1、天水市一中20192020学年度第一学期期末考试试卷数学（理）一、选择题（每小题3分，共36分）1.已知，则的最小值为（ ）A. 2B. 1C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】将的表达式构造成可以利用基本不等式求解最小值的形式.【详解】因为，所以，取等号时即，故选C.【点睛】形如形式的函数，可利用基本不等式求解函数最小值：，取等号时有：.2.若，则的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求得函数定义域，然后求导，令导数大于零求得的取值范围.【详解】函数的定义域为，当时，.故选C.【点睛】本小题主要考查函数的导数，考查一元二次不等式的解法.在求函数导数前，要注意求函
2、数的定义域.属于基础题.3.若命题，则命题的否定为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【详解】解：命题为全称命题，则命题的否定为：，故选【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题4.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据焦点在轴上推出，且，解不等式求得的范围【详解】由题意方程表示焦点在轴上的椭圆，可得：，并且，解得：故选【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在轴还是在轴5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱C1D1的中点，则异面直
3、线AM与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，写出A，M，B，D坐标，求出对应向量，即可求出结果【详解】解：正方体ABCD-A1B1C1D1，M为A1B1的中点，设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，A（1，0，0），M（0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），=（-1，1），=，所以异面直线AM与BD所成角的余弦值为，故选C【点睛】本题考查向量法解异面直线所成的角，中档题6.双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据渐
4、近线方程得到，由此求得双曲线离心率.【详解】由题可知，所以故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.7.已知，均为实数，则下列说法一定成立的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】利用特殊值代入法排除、，利用不等式的基本性质，可得，从而得到，从而得出结论【详解】对于，不妨令，尽管满足，但显然不满足，故错误；对于，不妨令，显然满足，但不满足，故错误；对于，不妨令，显然满足，但不满足，故错误；对于，若，则，即，故正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质与不等关系，在限定条件下，比较几个式子的大小时，用特殊值代入
5、法，能快把答案进行排除是解此类问题的常用方法8.的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用定积分公式计算得到答案.【详解】故选A【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.9.已知m是直线，是两个不同平面，且m，则m是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别判断充分性和必要性得到答案。【详解】当时，已知则，充分性；当时，已知，可以得到，故不必要；故选：【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力。10.已知抛物线的焦点F是椭圆的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相
6、交于A、B两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意画出几何图形,由椭圆和抛物线的对称性可知AB与轴交于椭圆的另一焦点,则.根据正三角形性质可得结合椭圆定义,可由勾股定理求得椭圆的离心率.【详解】由题意可知,画出几何图形如下图所示:由椭圆与抛物线的对称性可知, AB与轴交于椭圆的另一焦点,则.由椭圆定义可知,且为正三角形所以则由正三角形性质可知为直角三角形所以即,化简可得所以 故选:C【点睛】本题考查了抛物线与椭圆的标准方程与几何性质的综合应用,椭圆离心率的求法,属于中档题.11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱
7、AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF平面BB1D1D，则EF长度的范围为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】过作，交于点，交于，根据线面垂直关系和勾股定理可知；由平面可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得为中点，从而得到最小值为重合，最大值为重合，计算可得结果.【详解】过作，交于点，交于，则底面平面，平面，平面平面，又平面 平面又平面平面，平面 为中点 为中点，则为中点即在线段上，则线段长度的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判
8、定与性质等定理的应用.12.函数在上有两个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取化简得到，设，求导确定函数图像得到答案.【详解】取设，在上单调递增，上单调递减画出函数图像：根据图像知：故选B【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离转化为图像的交点问题是解题的关键.二、填空题（每小题3分，共12分）13.设满足约束条件，则最小值为_.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】由约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可知，当直线过时，有最小值为故答案为：【点睛】
9、本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题14.设抛物线上一点到轴的距离是,则点到该抛物线焦点的距离是_【答案】【解析】试题分析：如图，作垂直抛物线的准线于，则，由抛物线的定义得点到该抛物线焦点的距离考点：考查抛物线的定义及其几何性质15.记Sn为等比数列an的前n项和若，则S5=_【答案】.【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生
10、易出现运算错误16.已知是函数的切线，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据题意，设切线的坐标为（m，lnm+m），求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的方程，分析可得k1，blnm1，代入化简得到lnm1，设g（m）lnm1，求出g（m），利用函数的导数与单调性的关系，分析可得g（m）的最小值，即可得答案【详解】根据题意，直线ykx+b与函数f（x）lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m），函数f（x）lnx+x，其导数f（x）1，则f（m）1，则切线的方程为：y（lnm+m）（1）（xm），变形可得y（1）x+lnm1，又由切线的方程为ykx+b，则k1，blnm1，则2
11、k+b2+lnm1lnm1，设g（m）lnm1，其导数g（m），在区间（0，2）上，g（m）0，则g（m）lnm1为减函数，在（2，+）上，g（m）0，则g（m）lnm1为增函数，则g（m）ming（2）ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；故答案为ln2+2【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义三、解答题（前两题每题各8分，后三题每题各12分，共52分）17.已知数列为等差数列，公差，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用题目所给两个已知条件求出首项和公差，由此求得数列的通
12、项公式.（2）由（1）求得的表达式，再利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】（1）由题意可知，.又，.故数列的通项公式为.（2）由（1）可知， ，.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求解，考查裂项求和法求数列的前项和.求等差数列通项公式的题目，往往会给两个条件，将两个条件解方程组，可求得，由此可求得等差数列的通项公式.如果数列是两个等差数列乘积的倒数的形式，那么可以利用裂项求和法求得前项和.18.在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连结，证明四边形为平行四边形得到答案.（2
13、）证明平面，如图建立空间直角坐标系，平面的法向量，面的法向量，计算夹角得到答案.【详解】（1）取中点，连结，.因为为中点，所以，.因为，.所以且.所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）取中点，连结.因为，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，取中点，连结，则.以为原点，如图建立空间直角坐标系，由，则，.平面的法向量，设平面的法向量，由，得.令，则，.由图可知，二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.已知函数是的导函数， 且.(I)求的值;(II)求函数在区间上的最值.【答案】（）4；
14、（）最大值为，最小值为.【解析】【分析】(I)求出的导函数，把代入即可求解.(II)利用导数求出函数的单调区间即可求出最值. 【详解】解: (I) ， (II) 由(I)可得:，令，解得，列出表格如下:极大值极小值又所以函数在区间上的最大值为，最小值为【点睛】本题主要考查导函数求函数的最值、极值，属于基础题.20.己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点（）求椭圆的方程；（）设点，当的面积为时，求实数的值【答案】（）：y21；（）m【解析】【分析】（）根据顶点坐标、离心率和的关系可求得，从而得到椭圆方程；（）直线方程与椭圆方程联立，根据有两个交点可得，求得范围；联立后写出韦达
15、定理的形式，代入弦长公式求得，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离，从而利用构造方程解得，验证符合的即为结果.【详解】（）由题意知：，则 椭圆的方程为：（）设， 联立得：，解得：，又点到直线的距离为：，解得：【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的应用，需要注意的是联立后要利用判别式大于零确定参数的取值范围.21.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围【答案】(1) 若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减;(2) 【解析】【分析】（1）的定义域为， 对实数分情况讨论，得出单调性；（2） ，令，所以 令， ，再分情况讨论，求出实数的取值范围【详解】（1）的定义域为， 若，则恒成立，在上单调递增； 若，则由，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减综上可知：若，在上单调递增；若，上单调递增，在上单调递减 （2），令，令， 若，上单调递增，在上单调递增,，从而不符合题意 若，当，在上单调递增，从而，在上单调递增,，从而不符合题意 若，上恒成立，在上单调递减，在上单调递减,，综上所述，a的取值范围是【点睛】本题主要考查函数单调性的求法，满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时应注意导数性质的合理利用