1、专题三 不等式、数列、推理与证明 11211121231.(.1;22)211;nnnnmnnnmnnaandaanm dddnSSnaSAnBn ABaaaannmaa nn aan nd 等差数列的通项公式为和等差数列的公差公式为和等差数列的前 项和公式等差数列主、为干识常数知 *1212232.4mnpqmnpqnnnnnnnnnkkkkkmnpqmnpqaaaaaaaaaaaaanSAnBnaabakbmkkSSSSSkdN等差数列的性质：、，若，则、的关系为，特别地，数列的前 项和是成等差数列的充要条件若数列和均是等差数列，则仍为等差数列，为常数等差数列中依次 项和成等差数列，即，成
2、等差数列，公差为 11111.12111121nnnnn mnmnna qaa qaaa qaa qnSqqqq 等比数列的通项公式为和等比数列的前等比数列主干式知识项和公 *121232232,.3kkkkmnpqmnpqnnnnnnkkkkkknkmnpqmnpqaaaaa aa aa aa aabma bmkTSSSSSqkTnTTTTN等比数列的性质：、，若，则、的关系为，特别地，若和均是等比数列，则仍为等比数列，其中 为常数等比数列中依次 项和成等比数列，即，成等比数列，其公比为等比数列中依次 项积成等比数列，记为前项积，即，2,.kq成等比数列，其公比为 *331246153745
3、3()A 1 B 2 C 5 D 311log1lo1 12g()9log NnnnnnnnnnnnabnAanABnBnbannaaaaaa已知两个等差数列和的前 项和分别为和，且，则使得为正偶数时，的值是 或已知数列满足，且一、等差、等比数列的概念，通，则项公式，前 项和公式的综合应用例79()11A B5 C 5?D.55aa 的值是 1212112121331135579246221438719221311log 3log333D.B2.1nnnnnnnnnnnnnnaaaaAbbbbBannnnbnaaaaaaaaaa，由为正偶数，所以或，易得，选解故故选析：1adq熟记等差和等比数
4、列主干知识，依题设情境，运用方程思想和转化化归思想将已知化为特征量 和、的方程并讲究运算技巧是问题求解的【点评】切入点 188281012201120100411423722365()A.B.C.32233221146()()2A.2(212D.B 2 01)C30nnmnaaaaaaaaaaaaaamn已知正项等比数列例广东中山二、等差、等比数列的性质及应用在等差数列中，则满足：，且，则的等于 最小值为 或 或中学模拟4 D 6 14148108108108118108818101088081562332211221388172;22212812C1221.1233 nnaadaaaaaan
5、daaaaaaaaaaaadaaadddd设等差数列的通项公式为，则由条件有，而，解得，或，所以或，即或，所以当时,当时，析，故选解:22010201020102222111242201()2.41622611116()()2423 m nnmm naqaqaqqqqaaaa qamnnmmnmnmnmnnmmnmn由题意知，化简得，所以舍 或又由已知条件，可得，所以，故，所以，当且仅当，也就是时取“”1adq有关等差、等比数列的计算型问题的求解策略是：首先考虑能否用性质，若不然，则转化为关【点于、的评】方程求解 545()A.B.C.4565.16D5N 如果执行如下框图，输入，则输三、特殊
6、数列求和出的数等于 21111 1471322nnaana求数列的前 项和：，111151 22133 45 66D.S由题意知输出的 的值析:，故选为解 212111111 1(4)(7)(32)111(1)(1473113131.121212)3131()122()2 1 nnnnnnnnSnaaaSnaaannnnaSnnaanaSannaa设，将其每一项拆开再重新组合得，分组 当时，分组求和当时，特殊数列求和常用方法有：拆项重组法、裂项相消法、错位相减法等，应用时关键是观察通项的特征后联想相应【点评】的方法 1*1121.log2 log2().12NnnnnnnnnnnSSnnanS
7、SaanSbbnbnT已知数列的前 项和是，满足求数列的前 项四、等差、等比数列及数和；若数列满足，求数列的前列求项例4应用和和综合 11111111*1 221()11211.2212122212NnnnnnnnnnnnnnnSaanSaaSSaaaaaSn当时，当时，所以数列是首项为，公比为 的等比数列，解所以析：1121211211log2log 2log211.111111 22 33 411.111111112233412 nnnnnnSnSnnSSnnbnnnnTn nnn因为，所以，所以，所以11 1 2 nnnSnaSSn本题是典型的关于关系式的运用及根据通项特点采用裂项相消【
8、点评】法求和 12*121123()11(2.001)Nnnnnnnnnnnnaaqbaaacbbbnaqbcaqqccaqqcaqc数列是以 为首项，为公比的等比数列令，其中试用、表示 和；若，是否存在实数对，其中，使成等比数列若存在，求出实数对，和 的通项且，试比较 与的大公式；若不存在，备选请说小题 ；明理由 1212212122211()12()2(1)2.11()12()2(1 112221,111111)()2(1)112nnnnnnnnnnnqbaaanacbbbnnqbaaana naaaqqaacbbbnqqqnaqqaaqqqqaqq 当时，当时，解析:122(1),11n
9、aaqq nq 212211,1111(1)2(1)22.2(1)(1)(1)1(1)nnnnnaqbaqqqaannqcaqaaqnqqqq 所以 111111111222222(1)2(1)1(1)11110,1,11111101110111,1000102nnnnnnnnnnnnnnaqaaqqqqaqaaqqqqaaccnqccqqqqqqqqqqqaqqccqaq 因为所以，当时，；当时，所以当，且时，1.nncc 即 12222,1112001110101111102(1)22(),3323(3)0.,nnnnnaqaaqqqqaqaqqqaaqqaaqqcnccqq因为，所以若为
10、等比数列，则或所以或舍去 所以 1111100()0110nnnnnnnaandadnaddaadannaydxaddada数形结合思想通项的几何意义：由可变形为若，则是常数函数；若，则是 的一次函数，是直线上一群孤立的点单调性：时，为单调递增数列解决与等差数列有关问题的常用；时，为单调递思想方法减数列 211222().002222()nnnnnnnanSSnanABaSAnBnAdSnnSyAxBxyAxBxndSddd数列的前 项和可变形为，令，则当即时，是关于 的二次函数，在二次函数的图象上，为抛物线上一些孤立的点利用其几何意义可解决前 项和 的最值问题 11122“”“”1()nnn
11、naadnSaaqnSaq方程思想将等差数列问题化归为基本量的关系来解决是通性通法一般地，等差数列的五个基本量、，知道任意三个元素，可建立方程组，求出另外两个元素，即 知三求二 方程思想等比数列中有五个量、，一般可以知三求二，能通过列解决方程 组 求关键量与等比数列有关问题的常用思想方法和，问题可迎刃而解 111111()()01)2010(nnnnnnnxnaa qaqananayqaqaqaaqqa数形结合思想通项可化为，因此是关于的函数即中的各项所表示的点，在曲线上，是一群孤立的点单调性：当或时，是递增数列；111111011.300011111nnnnnnnnnaqaqaqanaaqqaqqSnaqanSaanqqq 当或时，是递减数列；当时，为常数列；当时，为摆动数列分类思想当时，的前 项和；当时，的前 项和等比数列的前 项和公式涉及对公比的分类讨论，此处是常考易错点