小为T,则能正确描述T与x之间的关系的图像是()答案B设绳子单位长度质量为m,对整体分析有F=Lma则对右段绳子受力分析可知T=(L-x)ma联立解得T=(1
15、-xL)F,故B项正确。3.(多选)如图甲所示,两物体A、B叠放在光滑水平面上,对物体A施加一水平变力F,F-t关系图像如图乙所示。两物体在力F作用下由静止开始运动,且始终相对静止,规定水平向右为正方向,则()A.两物体一直向右做直线运动B.两物体沿直线做往复运动C.在23 s时间内两物体间的摩擦力逐渐减小D.B物体所受的摩擦力方向始终与力F的方向相同答案AD在02 s内整体向右做加速运动,加速度先增大后减小,24 s内加速度反向,做减速运动,因为两段时间内受力是对称的,所以4 s末速度变为零,在04 s内一直向右运动,4 s后又重复以前的运动,故A正确,B错误;在23 s时间内,F增大,整体
16、加速度增大,隔离B进行分析,B所受的合力逐渐增大,故其所受摩擦力逐渐增大,C错误;整体的加速度与F的方向相同,B所受摩擦力的方向与加速度方向相同,即与F方向相同,故D正确。4.倾角为=45、外表面光滑的楔形滑块M放在水平面AB上,滑块M的顶端O处固定一细线,细线的另一端拴一小球,已知小球的质量为m=55 kg,当滑块M以a=2g的加速度向右运动时,则细线拉力的大小为(g取10 m/s2)()A.10 N B.5 N C.5 N D.10 N答案A本题是一个已知运动情况求未知力的问题。当滑块向右运动的加速度较小时,滑块对小球存在支持力;当滑块向右运动的加速度较大时,小球将脱离斜面而“飘”起来。因
17、此,本题存在一个临界条件:当滑块向右运动的加速度为某一临界值时,斜面对小球的支持力恰好为零,此时小球受到两个力:重力和线的拉力(如图1所示),根据牛顿第二定律,有图1FT cos =ma0FT sin -mg=0其中=45解得a0=g则知当滑块向右运动的加速度a=2g时,小球已“飘”起来了,此时小球受力如图2所示,则有FT cos =m2gFT sin -mg=0图2解得FT=5mg=55510 N=10 N。5.1966年曾在地球的上空完成了以牛顿第二定律为基础的测定质量的实验,这次实验的目的是要发展一种技术,找出测定轨道中人造天体质量的方法。实验时,用双子星号宇宙飞船(质量为m1)去接触正
18、在轨道上运行的火箭组(质量为m2)(后者的发动机已熄火)。接触以后,开动双子星号飞船的推进器,使飞船和火箭组共同加速(如图所示)。推进器的平均推力F等于895 N,推进器开动时间为7 s,测出飞船和火箭组的速度变化量是0.91 m/s。已知双子星号宇宙飞船的质量m1=3 400 kg。求:(1)飞船与火箭组的加速度a的大小;(2)火箭组的质量m2。答案(1)0.13 m/s2(2)3 484.6 kg解析(1)根据运动学公式a=vt代入数据可得a=0.13 m/s2(2)对整体,根据牛顿第二定律F=(m1+m2)a代入数据可得m23 484.6 kgB组综合提能 1.(多选)我国高铁技术处于世
19、界领先水平。和谐号动车组是由动车和拖车编组而成,提供动力的车厢叫动车,不提供动力的车厢叫拖车。假设动车组各车厢质量均相等,动车的额定功率都相同,动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比。某列动车组由8节车厢组成,其中第1、5节车厢为动车,其余为拖车,则该动车组()A.启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动的方向相反B.做匀加速运动时,第5、6节与第6、7节车厢间的作用力之比为32C.进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比D.与改为4节动车带4节拖车的动车组最大速度之比为12答案BD启动时,乘客与车一起做加速运动,由牛顿第二定律可知,乘客受到车厢作用力的方向与车运动
20、方向相同,选项A错误;对6、7、8节车厢水平方向受力分析,如图甲所示甲由牛顿第二定律可得F1-3kmg=3ma;对7、8节车厢水平方向受力分析,如图乙所示乙由牛顿第二定律可得F2-2kmg=2ma,两方程联立可得F1F2=32,选项B正确;动车组进站时,做匀减速直线运动,由速度位移公式可得x=v22a,即x与v2成正比,选项C错误;由功率定义和牛顿第二定律可得第一种情况动车组的最大速度为v1,2Pv1-8kmg=0,第二种情况动车组的最大速度为v2,4Pv2-8kmg=0,两方程联立可得v1v2=12,选项D正确。2.(2018四中期中)如图所示,轻弹簧左端固定在竖直墙上,右端与木块B相连,木
21、块A紧靠木块B放置,A、B与水平面间的动摩擦因数分别为A、B,且AB。用水平力F向左压A,使弹簧被压缩,系统保持静止。撤去F后,A、B向右运动并最终分离。下列判断正确的是()A.A、B分离时,弹簧长度一定等于原长B.A、B分离时,弹簧长度一定大于原长C.A、B分离时,弹簧长度一定小于原长D.A、B分离后极短时间内,A的加速度大于B的加速度答案B当A、B间无相互作用且加速度相等时,两木块分开,设A、B分离时弹簧处于伸长状态且弹力为T,根据牛顿第二定律,对B:T+BmBg=mBaB,得aB=TmB+Bg;对A:AmAg=mAaA,得aA=Ag;由于AB,aA=aB,得T=mB(A-B)g0,假设成
22、立,故A、C错误,B正确。A、B分离后极短时间内,根据牛顿第二定律,对B:T+BmBg=mBaB,T增大,加速度增大;对A:AmAg=mAaA,加速度不变,所以A、B分离后极短时间内,A的加速度小于B的加速度,故D错误。3.一根劲度系数为k、质量不计的轻弹簧,上端固定,下端系一质量为m的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度,如图所示。现让平板由静止开始以加速度a(ag)匀加速向下移动。g为重力加速度,求经过多长时间平板开始与物体分离。答案2m(g-a)ka解析设物体与平板一起向下运动的距离为x时,物体受重力mg、弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma当N=0时,物体与平板分离,此时 x=m(g-a)k又x=12at2解得t=2m(g-a)ka。
