1、甘谷一中20192020学年第一学期高二期末考试数学试题（文科）考生注意：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第卷每小题选岀答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第卷请用直径0.5毫来黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：选修1-1、选修1-2.第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定是（ ）A. B. C.
2、D. 【答案】A【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题，据此选择.【详解】根据全称命题否定的转换原则，其否定为：.故选：A.【点睛】本题考查全称命题的否定，注意结论也要否定.2.已知，是两个变量，下列四个关系中，呈负相关的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据两个变量，的散点图，即可确定.【详解】根据的散点图可知，不呈负相关.选项A，排除.根据的散点图可知，不呈负相关.选项B，排除.根据的散点图可知，呈正相关.选项C，排除.根据的散点图可知，呈负相关.选项D，成立.故选：D【点睛】本题考查变量的相关性，数形结合思想是解决本题的关键，属于较易题.3.“”是“”的（ ）A
3、. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】对充分性和必要性都进行推证，即可得到结论.【详解】当时，存在不满足，当时，一定满足；综上：是的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查充要条件的判断，属基础题.4.函数在区间上的最大值为（ ）A. 0B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】对函数求导，讨论单调性，求其最值即可.【详解】，故是单调增函数；则.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数在区间上的最值，属基础题.5.已知：抛物线的准线方程为；：双曲线的渐近线方程为.下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】
4、C【解析】【分析】分别分析两个命题的真假，再根据或且非的真假判定原则进行选择.【详解】抛物线的准线方程为，故命题为真命题；双曲线的渐近线方程为，故命题为假命题，则为真命题；故为真命题.故选：C.【点睛】本题考查复合命题真假的判定，涉及抛物线方程及双曲线方程，属综合基础题.6.某公司在20142018年的收入与支出情况如下表所示：收入（亿元）2.22.43.85.26.0支出（亿元）0.21.52.02.53.8根据表中数据可得回归直线方程为，依此估计如果2019年该公司收入为8亿元时的支出为（ ）A. 4.502亿元B. 4.404亿元C. 4.358亿元D. 4.856亿元【答案】D【解析】
5、【分析】先求，根据，求解，将代入回归直线方程为，求解即可.【详解】，即令，则故选：D【点睛】本题考查回归分析，样本中心点满足回归直线方程，是解决本题的关键.属于中档题.7.若函数的极值点为-1，则的零点为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】由极值点求得参数，再令解方程即可.【详解】因为，故又因为极值点为-1，故解得；故，令解得.故选：A.【点睛】本题考查极值点的性质，以及零点的意义，属基础题.8.某算法的程序框图如图所示，则输出S为（ ）A. B. 0C. -1D. 【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，执行循环体，直至满足输出条件即可.【详解】由已知，因为，
6、即每相邻八项之和为0，也即周期为8.因为，所以.故选：C.【点睛】本题考查计算程序框图的输出结果，涉及循环体的执行.9.若复数z是方程的一个根，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出复数，代入方程进行求解即可.【详解】令，有，整理为，有，解得：，则.故选：D.【点睛】本题综合考查复数的运算，涉及复数为实数的转化关系，属复数基础题.10.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为Q，若，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可得点的横坐标，代入抛物线得其纵坐标，再利用点在双曲线上，点的坐标满足双曲线方程，从而进行求解
7、.【详解】因为抛物线的焦点为，设，则，解得，又点在抛物线上，故.点在双曲线上，所以，又，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查抛物线的定义，以及双曲线离心率的求解，属综合基础题.11.观察下列各式：，则的末四位数字为（ ）A. 3125B. 5625C. 0625D. 8125【答案】D【解析】【分析】先求，寻找周期性规律，结合周期可求.【详解】可以看出后四位呈周期出现，且周期为4，所以的末四位数字为8125，故选D.【点睛】本题主要考查归纳推理，一般是利用所给项的特点推测目标项的特点,注意规律的总结.12.设函数，若集合中恰有一个元素，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案
8、】D【解析】【分析】对进行“半分离参数”的转化，将问题转变为两个函数图像的问题，利用导数研究函数的单调性，数形结合，解决问题.【详解】记， 依题意，恰有一个整数使得.在上递增，又， ，故在上递减，在上递增.（1）当，时，不符合题意；（2）当，时，过定点，且，由的单调性，有，综上，实数a的取值范围为.故选：D.【点睛】本题考查利用导数解决能成立问题，本题的关键步骤是半分离参数，同时也要注意数形结合.第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数，则_.【答案】【解析】【分析】先利用复数的除法化简复数，再求其共轭复数即可.【详解】因为复数故其共轭复数：故
9、答案为：.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及共轭复数的定义，属基础题.14.若椭圆的离心率为，则其长轴长为_.【答案】4【解析】【分析】根据离心率公式，列方程求参数即可.详解】由椭圆方程可得，由离心率公式解得，则，故答案为：4.【点睛】本题考查椭圆方程中的求解，属基础题.15.设函数，观察：，根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，_.【答案】【解析】【分析】结合已知条件，观察分子和分母随着项数的变化情况，即可求得结果.【详解】根据已知，分子随着项数不发生变化；分母上常数项为等比数列，的系数为等比数列减1，故由此推理得：=故答案为：.【点睛】本题考查归纳推理，属基础题；此类问题，重在观察规律.
10、16.过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于两点，且l与准线交于点C，若，则_.【答案】3【解析】【分析】利用抛物线的定义，结合三角形相似求解比值关系.【详解】过点A作AH垂直于准线，垂足为H，过点B作BM垂直于准线，垂足为M，如下图所示：因为，故，即因为，以及抛物线定义，则故可得故答案为：3.【点睛】本题考查抛物线的定义，涉及三角形相似，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.设复数.（1）若为纯虚数，求a的值；（2）若，求a的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用复数乘法法则进行化简，令实部为零，虚部不为零，求得参数；（
11、2）利用（1）中化简的结果，利用模长公式求得参数.【详解】（1），由为纯虚数，得，所以.（2）由，得，所以，所以.【点睛】本题考查复数的乘法法则，涉及复数的模长计算、纯虚数的定义.18.过抛物线的焦点F作平行于x轴的直线l，且l与抛物线交于两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于两点，求.【答案】（1）；（2）-24【解析】【分析】（1）由通径可知参数，即可写出抛物线方程；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理，进行求解.【详解】（1）由题可知通径，抛物线的方程为.（2）由，得，设，则.，.故【点睛】本题考查抛物线方程的求解，以及利用直线与抛物线相交，根据韦达定理，求向量
12、的数量积.属抛物线基础题.19.为了了解某高校大学生是否愿意做志愿者.某调查机构从该高校访问了80人，经过统计，得到如下丢失数据的列联表：（，表示丢失的数据）无意愿有意愿总计男ab40女5dA总计25B80（1）求出的值，并判断：能否有99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关；（2）若表中无意愿做志愿者的5个女同学中，3个是大学三年级同学，2个是大学四年级同学.现从这5个同学中随机选2同学进行进一步调查，求这2个同学是同年级的概率.附：参考公式及数据：，其中0.400.250.100.0100.0050.0010.708l.3232.70666357.87910.828【答案】（1），有9
13、9.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关；（2）.【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，即可求得5个未知数的值；计算,结合参考数据求解；（2）用列举法求得全部可能，以及满足题意的可能，用古典概型概率计算公式求解.【详解】（1）由表得， 的观测值有99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关（2）记3个大三同学分别为，2个大四同学分别为，则从中抽取2个的基本事件有：共10个其中抽取的2个是同一年级的基本事件有4个: 则所求概率为.【点睛】本题考查的计算，以及古典概型的求解，属概率统计基础题.20.（1）求证：.（2）已知，用分析法证明：.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】【
14、分析】（1）利用分析法，不等式的两边平方后，进行比较大小，从而问题得证；（2）根据分析法的证明步骤，利用不等式的基本性质，即可证明.【详解】（1）证明：因为和都是正数，所以要证，只需证，即证，只需证，只需证，又因为成立，所以成立.即证.（2）若证.即证，即证，即证.因为，所以恒成立，故原不等式成立.即证.【点睛】本题考查不等式的证明，涉及不等式证明的方法（分析法），属基础题.21.已知椭圆经过点，其左焦点的坐标为.过的直线交椭圆于两点.（1）求椭圆的方程；（2）当线段的中点的横坐标为时，求直线的方程.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆上经过的一点，以及焦点坐标，待定系数，求出
15、即可；（2）设出直线方程，联立椭圆，由韦达定理求得中点横坐标，求出直线斜率即可.【详解】（1）由椭圆过点得，由焦点的坐标为得，所以， 所以椭圆的方程为.（2）设点A的坐标为，B的坐标为，的斜率为k（k显然存在）.由，得，所以，中点的横坐标，所以，则的方程为，即.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及韦达定理的使用，属椭圆基础题.22.已知函数.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用，求得参数，再根据导数的几何意义求切线的方程；（2）求导，对含参函数的单调性进行讨论，求得最大值，只需最大值小于等于零即可.【详解】（1），曲线在处的切线方程为即.（2）当时，符合题意；又当时，令，得（负根舍去），令，得；令得.在上单调递增，在上单调递减.，当时，在上单调递减，且与的图象在上只有一个交点，设此交点为，则当时，.故当时，不满足. 综上，a取值范围为.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数，由恒成立问题，求参数的范围，属导数中档题.