1、第12课时圆锥曲线的统一定义 教学过程一、 问题情境我们知道,平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线.当这个比值是一个不等于1的常数时,动点P的轨迹又是什么曲线呢? 二、 数学建构问题1试探讨这个常数分别是和2时,动点P的轨迹.方案1利用尺规作出几个特殊的点,从而猜想轨迹.方案2利用几何画板制作课件演示.可以得到:当常数是时,动点P的轨迹是椭圆;当常数是2时,动点P的轨迹是双曲线.1问题2由上面问题的解决,同学可以猜想得出什么样的结论?解平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于e的动点P的轨迹是圆锥曲线.当0e1
2、时,它表示双曲线;当e=1时,它表示抛物线.问题3以上的结论是否正确呢?如何证明?解当e=1时,结论在抛物线标准方程的推导中已经得到证明,那么其他两种情况如何通过方程来证明呢?(思考片刻继续引导)关键在于如何建立坐标系才能使得轨迹的方程为标准方程.(思考片刻继续引导)请同学们阅读教材第55页的思考后回答下面问题.问题4当0e0,所以可令b2=a2-c2,这样方程(*)可化为+=1(ab0).这就证明了,当0ec0)时,这个点的轨迹是椭圆,方程为+=1(ab0, b2=a2-c2),这个常数就是椭圆的离心率.类似地,我们可以得到:当点P到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数
3、(ca0)时,这个点的轨迹是双曲线,方程为-=1(a0,b0,其中b2=c2-a2),这个常数就是双曲线的离心率.这样,圆锥曲线可以统一定义为平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹.当0e1时,它表示双曲线;当e=1时,它表示抛物线.其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的准线.由前面的研究可知:点F(c,0),直线l:x=分别为椭圆+=1(ab0)的焦点、准线;点F(c,0),直线l:x=分别为双曲线-=1(a0,b0)的焦点、准线.根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线,中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆+=1(
4、ab0)或双曲线-=1(a0,b0),与焦点F1(-c,0),F2(c,0)对应的准线方程分别为x=-,x=.三、 数学运用【例1】求下列曲线的焦点坐标、准线方程:(1)25x2+16y2=400;(2)x2-8y2=32;(3)y2=16x.2(见学生用书P37)处理建议引导学生将曲线方程转化为标准形式,再让学生根据定义求解.规范板书解(1) 由25x2+16y2=400,得+=1,因此此椭圆的焦点在y轴上,且a=5,b=4,所以c=3,故曲线25x2+16y2=400的焦点坐标为(0,3),准线方程为y=.(2)由x2-8y2=32,得-=1,因此此双曲线的焦点在x轴上,且a=4,b=2,
5、所以c=6,故曲线x2-8y2=32的焦点坐标为(6,0),准线方程为x=.(3)由y2=16x,得p=8,故曲线y2=16x的焦点坐标为(4,0),准线方程为x=-4.题后反思要求圆锥曲线的准线方程、焦点坐标,必须先将曲线方程化为标准形式.变式已知椭圆+=1的一条准线方程为y=,求实数m的值.规范板书解由题意可知,a2=m(m9),b2=9,所以c=.由一条准线方程为y=可知=,解得m=25或m=.【例2】已知椭圆+=1上一点P到右准线的距离是2b,求点P到椭圆左焦点的距离.3(见学生用书P38)处理建议引导学生根据圆锥曲线的统一定义,将点到准线的距离转化为其到相应焦点的距离.规范板书解法一
6、由题意知,该椭圆的左、右焦点分别是(-b,0),(b,0),离心率为.设该椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,则由圆锥曲线的统一定义可知,=,所以PF2=3b.由椭圆的定义可知,PF1=4b-3b=b,即该点到椭圆左焦点的距离为b.解法二由题意知,该椭圆的左、右焦点分别是(-b,0),(b,0),离心率为.设该椭圆的左、右焦点分别为F1,F2.因为椭圆两准线间的距离为b,所以P到左准线的距离为b,则由圆锥曲线的统一定义可知,=,所以PF1=b,即该点到椭圆左焦点的距离为b.题后反思椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线,在解题过程中要注意对应,即左焦点对应左准线,右焦点对应右准线(或上焦点对应上准
7、线,下焦点对应下准线).【例3】已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与C相交于A,B两点.若=3,求斜率k的值.(见学生用书P38)规范板书解设直线l为椭圆的右准线,e为离心率.如图,分别过A,B作AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,过B作BEAA1于E.由圆锥曲线的统一定义得AA1=,BB1=,由=3,得AA1=,所以cosBAE=,所以sinBAA1=,所以tanBAA1=,即k=. (例3) *【例4】若椭圆+=1内有一点P(1,-1),F为其右焦点,椭圆上有一点M使MP+2MF最小,则点M的坐标为.提示因为椭圆的离心率为,则2MF就等于点M到
8、右准线的距离d,所以MP+2MF=MP+d.由点到直线的最短距离是垂线段得可以得到M.题后反思先用圆锥曲线的统一定义将MP+2MF的最小值转化为MP+d(d为点M到右准线的距离)的最小值,再根据“点到直线的距离中垂线段最短”将问题解决.这是处理圆锥曲线中与曲线上的动点到焦点(或准线)的距离有关的最值问题的常用方法.四、 课堂练习1. 若抛物线的顶点在原点,准线与椭圆+=1的准线重合,则此抛物线的方程为y2=16x.提示由题意知椭圆的准线方程为x=4,所以=4,即p=8.2. 已知椭圆+=1上一点P到左焦点的距离为12,则点P到右准线的距离为10.提示由题意知点P到左准线的距离为=15,两准线间
9、的距离为2=25,故点P到右准线的距离为10.3.已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(a,b0)的左、右焦点,曲线C的两条准线分别与x轴交于点A,B.若A,B为线段F1F2的三等分点,则此双曲线C的离心率为 .提示由题意得=3,即e2=3.4.已知P为椭圆C:+=1上一点,且P到曲线C的右焦点F的距离为3,求点P的坐标.解法一椭圆C:+=1的右焦点为F(2,0),设P(x,y),则由题意可知解得即点P的坐标为(2,3).解法二椭圆C:+=1的右准线的方程为x=8,离心率e=.因为P到曲线C的右焦点F的距离为3,所以P到右准线的距离为6.设P(x,y),则8-x=6,解得x=2,代入+=1,得y=3,所以点P的坐标为(2,3).五、 课堂小结1.圆锥曲线的统一定义.2.会根据圆锥曲线的标准方程求准线方程.3.掌握圆锥曲线上的点到焦点的距离及该点到对应准线的距离之间的相互转化.