1、山西省忻州市静乐县静乐县第一中学2019届高三数学下学期7月月考试题（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分在每小题的四个选项中只有一个选项是正确的）1.已知全集则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M，进而根据集合补集运算的定义，可得答案【详解】全集U=R，M=x|x22x=x|0x2，UM=x|x0或x2，故选：C【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键2.设复数满足（其中为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用复
2、数的除法法则求出复数，然后由复数的求模公式计算出.【详解】，。故选：B.【点睛】本题考查复数的除法以及复数的模，考查对复数四则运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.3.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为 20%=11.25%，得解【详解】由图1，图2可知：该学期电费开支占总开支的百分比为20%=11.25%，故选：B【点睛】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题4.已知
3、定义在上的奇函数满足：当时，则（ ）A. B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】先计算，再由奇函数的性质得出即可得出答案。【详解】由题意得，函数为奇函数，所以，故选：A。【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，考查对奇函数定义的理解，考查计算能力，属于基础题。5.几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是【答案】B【解析】试题分析：由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确考点：三视图6.等差数列的前项和为，若则（ ）A. 152B. 154C. 156D. 158【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出【详解】设公差为d，由，可得，解出，故选：C
4、【点睛】熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键7.在中,则在方向上的投影为（ ）A. 4B. 3C. -4D. 5【答案】C【解析】【分析】先对等式两边平方得出，并计算出，然后利用投影的定义求出在方向上的投影。【详解】对等式两边平方得，整理得，则，设向量与的夹角为，所以，在方向上的投影为，故选：C。【点睛】本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题。8.已知函数,若则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数,由导函数的符号可得在上为增函数，由，利用
5、单调性可得结果.【详解】因为函数，所以导数函数，可得在上恒成立，所以在上为增函数，又因为，所以，故选D.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及利用单调性比较函数值的大小.函数的单调性常用判断方法有定义法，求导法，基本函数的单调性法，复合函数的单调性法，图象法等.9.执行下面所示的程序框图,则输出的值是（ ）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.【详解】执行程序框图，时，；时，；时，；时，满足循环终止条件，退出循环，输出的值是9，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循
6、环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.如下图，在正方体中，点分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连接和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分
7、析】连接EF，可证平行四边形EFGH为截面，由题意可找到与平面所成的角，进而得到sin的最大值.【详解】连接EF，因为EF/面ABCD,所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O作GH/BC交CD于点G,交AB于H点，则GH/EF,连接EH，FG,则平行四边形EFGH为截面，则五棱柱为，三棱柱EBH-FCG为，设M点为的任一点，过M点作底面的垂线，垂足为N，连接,则即为与平面所成的角，所以=，因为sin=,要使的正弦最大，必须MN最大，最小，当点M与点H重合时符合题意，故sin的最大值为=,故选：B【点睛】本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的
8、求法，属于中档题.11.函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于点则方程所有解的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点可求得，从而得到，求出函数及的对称点，从而发现它们都关于点对称，在同一坐标系中，作出与的图像，结合图像即可求解。【详解】由函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点，可得：.解得：.所以将代入上式得：=0，解得：=，又，所以.所以.令=，则所以的图像关于点对称。令，且=，解得：.所以的图像关于点对称.所以函数与的图像关于点对称.在同一坐标系中，作出与的图像，如图：由图可得：函数与的图像在上有两个交点，这两个交点关于点对称.所
9、以方程有且只有两个零点，且 .所以方程所有解的和为：.故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数图像以及三角函数性质，考查了转化思想及方程思想，考查计算能力，属于中档题。12.过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为延长交曲线于点其中有一个共同的焦点，若则曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设双曲线的右焦点的坐标为，利用为的中点，为的中点，可得为的中位线，从而可求，再设，过点作轴的垂线，由勾股定理得出关于的关系式，最后即可求得离心率【详解】设双曲线的右焦点为，则的坐标为因为曲线与有一个共同焦点，所以曲线的方程为因为，所以，所以为的中点，因为O为的中点，所以OM为的中
10、位线，所以OM因为|OM|=a，所以又，所以设N(x,y)，则由抛物线的定义可得，所以过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为，在中，由勾股定理得，即，所以，整理得，解得故选A【点睛】解答本题时注意以下几点：（1）求双曲线的离心率时，可根据题中给出的条件得到关于的关系式，再结合得到间的关系或关于离心率的方程（或不等式），由此可得离心率的取值（或范围）（2）本题中涉及的知识较多，解题时注意将题中给出的关系进行转化，同时要注意圆锥曲线定义在解题中的应用第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若实数满足则的最小值为_【答案】-1【解析】【分析】先作出不等式
11、组所表示可行域，平移直线，找到该直线轴的截距取最小值时对应最优解，再将最优解代入线性目标函数计算出答案。【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，得，得点的坐标为，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时，目标函数取到最小值，且最小值为，故答案为：。14.将多项式分解因式得为常数，若，则_【答案】2【解析】【分析】先将二项式变形为，展开得到通项，利用展开式中的系数为得出的值，再由代入等式可求出。【详解】，所以，二项式展开式的通项为，令，得，则，则，所以，故答案为：。【点睛】本题考查二项式定理，考查指定项的系数以及赋值法的应用，二项式中指定项的系数问题，一般要通
12、过利用二项式定理将二项式展开得出通项，利用指数列方程求解未知数求解，另外，在二项式定理赋值法常用的如下：设，则（1）；（2）；（3）。15.如图所示，阴影部分是由曲线和圆及轴围成的封闭图形在圆内随机取一点，则此点取自则阴影部分的概率为_【答案】【解析】【分析】先求出曲线与圆在第一象限的交点坐标，再利用定积分和扇形面积公式计算出阴影部分面积，最后将阴影部分面积和圆的面积相除可得出所求事件的概率。【详解】设圆交轴正半轴于点，联立，得或，可知，曲线与圆在第一象限的交点为，如下图所示：直线的斜率为，倾斜角为，过点作轴，垂足为点，则为等腰直角三角形，且，由图形可知，阴影部分区域的面积为，由几何概型的概率
13、公式可知，所求事件的概率为。故答案为：。【点睛】本题考查几何概型概率的计算，考查面积型的几何概型的概率计算，要熟悉几种常见平面图形面积的求解，另外在求解由函数围成的平面区域的面积时，用学会利用定积分去求解，考查计算能力，属于中等题。16.设锐角三个内角所对的边分别为,若，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理化简得，再利用正弦定理求出，再结合B的范围求出c的范围.【详解】由及余弦定理可得，即，所以又为锐角三角形，所以由正弦定理可得由且可得，所以，所以，即故的取值范围为故答案为：【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的
14、掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题利用了函数的思想，一定要注意考查B的范围，否则会出错.三、解答题(本大题共5小 题,共70分)17.已知数列的前项和为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）令，为的前项和，求证：【答案】（1）an=22n1（2）见解析【解析】试题分析：（I）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出 （II）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出 试题解析：（）当n3时，可得Sn-4Sn-1-2-（Sn-1-4Sn-2-2）=0（n2，nZ）an=4an-1， 又因为a1=2，代入表达式可得a2=8，满足上式 所以数列an是首项为a1=2，公比为4的等比数列，故
15、：an=24n-1=22n-1 （）证明：bn=log2an=2n-1 Tn=n2 n2时，= 1+=2-218.如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，为线段上一点(1)若，则在线段上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由(2)己知，若异面直线与成角，二面角的余弦值为，求的长【答案】（1）存在，点是线段上靠近点的一个三等分点；（2）2.【解析】【分析】(1) 延长，交于点，连接。通过证明及，可得M为PB上的一个三等分点，且靠近点P。(2)建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，分别求得平面和平面的法向量，再根据二面角夹角的余弦值即可得参数t的值，进而求得CD的长。【
16、详解】解：（1）延长，交于点，连接，则平面.若平面，由平面平面，平面，则.由，则，故点是线段上靠近点的一个三等分点.（2），平面，平面，则平面以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴、轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，则，设平面和平面的法向量分别为，.由，得即，令，则，故.同理可求得.于是，则，解之得（负值舍去），故.【点睛】本题考查了立体几何的证明，空间向量在夹角问题中的综合应用，法向量的求法与用法，属于中档题。19.2019年2月13日烟台市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解条例
17、发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若令，则，且利用直方图得到的正态分布，求(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求(结果精确到00001)以及的数学期望参考数据：若，则【答案】(1)9，1.78(2) （i）（i
18、i）见解析【解析】【分析】（1）直接由平均数公式及方差公式求解；（2）（i）由题知，则，求出，结合已知公式求解（）由（i）知，可得，由求解，再由正态分布的期望公式求的数学期望【详解】解：（1）， ；（2）（i）由题知，；（）由（i）知，可得，.的数学期望.【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题20.已知点是动点，且直线和直线的斜率之积为(1)求动点的轨迹方程；(2)设直线与（1）中轨迹相切于点，与直线相交于点且求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）设，则依题意得，利用坐标表示化简可得解；（2）设直线：，与联立得，由相切
19、得，进而得，计算可证得.试题解析：（1）设，则依题意得，又，所以有，整理得，即为所求轨迹方程.（2）法1：设直线：，与联立得，即，依题意，即，得，而，得，又，又，则.知，即.法2：设，则曲线在点处切线：，令，得，又，.知，即.21.已知函数（1）当时，取得极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点；（2）当函数有两个极值点且时，总有成立，求的取值范围【答案】（），为极大值点（）.【解析】【分析】（）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（）求出函数极值点，问题转化为2lnx10，根据0x11时，0.1x12时，0即h（x）2lnx（0x2），通过讨论t的范围求出函
20、数的单调性，从而确定t的范围即可【详解】（），则从而，所以时，为增函数；时，为减函数，所以为极大值点.（）函数的定义域为，有两个极值点，则在上有两个不等的正实根，所以，由可得从而问题转化为在，且时成立.即证成立.即证 即证亦即证 . 令则1)当时，则在上为增函数且，式在上不成立.2)当时，若，即时，所以在上为减函数且，、在区间及上同号，故式成立.若，即时，的对称轴，令，则时，不合题意.综上可知：满足题意.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题选考题：共10分请考生在2223题中任选一题作答，如果多
21、选，则按所做的第一题记分22.在极坐标系中，曲线的方程为，点（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，点的极坐标化为直角坐标；（2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标【答案】（1），；（2）矩形的最小周长为，点.【解析】试题分析：（1）由，可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）要求矩形周长的最小值，必须把周长用一个参数表示出来，为此设，则有，且，由正弦函数的性质可得最小值及值试题解析：（1）由于则曲线的方程为，转化成点的极坐标转化成直角坐标为：；（2）设根据题意，得到。则：，所以当，矩形的最
22、小周长为4，点.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，椭圆的参数方程，正弦函数的性质23.已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当a3时，f（x）x2+|2x4|3，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）x2+|x|的解集；（2）f（x）0的解集为实数集Rax2|2x4|，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得x2|2x4|的最大值为3，从而可得实数a的取值范围【详解】解：（1）当时，.或或或或或.当时，不等式的解集为.（2）的解集为实数集对恒成立.又，.故的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，去掉绝对值符号是解不等式的关键，属于中档题