1、1.3 简单的逻辑联结词【自主预习】1.用逻辑联结词构成新命题 构成新命题 记作 读作 用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题 _ _ pq p且q 构成新命题 记作 读作 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题 _ _ 对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题 _ _ _ pq p或q p 非p或p的 否定 2.含逻辑联结词的命题的真假判断 p q pq pq p 真 真 _ _ _ 真 假 _ _ _ 假 真 _ _ _ 假 假 _ _ _ 真 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真【即时小测】1.已知命题p:若=,则sin=;命题q:若sin=,则=
2、.下面四个结论中正确的是()A.pq是真命题 B.pq是真命题 C.p是真命题 D.q是假命题 612126【解析】选B.由题意可知,命题p为真命题,命题q为假命题,所以pq是真命题.2.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是()A.(p)q B.pq C.(p)(q)D.(p)(q)【解析】选D.不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,从而p为假命题,q为真命题,所以A,B,C均为假命题.3.用“充分、必要、充要”填空:(1)pq为真命题是pq为真命题的_条件.(2)p为假命题是pq为真命题的_条件.【解析】因为或命题为真,则一真即真,且命题为真
3、,必须都为真,因此第一个命题中,条件是结论成立的必要条件,而第二个命题中,非p为假,说明p为真,则或命题为真,则一真即真,因此第二个命题中,条件是结论成立的充分条件.答案:(1)必要(2)充分【知识探究】探究点 逻辑联结词的含义 1.xAB的含义是什么?提示:xA或xB,有三种情况:xA但xB;xB但xA;xA并且xB.2.p是命题p的否命题吗?提示:不是,设命题p为:若m则n,那么命题p的否命题是若m则n,而p是若m则n.【归纳总结】对逻辑联结词的理解(1)“且”表示同时的意思,“或”表示至少一个,“非”表示对原命题否定.(2)从集合与串、并联电路理解逻辑联结词;从交集、串联电路看“且”命题
4、(i)对于逻辑联结词“且”的理解,可联系集合中“交集”的概念,即AB=xxA且xB,二者含义是一致的,都表示“既,又”的意思.(ii)对于含有逻辑联结词“且”的命题真假的判断,可以联系电路中两个串联开关的闭合或断开与电路的通或断的对应加以理解(如图所示).从并集、并联电路看“或”命题(i)对于逻辑联结词“或”的理解,可联系集合中“并集”的概念,即AB=xxA或xB,二者含义是一致的,如果p:集合A;q:集合B;则pq:集合AB.(ii)对于含有逻辑联结词“或”的命题真假的判断,可以联系电路中两个并联开关的闭合或断开与电路的通或断的对应加以理解(如图所示).从补集及电路看“非”命题(i)“非”:
5、从集合的角度看,若设P=x|x满足命题p,则“p”对应于集合P在全集U中的补集=x|xU,且xP,p与“p”的真假关系:真假对立.(ii)“p”:从电学来讲,“p”相当于一个电路断开时的情形,p与“p”的真假关系:真假相反,即p为真时,“p”为假;p为假时,“p”为真(如图所示).特别提醒:有的命题表面上不含逻辑联结词,但有与联结词等效的词语,注意辨识.类型一 含有逻辑联结词的命题构成【典例】1.命题“菱形的对角线垂直并且互相平分”中使用的逻辑联结词是_,所以此命题是_形式的命题.2.写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”以及“非p”形式的命题.(1)p:是有理数,q:是整数.(2)p:不
6、等式x2-2x-30的解集是(-,-1),q:不等式x2-2x-30的解集是(3,+).55【解题探究】1.典例1中有逻辑联结词吗?提示:有,为“且”.2.改写“p或q”“p且q”以及“非p”命题的关键是什么?提示:准确理解“或”“且”“非“的含义.【解析】1.命题使用了“且”,是“p且q”形式的命题.答案:且 p且q 2.(1)p或q:是有理数或 是整数;p且q:是有理数且 是整数;非p:不是有理数.55555(2)p或q:不等式x2-2x-30的解集是(-,-1)或不等式x2-2x-30的解集是(3,+);p且q:不等式x2-2x-30的解集是(-,-1)且不等式x2-2x-30的解集是(
7、3,+);非p:不等式x2-2x-30的解集不是(-,-1).【方法技巧】用逻辑联结词构造新命题的两个步骤 第一步:确定两个简单命题p,q;第二步:分别用逻辑联结词“且”“或”将p和q联结起来,就得到一个新命题“pq”“pq”,用“非”将命题p全盘否定,得到命题“p”.【拓展延伸】简单命题与复合命题 不含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题是简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题,因此就有“pq”“pq”“p”形式的复合命题,其中p,q是简单命题,由简单命题构成复合命题的关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”的理解.【变式训练】1.分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题:(1)3是
8、质数或合数.(2)他是运动员兼教练员.(3)相似三角形不一定是全等三角形.【解析】(1)这个命题是“p或q”形式,其中p:3是质数,q:3是合数.(2)这个命题是“p且q”形式,其中p:他是运动员,q:他是教练员.(3)这个命题是“非p”形式,其中p:相似三角形一定是全等三角形.2.写出下列命题p的非(否定).(1)p:100既能被4整除又能被5整除.(2)p:三条直线两两相交.(3)p:一元二次方程至多有两个解.(4)p:23.类型二 含逻辑联结词的命题的真假判断【典例】1.给出命题p:33;q:函数f(x)=在 R上的值域为-1,1.在下列三个命题:“pq”“pq”“非p”中,真命题的个数
9、为()A.0 B.1 C.2 D.3 1,x01x 0，2.指出下列命题的形式及命题的真假:(1)48是16与12的公倍数.(2)方程x2+x+3=0没有实数根.(3)相似三角形的周长相等或对应角相等.【解题探究】1.典例1中命题p是什么形式的命题?提示:或形式的命题.2.判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是什么?提示:判断联结词联结的两个命题的真假.【解析】1.选B.p为真命题.对于q,因为f(x)对应的函数值只有两个,即1或-1,所以f(x)的值域为1,-1,所以q为假命题,所以pq假,pq真,非p假.2.(1)这个命题是“pq”的形式,其中p:48是16的倍数,是真命题;q:48是12的
10、倍数,是真命题,所以“48是16与12的公倍数”是真命题.(2)这个命题是“p”的形式,其中p:方程x2+x+3=0有实数根,是假命题,所以命题“方程x2+x+3=0没有实数根”是真命题.(3)这个命题是“pq”的形式.其中p:相似三角形的周长相等,是假命题;q:相似三角形的对应角相等,是真命题,所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题.【方法技巧】判断含逻辑联结词的命题真假的三个步骤(1)明确命题的结构,即命题是“pq”“pq”,还是“p”.(2)对命题p和q的真假作出判断.(3)由“pq”“pq”“p”的真假判断方法给出结论.【变式训练】已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增
11、函数,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数.在命题q1:p1p2,q2:p1p2,q3:(p1)p2和q4:p1(p2)中,真命题是()A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4【解析】选C.因为y=2x在R上为增函数,y=2-x=()x在R上为减函数,所以y=-2-x=-()x在R上为增函数,所以y=2x-2-x在R上为增函数,故p1是真命题.y=2x+2-x在R上为减函数是错误的,故p2是假命题.所以q1:p1p2是真命题,因此排除B和D.1212q2:p1p2是假命题,q3:p1是假命题,(p1)p2是假命题,故q3是假命题,排除A.【补偿训练】已知命题p:x0R
12、,使tanx0=1,命题q:x2-3x+20的解集是x|1x2.下列结论:命题“pq”是真命题;命题“p(q)”是假命题;命题“(p)q”是真命题;命题“(p)(q)”是假命题,其中正确的是_.(填所有正确结论的序号)【解析】命题p:x0R,使tanx0=1,正确,命题q:x2-3x+20的解集是x|1x2.因为q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,所以0,即16(m-2)2-160,所以16(m2-4m+3)0,所以1m3.因为pq为真,pq为假,所以p为真,q为假或者p为假,q为真.2m40m0 ，即 或 解得m3或1m2.所以m的取值范围为m|m3或12.2m40m 0 q:方
13、程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根=16(m-2)2-1601m3.所以实数m的取值范围是2m0,a1.设p:函数y=loga(x+1)在(0,+)内单调递减;q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.若p或q为真,p且q为假,求a的取值范围.【解析】当0a1时,y=loga(x+1)在(0,+)内不是单调递减函数,故p为真时0a0,即a .又a0,所以0a .因为p或q为真,p且q为假,所以p,q中必定是一个为真一个为假.12125252(1)若p真,q假,则 即a(2)若p假,q真,则 即a 综上可知,a的取值范围为 0a 11a1152a 11a22 ，或 11)2
14、，a 15a1520aa22，或 5()2，+151)().22，+自我纠错 由含逻辑联结词的命题真假求参数的取值 范围【典例】已知命题p:任意x2,3,使得x2-a0都成 立,命题q:指数函数y=(log2a)x是R上的减函数,若命题“p(q)”是真命题,则实数a的取值范围是_.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是由q为假命题求a的范围时理解成函数y=(log2a)x是R上的增函数,还应该包含y=(log2a)x不是指数函数的情况,正确做法应该是取“指数函数y=(log2a)x是R上的减函数”的补集.正确解答过程如下:【解析】命题p是真命题时需满足ax2恒成立,所以a4,命题q为真需满足0log2a1,所以1a2,所以q为假时0a1或a2.由已知p真q假,所以0a1或2a4.答案:0a1或2a4