1、第3课时空间向量基本定理 教学过程一、 问题情境1.在教材第83页例2中,若F是DB的三等分点或四等分点,则能否用i,j,k表示?若F是DB上的任意一点,则能否用i,j,k表示?2.空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?如何表示?二、 数学建构由上例归纳,可得到一般性结论:1.空间向量基本定理如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xe1+ye2+ze3.证明(存在性)如图,设e1,e2,e3不共面,过点O作=e1,=e2,=e3,=p.(图1)过点P作直线PPOC,交平面OAB于点P;在平面OAB内,过点P作直线PAOB,P
2、BOA,分别与直线OA,OB相交于点A,B.于是,存在三个实数x,y,z,使=x=xe1,=y=ye2,=z=ze3,所以=+=x+y+z,所以p=xe1+ye2+ze3.(唯一性)假设还存在x,y,z且xx,使p=xe1+ye2+ze3,即xe1+ye2+ze3=xe1+ye2+ze3,所以(x-x)e1+(y-y)e2+(z-z)e3=0.因为xx,所以e1=e2+e3,所以e1,e2,e3共面,此与已知矛盾.所以有序实数组(x,y,z)是唯一的.推论设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=x+y+z.2.基底如果三个向量e1,e2,
3、e3不共面,那么空间的每一个向量都可由e1,e2,e3线性表示,我们把e1,e2,e3称为空间的一个基底,向量e1,e2,e3叫做基向量.如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底.特别地,当一个正交基底的三个基向都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用i,j,k表示.三、 数学运用【例1】(教材第88页例1)如图,在正方体OADB-CADB中,E是AB与OD的交点,M是OD与CE的交点,试分别用向量,表示向量和.(见学生用书P53)(例1)规范板书解因为=+,所以=+=+.由OMEDMC,可得OM=MD=OD,所以=+.题后反思重视平面几何知识在解题过程中的灵
4、活应用.【例2】如图,已知空间四边形OABC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且MG=2GN,用基底向量,表示向量.(见学生用书P54)(例2)规范板书解因为M,N分别是对边OA,BC的中点,所以=,=+,则=+=+=+(-)=+=+.题后反思运用空间向量的线性运算,将空间向量转化为平面向量.【例3】已知向量e1,e2,e3为空间的一个基底,试问:向量a=3e1+2e2+e3,b=-e1+e2+3e3,c=2e1-e2-4e3是否共面?并说明理由.(见学生用书P54)处理建议用反证法,先假设a,b,c共面,再根据共面向量定理看是否满足共面的条件.规范板书解假设a,b,c共面
5、.由共面向量定理可知,存在三个不全为零的实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0,即x(3e1+2e2+e3)+y(-e1+e2+3e3)+z(2e1-e2-4e3)=0,亦即(3x-y+2z)e1+(2x+y-z)e2+(x+3y-4z)e3=0.由e1,e2,e3不共面,得解得不妨令x=-1,则y=7,z=5.于是a=7b+5c,所以a,b,c三向量共面.题后反思以向量e1,e2,e3为空间的一个基底表示向量a,b,c,重点考查共面向量定理和线性运算.运用了方程的思想.四、 课堂练习1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F是侧面CDD1C1的中心.若=+x+y,则x-y=0.提示因为=+=+=+(+),所以x=y=,则x-y=0.2.“向量a,b,c不共面”是“a,b,c为基底”的充要条件.3.已知是空间的一个基底,给出下列四组向量:;a+2b,2b+3c,3a-9c;.其中能构成空间的一个基底的有.提示不能构成空间的一个基底,因为-3(a+2b)+3(2b+3c)+(3a-9c)=0.4. 已知a,b,c是空间的一个基底,若pa+qb+c与a+pb+qc共线,则实数p=1,q=1.五、 课堂小结1.本节课主要学习了空间向量的基本定理及其推论、基底的概念.2.运用代数的方法判断向量是否共面.