1、2015-2016学年江苏省盐城市东台市创新学校高三（上）12月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1若集合A=（，m，B=x|2x2，且BA，则实数m的取值范围是2已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a2）x+3y+2a=0，则l1l2的充要条件是a=3已知函数，则f（1+log23）=4复数i2（12i）的实部是 5如果执行下列伪代码，则输出的值是6设函数是奇函数，则实数m的值为7已知直线过函数f（x）=sin（2x+）（其中）图象上的一个最高点，则的值为8在锐角ABC中，AB=2，BC=3，ABC的面积为，则AC的长为9已知正
2、实数a，b满足9a2+b2=1，则的最大值为10如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=4点P是DC边的中点，则的值为11若函数f（x）=lnx+ax2（a+2）x在处取得极大值，则正数a的取值范围是12设Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2am，则m=13已知数列an的前n项Sn=（1）n，若存在正整数n，使得（an1p）（anp）0成立，则实数p的取值范围是14设函数f（x）=|exe2a|，若f（x）在区间（1，3a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数a的取值范围是二、解答题（本大题6小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程
3、或演算步骤）15设向量， =（cosx，cosx），（1）若，求tanx的值；（2）求函数f（x）=的周期和函数最大值及相应x的值16已知函数（1）求f（x）的单调减区间；（2）若f（x）在区间3，4上的最小值为，求a的值17如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC，D、E分别为BC、B1C的中点（1）求证：DE平面ABB1A1；（2）求证：平面ADE平面B1BC18已知数列an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（1）求数列an的通项公式；（2）数列an和数列bn满足等式an=（nN*），求数列bn的前n项和Sn19某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控
4、制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克根据市场调查，当8x14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t8）（ x8，t0），Q=500（8x14）当P=Q时市场价格称为市场平衡价格（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？20已知函数f（x）=x33ax（aR）（1）当a=1时，求f（x）的极小值；（2）若直线x+y+m=0对任意的mR都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围；（3）设g（x）=|f
5、（x）|，x1，1，求g（x）的最大值F（a）的解析式附加题【选修4-2：矩阵与变换】21（选修42：矩阵与变换）求曲线2x22xy+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中，【选修4-4：坐标系与参数方程】22选修44：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度已知直线l的极坐标方程为cos+2sin=0，曲线C的参数方程为（是参数），又直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长23如图，在长方体ABCDA1B1C1D1 中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且EB=FB=1（1）求异面直线
6、EC1与FD1所成角的余弦值；（2）试在面A1B1C1D1 上确定一点G，使DG平面D1EF24已知（x+1）n=a0+a1（x1）+a2（x1）2+a3（x1）3+an（x1）n，（其中nN*）（1）求a0及Sn=a1+a2+a3+an；（2）试比较Sn与（n2）2n+2n2的大小，并说明理由2015-2016学年江苏省盐城市东台市创新学校高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1若集合A=（，m，B=x|2x2，且BA，则实数m的取值范围是2，+）【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】根据集合A=（，
7、m，B=x|2x2，且BA，m需满足，m2【解答】解：集合A=（，m，B=x|2x2，且BA，m2故答案为：2，+）2已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a2）x+3y+2a=0，则l1l2的充要条件是a=1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由已知中，两条直线的方程，l1：x+ay+6=0和l2：（a2）x+3y+2a=0，我们易求出他们的斜率，再根据两直线平行的充要条件，即斜率相等，截距不相等，我们即可得到答案【解答】解：直线l1：x+ay+6=0和l2：（a2）x+3y+2a=0，k1=，k2=若l1l2，则k1=k2即=解得：a=3或a=1又a=3时，两条直线重合故答案
8、为13已知函数，则f（1+log23）=【考点】对数的运算性质；函数的值【分析】根据分段函数的性质，把x=1+log23分别反复代入f（x1）直到x0，再代入相应的函数解析式，从而求解；【解答】解：1+log230，f（1+log23）=f（1+log23）1）=f（log23）log230f（log23）=f（log231），log2310f（log231）=f（log232），log2320，f（log232）=23=，故答案为4复数i2（12i）的实部是 1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】利用i的幂运算，直接化简，然后求出复数的实部【解答】解：复数i2（12i）=（
9、12i）=1+2i，所以复数的实部为1故答案为：15如果执行下列伪代码，则输出的值是13【考点】伪代码【分析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=5时，不满足条件k5，退出循环，输出S的值为13【解答】解：模拟执行程序，可得k=0满足条件k5，执行循环体，S=3，k=1，满足条件k5，执行循环体，S=，k=2，满足条件k5，执行循环体，S=，k=3，满足条件k5，执行循环体，S=，k=4，满足条件k5，执行循环体，S=13，k=5，不满足条件k5，退出循环，输出S的值为13故答案为：136设函数是奇函数，则实数m的值为1【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据奇函数的定义，可
10、得f（x）=f（x），结合函数解析和对数的运算性质，可得答案【解答】解：函数是奇函数，f（x）=f（x），即=，即+=lg=lg（1+（m1）x2）=0，即1+（m1）x2=1，故m=1，故答案为：17已知直线过函数f（x）=sin（2x+）（其中）图象上的一个最高点，则的值为1【考点】正弦函数的图象【分析】首先，根据已知条件，得到该函数解析式，然后，再求解即可【解答】解：直线过函数f（x）=sin（2x+）（其中）图象上的一个最高点，sin（2+）=1，=，f（x）=sin（2x），f（）=sin（2）=sin=1故答案为：18在锐角ABC中，AB=2，BC=3，ABC的面积为，则AC的长为
11、【考点】正弦定理【分析】由题意及三角形面积公式可得： =23sinB，解得sinB，又B为锐角，可求cosB，由余弦定理即可求得AC的值【解答】解：AB=2，BC=3，ABC的面积为，由三角形面积公式可得： =23sinB，解得：sinB=，又B为锐角，可得：cosB=，由余弦定理可得：AC=故答案为：9已知正实数a，b满足9a2+b2=1，则的最大值为【考点】基本不等式；椭圆的简单性质【分析】利用（x，y0）即可得出【解答】解：正实数a，b满足9a2+b2=1，=，当且仅当=时取等号的最大值为故答案为：10如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=4点P是DC边的中点，则的值为7【考点】
12、平面向量数量积的运算【分析】把中的两个向量用基底表示，展开后得答案【解答】解：AB=6，AD=4，=故答案为：711若函数f（x）=lnx+ax2（a+2）x在处取得极大值，则正数a的取值范围是（0，2）【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，结合已知条件，判断即可【解答】解：f（x）的定义域是（0，+），f（x）=+2ax（a+2）=，a0时，ax10，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：0x，故是函数的极小值点，不合题意，0a2时，令f（x）0，解得：x或x，令f（x）0，解得：x，f（x）在（0，）递增，在
13、（，）递减，在（，+）递增，函数f（x）在处取得极大值，符合题意，a=2时，f（x）0，f（x）递增，无极值，a2时，令f（x）0，解得：x或x，令f（x）0，解得：x，f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+）递增，函数f（x）在x=处取得极大值，不符合题意，综上，a（0，2），故答案为：（0，2）12设Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2am，则m=8【考点】等差数列的性质；等比数列的通项公式【分析】由S3，S9，S6成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用等比数列的前n项和公式化简，得到关于q的关系式，再利用等比数列的性质化简a2+a5=
14、2am的左右两边，将得到的关于q的关系式整理后代入，即可得出m的值【解答】解：Sn是等比数列an的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，2S9=S3+S6，即=+，整理得：2（1q9）=1q3+1q6，即1+q3=2q6，又a2+a5=a1q+a1q4=a1q（1+q3）=2a1q7，2am=2a1qm1，且a2+a5=2am，2a1q7=2a1qm1，即m1=7，则m=8故答案为：813已知数列an的前n项Sn=（1）n，若存在正整数n，使得（an1p）（anp）0成立，则实数p的取值范围是【考点】数列的求和【分析】Sn=（1）n，可得：当n=1时，a1=1；当n2时，an=SnSn1若存
15、在正整数n，使得（an1p）（anp）0成立，当n=2时，（a1p）（a2p）0，解得p范围当n3时， 0，对n分类讨论即可得出【解答】解：Sn=（1）n，当n=1时，a1=1；当n2时，an=SnSn1=（1）n（1）n1=，若存在正整数n，使得（an1p）（anp）0成立，当n=2时，（a1p）（a2p）=（1p）0，解得当n3时， 0，当n=2k时， 0，=0p可得：p当n=2k1时， 0，p，p综上可得：实数p的取值范围是1p故答案为：14设函数f（x）=|exe2a|，若f（x）在区间（1，3a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数a的取值范围是（，）【考点】利用导数
16、研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数f（x）的表达式，利用数形结合，结合导数的几何意义进行求解即可【解答】解：当x2a时，f（x）=|exe2a|=exe2a，此时为增函数，当x2a时，f（x）=|exe2a|=ex+e2a，此时为减函数，即当x=2a时，函数取得最小值0，设两个切点为M（x1，f（x1），N（x2，f（x2），由图象知，当两个切线垂直时，必有，x12ax2，即12a3a，得a1，k1k2=f（x1）f（x2）=1，则=1，即x1+x2=0，1x10，0x21，且x22a，2a1，解得a，综上a，故答案为：（，）二、解答题（本大题6小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或
17、演算步骤）15设向量， =（cosx，cosx），（1）若，求tanx的值；（2）求函数f（x）=的周期和函数最大值及相应x的值【考点】正弦函数的定义域和值域；平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法【分析】（1）利用的充要条件得到，化简求出tanx的值；（2）利用向量的数量积公式求出f（x）的解析式，利用两个角和的正弦公式及二倍角公式化简f（x），利用周期公式求出周期；利用整体角处理的思路求出函数的最大值【解答】解：（1），cosx0，（2）f（x）=，当，即时，f（x）取得最大值，最大值为16已知函数（1）
18、求f（x）的单调减区间；（2）若f（x）在区间3，4上的最小值为，求a的值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）先求导函数，利用导数小于0，解不等式可求f（x）的单调减区间；（2）由（1）可知函数的极值点，从而确定函数f（x）在区间3，4上的单调性，将极小值与函数的端点函数值比较，即可求出f（x）在3，4上的最小值，由此可求a的值【解答】解：（1）f（x）=x2+2x+3，令f（x）0，则x2+2x+30解得：x1或x3函数f（x）的单调减区间为（，1）和（3，+） （2）列表如下：x3（3，1）1（1，3）3（3，4）4f（x）0+0f（x）f（x）在（
19、3，1）和（3，4）上分别是减函数，在（1，3）上是增函数 又，f（1）f（4）f（1）是f（x）在3，4上的最小值解得a=417如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC，D、E分别为BC、B1C的中点（1）求证：DE平面ABB1A1；（2）求证：平面ADE平面B1BC【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定【分析】（1）利用三角形的中位线的性质证明线面平行（2）利用直三棱柱的性质证明BB1AD，利用等腰三角形的性质证明ADBC，从而证明AD平面B1BC【解答】证明：（1）在CBB1中，D、E分别为BC、B1C的中点，DEBB1又BB1平面ABB1A1，DE平面ABB1A1所
20、以DE平面ABB1A1 （2）在直三棱柱ABCA1B1C1，BB1平面ABC，AD平面ABC，BB1AD 在ABC中，AB=AC，D为BC的中点，ADBC BB1BC=B，BB1、BC平面B1BC，AD平面B1BC又AD平面ADE平面ADE平面B1BC 18已知数列an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（1）求数列an的通项公式；（2）数列an和数列bn满足等式an=（nN*），求数列bn的前n项和Sn【考点】等差数列的通项公式；数列的求和【分析】（1）设等差数列an的公差为d，分别表示出a2a6=55，a2+a7=16联立方程求得d和a1进而根据等差数列通项公
21、式求得an（2）令cn=，则有an=c1+c2+cn，an+1=c1+c2+cn+1两式相减得cn+1等于常数2，进而可得bn，进而根据b1=2a1求得b1则数列bn通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b1【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，则依题意可知d0由a2+a7=16，得2a1+7d=16由a3a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55由联立方程求得得d=2，a1=1或d=2，a1=（排除）an=1+（n1）2=2n1（2）令cn=，则有an=c1+c2+cnan+1=c1+c2+cn+1两式相减得an+1an=cn+1，由（1）得a1=1，an
22、+1an=2cn+1=2，即cn=2（n2），即当n2时，bn=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2bn=于是Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24+2n+1=2n+26，n2，19某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克根据市场调查，当8x14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t8）（ x8，t0），Q=500（8x14）当P=Q时市场价格称为市场平衡价格（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不
23、高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？【考点】根据实际问题选择函数类型【分析】本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法p=Q得到方程，当根的判别式0时，方程有解，求出解可得函数然后0，原题t0，8x14以及二次根式自变量取值范围得t的另一范围，联立得两个不等式组，求出解集可得自变量取值范围第二小题，价格不高于10元，得x10，求出t的取值范围【解答】解：（1）依题设有1000（x+t8）=500，化简得5x2+（8t80）x+（4t264t+280）=0当判别式=80016t20时，可得x=8由0，t0，8x14，得不等式组：解不等式组，得0t，不等式组无解故所求的函数关系
24、式为函数的定义域为0，（2）为使x10，应有810化简得t2+4t50解得t1或t5，由t0知t1从而政府补贴至少为每千克1元20已知函数f（x）=x33ax（aR）（1）当a=1时，求f（x）的极小值；（2）若直线x+y+m=0对任意的mR都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围；（3）设g（x）=|f（x）|，x1，1，求g（x）的最大值F（a）的解析式【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义【分析】（1）由f（x）=x33ax，得f（x）=3x23a，当f（x）0，f（x）0时，分别得到f（x）的单调递增区间、单调递减区间，由此可以得到极小值为f（1）=2（2）要使直线x+y
25、+m=0对任意的mR都不是曲线y=f（x）的切线，只需令直线的斜率1小于f（x）的切线的最小值即可，也就是13a（3）由已知易得g（x）为1，1上的偶函数，只需求在0，1上的最大值F（a）有必要对a进行讨论：当a0时，f（x）0，得F（a）=f（1）=13a；当a1时，f（x）0，且f（x）在0，1上单调递减，得g（x）=f（x），则F（a）=f（1）=3a1；当0a1时，得f（x）在0，上单调递减，在，1上单调递增当f（1）0时，f（x）0，所以得g（x）=f（x），F（a）=f（）=2a，当f（1）0，需要g（x）在x=处的极值与f（1）进行比较大小，分别求出a的取值范围，即综上所述求出F
26、（a）的解析式【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=3x23，令f（x）=0，得x=1或x=1，当f（x）0，即x（1，1）时，f（x）为减函数；当f（x）0，即x（，1，或x1，+）时，f（x）为增函数f（x）在（1，1）上单调递减，在（，1，1，+）上单调递增f（x）的极小值是f（1）=2（2）f（x）=3x23a3a，要使直线x+y+m=0对任意的mR都不是曲线y=f（x）的切线，当且仅当13a时成立，（3）因g（x）=|f（x）|=|x33ax|在1，1上是偶函数，故只要求在0，1上的最大值当a0时，f（x）0，f（x）在0，1上单调递增且f（0）=0，g（x）=f（x），F（a）=
27、f（1）=13a当a0时，（）当时，g（x）=|f（x）|=f（x），f（x）在0，1上单调递增，此时F（a）=f（1）=3a1（）当时，当f（x）0，即x或x时，f（x）单调递增；当f（x）0，即x时，f（x）单调递减所以，在单调递增1当时，；2当（）当（）当综上所述附加题【选修4-2：矩阵与变换】21（选修42：矩阵与变换）求曲线2x22xy+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中，【考点】几种特殊的矩阵变换【分析】由已知中，可得MN，P（x，y）是曲线2x22xy+1=0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P（x，y），则有=，得到x=x，y=x+，代入曲线2x22
28、xy+1=0可得变换后的曲线方程【解答】解：，MN=，设P（x，y）是曲线2x22xy+1=0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P（x，y），则有=于是x=x，y=x+代入2x22xy+1=0得xy=1，所以曲线2x22xy+1=0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy=1 所以曲线2x22xy+1=0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy=1【选修4-4：坐标系与参数方程】22选修44：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度已知直线l的极坐标方程为cos+2sin=0，曲线C的参数方程为（是参数），又直线l与曲线C交于
29、A，B两点，求线段AB的长【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】把两曲线化为普通方程，分别得到直线与圆的方程，联立直线与圆的解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，求出交点A与B的坐标，利用弦长公式求出弦AB的长度【解答】解：直线l的直角坐标方程为x+2y=0，曲线C的普通方程为两者联立解得A和B的坐标为：和线段AB的长23如图，在长方体ABCDA1B1C1D1 中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且EB=FB=1（1）求异面直线EC1与FD1所成角的余弦值；（2）试在面A1B1C1D1 上确定一点G，使DG平面D1EF【考点】用空间向
30、量求直线间的夹角、距离；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算【分析】（1）以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系Axyz，写出要用的点的坐标，把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角（2）因为点G在平面A1B1C1D1 上，故可设G（x，y，2）根据线面垂直，则直线的方向向量与平面内任一线段对应的向量均垂直，可构造关于x，y的方程组，解方程组可得G点位置【解答】解：（1）以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D1（0，0，2），C1（0，4，2），E（3，3，0），F（2，4，0），于是=（3，1，2），=
31、（2，4，2），设设EC1与FD1所成角为，则cos=异面直线EC1与FD1所成角的余弦值为（2）因为点G在平面A1B1C1D1 上，故可设G（x，y，2）=（x，y，2），=（2，4，2），=（1，1，0）由得解得故当点G在平面A1B1C1D1 上，且到A1d1，C1D1 距离均为时，DG平面D1EF24已知（x+1）n=a0+a1（x1）+a2（x1）2+a3（x1）3+an（x1）n，（其中nN*）（1）求a0及Sn=a1+a2+a3+an；（2）试比较Sn与（n2）2n+2n2的大小，并说明理由【考点】二项式定理的应用；数学归纳法【分析】（1）通过对x取1，2求出a0及Sn（2）先通过
32、不完全归纳猜出两者的大小，然后用数学归纳法证明注意三歩：第一步证基础第二步证递推关系第三歩总结【解答】解：（1）取x=1，则a0=2n；取x=2，则a0+a1+a2+a3+an=3n，Sn=a1+a2+a3+an=3n2n；（2）要比较Sn与（n2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n1）2n+2n2的大小，当n=1时，3n（n1）2n+2n2；当n=2，3时，3n（n1）2n+2n2；当n=4，5时，3n（n1）2n+2n2；猜想：当n4时，3n（n1）2n+2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4时结论成立，假设当n=k，（k4）时结论成立，即3k（k1）2k+2k2，两边同乘以3得：3k+13（k1）2k+2k2=k2k+1+2（k+1）2+（k3）2k+4k24k2而（k3）2k+4k24k2=（k3）2k+4（k2k2）+6=（k3）2k+4（k2）（k+1）+603k+1（k+1）1）2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立，当n4时，3n（n1）2n+2n2成立综上得，当n=1时，Sn（n2）2n+2n2；当n=2，3时，Sn（n2）2n+2n2；当n4，nN*时，Sn（n2）2n+2n22016年11月7日