1、考 点 串 串 讲1抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线(1)圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和到定直线 l 的距离之比是常数 e 的点的轨迹定点 F 称为焦点，定直线 l 称为准线，根据 e 的取值，轨迹可分为：当 0e1 时，轨迹为椭圆；当 e1时，轨迹为抛物线；当 e1 时，轨迹为双曲线(2)定义可归结为“一动三定”，动点设为 M，一个定点即为抛物线焦点，一条定直线即为抛物线的准线，一定值即离心率，也即动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比为 1.(3)要注意定点不在定直线上，否则动
2、点 M 的轨迹不是抛物线，而是过定点 F 垂直于定直线 l 的一条直线，比如定点 F(1,0)和直线l：xy10，则到定点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹方程为 xy10，它是一条直线2抛物线的标准方程(1)椭圆、双曲线有对称中心，有两条对称轴，建系时自然以对称轴为坐标轴，以对称中心为坐标原点，而抛物线只有一条对称轴，只有把顶点选在坐标原点时，方程形式比较简单，所以应以顶点为原点，对称轴是坐标轴建立坐标系(2)由于开口方向不同，因而它的标准方程有四种形式：与 x 轴的正向同向，则它的标准方程为 y22px；与 x 轴的正向反向，则它的标准方程为 y22px；与 y 轴的正向同向，则它的
3、标准方程为 x22py；与 y 轴的正向反向，则它的标准方程为 x22py.反过来，要根据抛物线的标准方程判断焦点的位置，不难从几何图形的观察中掌握以下特点：在标准方程中，若一次项字母为 x，则焦点在 x 轴上；在标准方程中，若一次项字母是 y，则焦点在 y 轴上一次项系数的正负确定了抛物线开口的方向，若符号为正，则开口方向向右或向上；若符号为负，则开口方向向左或向下(3)焦点的非零坐标是一次项系数的14.准线方程中，等式右边是一次项系数的14倍，例如抛物线方程 x2ay(a0)，其焦点坐标为(0，a4)，准线方程为 ya4，与 a 的正负无关(4)“p”是焦点到准线的距离，也称抛物线的焦参数
4、，故而 p的值永远大于 0，而p2是抛物线顶点到焦点的距离，也是顶点到准线的距离3.抛物线的几何性质标准方程 y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形 范围x0 yRx0 yRxR y0 xR y0 准线方程xp2xp2yp2yp2焦点坐标F(p2，0)F(p2，0)F(0，p2)F(0，p2)性质焦半径rp2x0rp2x0rp2y0 rp2y0 对称轴关于 x轴对称关于 y轴对称 顶点坐标O(0,0)离心率e1通径过焦点且垂直于对称轴的弦长为2p(其中 p 为焦点到准线的距离)4.抛物线中常用结论和方法如图所示，抛物线方程为 y22px(p0)(1)焦半径
5、设 A 点在准线上的射影为 A1，设 A(x1，y1)，准线方程为 xp2，由抛物线定义|AF|AA1|x1p2.(2)关于抛物线焦点弦的几个结论设 AB 为过抛物线 y22px(p0)焦点的弦，A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线 AB 的倾斜角为，则x1x2p24，y1y2p2；|AB|2psin2x1x2p；以 AB 为直径的圆与准线相切；焦点 F 对 A、B 在准线上射影的张角为 90；1|FA|1|FB|2p.典 例 对 对 碰题型一 求抛物线的方程例 1 已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点 A(m，3)到焦点 F 的距离为 5，求 m 的值，并写出此抛物
6、线的方程分析 虽然抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，处于标准位置，然而开口方向并不确定，因此应分类讨论解析 若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为 x22py，准线方程为 yp2，从抛物线定义知p2(3)5，解得 p4.抛物线方程为 x28y，此时将点 A(m，3)代入方程，得 m2 6.若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为 y22ax(a0)，由 p|a|知准线方程可统一成 xa2的形式，有|a2m|5，2am9.解此方程组可得：a11，m192，或a21，m292，或a39，m312，或a49，m412.此时抛物线方程为：y218x，m12或 y218x，m12或 y22x，m92或
7、 y22x，m92.变式迁移 1直线 l1 和 l2 相交于点 M，l1l2，点 Nl1，以 A、B 为端点的曲线 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等，若AMN 为锐角三角形，|AM|17，|AN|3，且|BN|6，建立适当的坐标系，求曲线 C 的方程解析 以 l1 为 x 轴，以 MN 的中垂线为 y 轴建立如图的直角坐标系依题意，曲线 C 是以 N 为焦点，l2 为准线的抛物线的一段，其中 A、B 为曲线 C 的两个端点，设曲线 C 的方程为 y22px(p0，xAxxB，yyA)M(p2，0)，N(p2，0)由|AM|17，|AN|3，得xAp222pxA17，xAp2
8、22pxA9，由两式联立解得 xA1，p4，或 xA2，p2.AMN 是锐角三角形，p2xA.只有 p4，xA1.由点 B 在曲线段 C 上得 xB|BN|p24.又由点 A 在曲线段 C 上，得 yA 8xA2 2.曲线段 C 的方程为y28x(1x4，y2 2).题型二 抛物线的定义例 2(1)已知点 M(3,2)，F 为抛物线 y22x 的焦点，点 P 在该抛物线上移动，当|PM|PF|取最小值时，点 P 的坐标为_(2)已知抛物线 y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A相离 B相交C相切 D不确定解析(1)如图，由定义知|PF|PE|，故|PM|PF|PM|P
9、E|ME|MN|312.显然，只有当点 P 在由点 M 向准线所作的垂线上时，距离之和最小，此时点 P 的坐标为(2,2)(2)如图所示，设抛物线焦点弦为 AB，中点为 M，准线为 l，则|AA1|AF|，|BB1|BF|，于是 M 到 l 的距离|MN|12(|AA1|BB1|)12(|AF|BF|)12|AB|.故以 M 为圆心，12|AB|为半径的圆与直线 l 相切选 C.答案(1)(2,2)(2)C点评 重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点与到准线距离的相互转换，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.变式迁移 2如图所示，F 为抛物线 y22px 的焦点，A(4,2)为
10、抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，|PA|PF|的最小值为 8，求该抛物线方程解析 如图所示，过 P 点作抛物线 C 准线的垂线，垂足为 H.由定义，|PH|PF|.当 H、P、A 三点共线时，|PA|PF|最小|PA|PF|的最小值|AH|p248，p8.抛物线方程为 y216x.题型三 抛物线的焦点弦问题例 3 已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与 C相交于两点 A、B.(1)若|AB|163，求直线 l 的方程；(2)求|AB|的最小值解析(1)设直线 l 的方程为 xmy10，代入 y24x，整理得y24my40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
11、则 y1，y2 是上述关于 y 的方程的两个不同实根，y1y24m.根据抛物线的定义知|AB|x1x22(1my1)(1my2)24(m21)若|AB|163，则 4(m21)163，m 33，即直线 l 有两条，其方程分别为 x 33 y10，x 33 y10.(2)解法一：由(1)知|AB|4(m21)4，当且仅当 m0 时，|AB|有最小值 4.解法二：由|AB|2psin2可得：|AB|4sin2(其中 为直线 l 的倾斜角)|AB|4(当 sin1 时)|AB|的最小值为 4.变式迁移 3过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果 x1x
12、26，那么|AB|()A10 B8C6 D4答案 B解析 由ykx1y24xk2x22(k22)xk20 x1x22k22k26k1.|AB|2(1k2)(x1x2)264|AB|8.题型四 抛物线的性质例 4 设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，经过 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴，证明：直线 AC 经过原点分析 要证明直线 AC 经过原点，可以设出直线 AB 的方程，求出 A、B 的坐标，然后求出直线 AC 的方程，再说明直线 AC 过原点解析 证法一：由题意知抛物线的焦点 F(p2，0)，故可设过焦点 F 的直线 AB 的方程为 xmy
13、p2，由xmyp2，y22px消去 x 得 y22pmyp20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y2p2.C 点坐标为(p2，y2)于是直线 AC 的方程为 yy1y2y1 xx1p2x1，要证明 AC 过原点，只需证明0y1y2y10 x1p2x1，即证p2y1x1y2.又 y212px1，y1y2p2 知上式成立，故直线 AC 经过原点证法二：同上得 y1y2p2.又BCx 轴，且 C 在准线 xp2上，C 点坐标为(p2，y2)于是 kOC y2p22py1y1x1kOA.知 A、O、C 三点共线，从而直线 AC 经过原点证法三：如图，设 x 轴与抛物线准线 l 交于点
14、E，过 A 作 ADl，D 是垂足，则 ADFEBC，连结 AC 交 EF 于点 N，则|EN|AD|BF|AB|，|NF|BC|AF|AB|，又根据抛物线的几何性质，|AF|AD|，|BF|BC|，|EN|AF|BC|AB|NF|.因此点 N 是 EF 的中点，即 N 与原点 O 重合，直线 AC 经过原点 O.点评 本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质数形结合，更为巧妙.变式迁移 4过抛物线 y2x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，且A、B 在直线 x14上的射影分别是 M、N，则
15、MFN 等于()A45 B60C90 D以上都不对答案 C解析 因为直线 x14是抛物线 y2x的准线，且|AM|AF|，|BF|BN|，MABABN180，2AFM2BFN180，AFMBFN90即可得MFN90.【教师备课资源】题型五 与中点弦有关的问题例 5 已知抛物线 y26x，过点 P(4,1)引一弦，使它恰好被点 P平分，求这条弦所在的直线方程解析 解法一：设所求方程为y1k(x4)(k0)由方程组y26x，y1kx4，得 ky26y24k60.设 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则y1y26k.P(4,1)是线段 P1P2 的中点，6k2，k3.所求直线方程为 y13(x
16、4)，即 3xy110.解法二：设弦与抛物线的交点为 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则 y216x1，y226x2，y21y22(y1y2)(y1y2)6(x1x2)由题意知 y1y22，ky1y2x1x23.又直线过点 P(4,1)，弦所在直线方程为 y13(x4)，即 3xy110.变式迁移 5抛物线 yx2 的一组斜率为 2 的平行弦中点的轨迹是()A圆 B椭圆C抛物线 D射线(不含端点)答案 D解析 设斜率为 2 的弦与抛物线的交点为 A(x1，y1)、B(x2，y2)，其中点为 P(x，y)，则有x21y1，x22y2，x1x22x，y1y22y.由并整理，得y2y1x2x
17、1x1x2.又 kAB2，且结合.变为 x1.由于弦的中点必在抛物线的内部，且当 x1 时，y1，抛物线开口向上，所以这些平行弦的中点轨迹方程是 x1(y1)其轨迹则是去掉端点的一条射线故选 D.题型六 抛物线的实际应用例 6 河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5m 时，水面宽为8m，一小船宽 4m，高 2m，载货后船露出水面上的部分高34m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船不能通航？分析 当小船上货物两侧与抛物线拱顶接触时，船不能通航由于抛物线与小船均是轴对称图形，可设出公共对称轴建立抛物线方程，将已知数据转化为点的坐标求解解析 如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为 x22py
18、(p0)由题意 B(4，5)代入方程得 p1.6.x23.2y.当船两侧和抛物线相接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则 A(2，yA)由 223.2yA，得 yA54.又知船面露出水面上部分为34m，h|yA|342(m)答：水面上涨到距抛物线拱顶 2m 时，小船开始不能通航点评 建立坐标系，合理建立抛物线的位置模型，从而确定抛物线方程是建模的关键，选择抛物线模型要符合真实、合理、方便的原则.变式迁移 6某校要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个高为 1.25 m 的柱子 OA，从其顶端 A 处的喷头向周围各个方向喷水，水流呈抛物线路径落下(如图)已知在距离 OA 的 1 m
19、 处，喷水达到最大高度 2.25 m，如果不计其它因素，水池半径至少要多少 m 才能使喷水不致落到池外？解析 建立坐标系，建立合理的曲线模型，进行解决以 A 为原点，OA 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系根据题意设右边抛物线方程为 yax(x2)，将(1,1)代入得 a1抛物线方程为 yx22x令 y1.25 得 x12.5，x212(舍去)答：水池半径至少 2.5 m 才能使喷水不致落到池外.方 法 路 路 通1椭圆、双曲线、抛物线的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数叫做离心率，用 e 表示当 0e1 时，是椭
20、圆；当 e1 时，是双曲线；当 e1时，是抛物线2求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法3凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算4解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质5与学习椭圆、双曲线一样，解决有关问题时，常用抛物线的定义、焦半径、焦点弦、通径、弦长等概念；常使用两点间的距离公式，点到直线的距离公式，弦长公式等；常用待定系数法，配方法等数学方法以及函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，分类讨论等数学思想.正 误 题 题 辨例抛物线 y8x2 的焦点坐标是()A(2,0)B(0,2)C(0，132)D(132，0)错解 由 2p8，得 p4，所以抛物线的焦点是(2,0)，故选 A.点击 y8x2 不是抛物线的标准方程，应先把它化成标准方程x218y，再求解，上述错解忽略了这一点正解 把 y8x2 化成标准方程 x218y，则 2p18，得p2 132.又抛物线的焦点在 y 轴的正半轴上，所以焦点坐标为(0，132)故选 C.答案 CTHANKS
