1、考 点 串 串 讲1二项式定理对 nN*，(ab)nC0nanC1nan1bCrnanrbrCn1nabn1Cnnbn.(1)展开式的第 r1 项(通项)Tr1Crnanrbr.其中 Crn(r0,1,2，n)叫做二项式系数(2)二项式系数与项的系数是不同的，如(abx)n(a、bR)的展开式中，第 r1 项的二项式系数是 Crn，而第 r1 项的系数为 Crnanrbr.(3)通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数在运用公式时要注意以下几点：Cknankbk 是第 k1 项，而不是第 k 项；运用通项公式 Tk1Cknankbk 解题，一般都需先转化为方
2、程(组)求出 n、k，然后代入通项公式求解求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出 k，再求所需的某项；有时需先求 n，计算时要注意 n 和 k 的取值范围及它们之间的大小关系(4)二项式(ab)n 的展开式有 n1 项，是和的形式，各项的幂指数规律是：各项的次数和都等于二项式的幂指数 n；字母 a按降幂排列，从第一项起，次数由 n 逐项减 1 直到 0，字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由 0 逐项加 1 直到 n.(5)二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值(既然任意的实数 a，b 都成立，那么特殊的实数
3、a，b 也一定成立)，根据需要对 a，b 赋值可以利用二项式定理解决一些特殊问题，如求所有项的系数和等(6)(ab)n 与(ba)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，(ab)n 的展开式的第 r1 项 Crnanrbr 和(ba)n 的展开式的第 r1 项 Crnbnrar 是有区别的应用二项式定理时，其中的 a和 b 是不能随便交换的(7)二项式定理中，二项式系数的性质有在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C0nCnn，C1nCn1n，C2nCn2n，CrnCnrn.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间
4、两项的二项式系数相等并且最大二项式系数的和等于 2n，即C0nC1nC2nCnn2n.二项式展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和，即C1nC3nC5nC0nC2nC4n2n1.2二项式中的最值问题求(abx)n 展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，设展开式各项系数分别为 A1，A2，An1 设第 r1 项系数最大，则Ar1Ar，Ar1Ar2.求二项式中最大最小项问题，通常是应用二项展开式的通项公式，将设出的最大(小)项和前项、后项作商比较，从而确定出 r，使问题得以解决3二项式定理的主要应用(1)赋值求值；(2)证明某些整除问题或求余数；(3)证明有关等式与不等式；(4)进行近似计算.
5、典 例 对 对 碰题型一 求二项式系数和展开式中项的系数例 1 已知二项式(3 x 23x)10.(1)求展开式第四项的二项式系数；(2)求展开式第四项的系数；(3)求第四项解析(3 x 23x)10 的展开式的通项是 Tr 1Cr10(3 x)10r(23x)r(r0,1，10)(1)展开式的第 4 项的二项式系数为(r3)C310120.(2)展开式的第 4 项的系数为C31037(23)377760.(3)展开式的第 4 项为77760(x)7 1x3，即77760 x.点评 要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关
6、，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.变式迁移 1(1x3)(x1x2)6 展开式中的常数项为_答案 35解析(x 1x2)6C06x6C16x5(1x2)C26x4(1x2)2C36x3(1x2)3C46x2(1x2)4C56x(1x2)5C66(1x2)6，(1x3)(x 1x2)6 中的常数项为 C26x320 1x335.题型二 多项式转化为二项式例 2 若(x1x2)n 的展开式中常数项为20，则自然数 n_.解析 当 x0 或 x0 时，原式可化成二项式当 x0 时，(x1x2)n(x 1x)2n 的常数项为(1)nCn2n；当 x0 时，(x1x2)n(1)n(
7、x1x)2n 的常数项为(1)nCn2n.由条件知，(1)nCn2n20，解得 n3.答案 3变式迁移 2求(42xx2)(2x)7 的展开式中 x5 的系数解析(42xx2)(2x)7(8x3)(x2)6(8x3)(x6)2C16x5(2)2C26x4(2)3C36x3(2)4C46x2含 x5 的项为28C16x5(2)4C46x5336x5，x5 的系数为336.题型三 二项式中的最值问题例 3 求(2x)10 的展开式中系数最大的项解析 设第 r1 项的系数最大，则有Cr10210rCr110 211r，Cr10210rCr110 29r.即10！r！10r！210r10！r1！11r
8、！211r，10！r！10r！210r10！r1！9r！29r.即1r211r，210r 1r1.r113，r83.r3 时，T4C31027x3 为所求的系数最大的项点评 求系数最大的项应注意与不等式相联系，同时还应重视整数解的寻找解题时要审清题意，搞清所求最大项是指数值最大项，还是系数最大项，还是二项式系数最大的项.变式迁移 3求(1 2)50 的展开式中数值最大的项解析 设第 r1 项是(1 2)50 展开式中数值最大的项，则有Tr1Tr 1，Tr2Tr11，即 Cr50 2rCr150 2r11，Cr150 2r1Cr50 2r 150r1r 21，50rr1 21，解之得r10251
9、 2，r10151 2.28.88r29.88，r29.展开式中数值最大项是 T30C2950(2)29.题型四 赋值法例 4 设(2 3x)100a0a1xa2x2a100 x100 求下列各式的值：(1)a0；(2)a1a2a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2.分析(1)可由通项公式来求(2)可由展开式，令 x 取特殊值 1 便可得 a0a1a100 的值，再由 a0 已求，便可求出 a1a2a3a100；(3)可分别令 x1 和1，列出两个等式来求(4)由(3)便可求出解析(1)由(2 3x)100 展开式中的常数项为C01002100，即
10、 a02100，或令 x0，则展开式可化为 a02100.(2)令 x1，可得a0a1a2a100(2 3)100，a1a2a100(2 3)1002100.(3)令 x1，可得a0a1a2a3a100(2 3)100，与 x1 所得到的联立相减可得，a1a3a992 31002 31002.(4)原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100)(2 3)100(2 3)1001.点评“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值解决问题
11、时要避免漏项等情况.变式迁移 4已知(3x1)7a0 x7a1x6a6xa7.(1)求 a0a1a2a7 的值；(2)求|a0|a1|a2|a7|的值；(3)求 a1a3a5a7 的值解析(1)令 x1，得 a0a1a7(311)727128.(2)易知 a1，a3，a5，a7 为负值，|a0|a1|a2|a7|a0a1a2a7(a0a1a2a7)3(1)1747.(3)令 f(x)(3x1)7，则f(1)a0a1a2a3a7，f(1)a0a1a2a7.2(a1a3a5a7)f(1)f(1)2747.a1a3a5a7262138128.【教师备课资源】题型五 整除与余数问题例 5(1)求证：1
12、22225n1 能被 31 整除(nN*)；(2)求 SC127C227C2727除以 9 的余数分析 将已知的式子适当整理化简，再根据题目的要求选择合适的解法解析(1)证明：122225n125n12125n132n1(311)n1C0n31nC1n31n2Cn1n31Cnn131(C0n31n1C1n31n1Cn1n)，显然上式括号内为整数原式能被 31 整除(2)SC127C227C27272271891(91)91C0999C1998C899C9919(C0998C1997C89)29(C0998C1997C891)7.显然上式括号内的数是正整数故 S 被 9 除的余数为 7.点评 有
13、关整除性问题是二项式定理的应用之一，其关键在于如何把问题转化为一个二项式，注意结合二项式的展开式和整除的有关性质解决问题.变式迁移 5求 1090 除以 7 的余数解析 解法一：109010045(982)45它的展开式中除末项外，均能被 7 整除，其末项为：245815(71)15其展开式除末项外，均能被 7 整除，末项为 1，所以 1090 除以 7 余 1.解法二：1090100030(14371)30.它的展开式中除末项外，均能被 7 整除，其末项为 1，故余数为 1.题型六 证明不等式例 6 求证：2(11n)n3(nN*)证明 当 n1 时，(11n)n2.当 n2 时，(11n)
14、n1C1n1nC2n(1n)2Cnn(1n)n11C2n 1n2Cnn 1nn2.又 Ckn 1nknn1nk1k！nk 1k！，所以(11n)n2 12！13！1n！2 112 1231n1n2(112)(1213)(1n11n)31n3，综上有 2(11n)n3.点评 此不等式的证明中，利用二项式定理，将二项式展开，再采用放缩法和其他有关知识，将不等式证明到底.变式迁移 6求证：3n(n2)2n1(nN*，且 n2)证明 因为 nN*，且 n2.所以 3n(21)n 展开至少有四项(21)n2nC1n2n1Cn1n212nn2n12n12nn2n1(n2)2n1所以 3n(n2)2n1.题
15、型七 近似计算例 7 某地现有耕地 10000 公顷，规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%，人均粮食占有量比现在提高 10%，如果人口增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到 1 公顷)?解析 设耕地平均每年至多减少 x 公顷，又设该地区人口为 P个人，粮食单产为 M 吨/公顷依题意，得M122%10410 xP11%10M104P(110%)，化简，得 x10311.110.01101.2210311.110.01101.221031 1.11.22(1C1100.01C2100.012)103(1 1.11.221.1045)4.1.x4(公顷)答：按规划该地区耕地
16、平均每年至多只能减少 4 公顷点评 此题由于精确度的原因都未用公式(1a)n1na，当这个近似数与前面的系数相乘时，不能影响精确度.变式迁移 7用二项式定理计算 9.985 精确到 1 的近似值是()A99000 B99002C99004 D99005答案 C解析 9.985(100.02)5C05105C151040.02C251030.022C351020.0231000001000499004.方 法 路 路 通1有些三项式展开式问题可以通过变形二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏2对于二项式系数问题首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是
17、解决二项式系数问题的一个重要手段3近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项4用二项式定理证明整除性问题，一般将被除式变为有关除式的二项式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决5利用二项式定理证明不等式时，设计将待证的不等式用二项式定理展开成较简单的表达式，对高次可考虑用放缩法处理.正 误 题 题 辨例若 x13，则(23x)10 展开式中最大项的项数是哪一项？其值等于多少？错 解 由 n 10，最 大 项 是 第 6 项，即 T5 1 T6C510(313)5258064点击 上述解法错误地理解为求“最大系数的项”实际上，x13时展开式中每一项是有理数，问题在于求数值最大的项正解 设最大项为 Tk1 则Tk1TkTk1Tk2Ck103xk210kCk110 3xk1211kCk103xk210kCk110 3xk1211kCk10210kCk110 211kCk10210kCk110 29k10！k！10k！210k10！k1！11k！211k10！k！10k！210k10！k1！9k！29k k113k83 83k113k3.则展开式中最大项为 T31，即第四项 T4C3102715360.THANKS
