1、2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养1掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念(重点)2掌握抛物线的标准方程及其推导过程(易错点)3明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题(难点)1通过抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养2通过抛物线定义及标准方程的应用，培养学生的直观想象、数学建模等核心素养1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？提示点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线2抛物线的标准方程图形标准方程
2、焦点坐标准线方程y22px(p0)Fxy22px(p0)Fxx22py(p0)Fyx22py(p0)Fy思考2：(1)抛物线方程中p(p0)的几何意义是什么？(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？提示(1)p的几何意义是焦点到准线的距离(2)根据抛物线方程中一次式2px，2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上1抛物线x28y0的焦点坐标是()A(0,2)B(0，2)C(0,4) D(0，4)B抛物线x28y的焦点在y轴的负半轴上，且2，因此焦点坐标是(0，2)2抛物线y28x的焦点到准线的距离是()A1 B2 C4 D8C
3、由y28x得p4，即焦点到准线的距离为43抛物线x4y2的准线方程是()Ay By1Cx DxC由x4y2得y2x，故准线方程为x4抛物线y212x上与焦点的距离等于9的点的坐标是_(6,6)或(6，6)由y212x知p6，准线方程为x3，设抛物线上点P(x，y)，由抛物线定义可知x39，x6，将x6代入y212x，得y6，所以满足条件的点为(6,6)或(6，6)求抛物线的标准方程【例1】根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；(3)经过点(3，1)；(4)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点思路探究：(1)(2) (3) (4)解
4、(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且，则p，所以所求抛物线的标准方程为x2y(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y和x210y(3)点(3，1)在第三象限，设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0)若抛物线的标准方程为y22px(p0)，则由(1)22p(3)，解得p；若抛物线的标准方程为x22py(p0)，则由(3)22p(1)，解得p所求抛物线的标准方程为y2x或x29y(4)对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，抛物线的
5、焦点为(0，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时，3，p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，4，p8，此时抛物线的标准方程为y216x所求抛物线的标准方程为x212y或y216x1用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程间的对应关系(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2mx或x2ny，这样可以减少讨论情况的个数(3)注意p与的几何意义1若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2B3C4 D8答案D抛物线的定义的应用【例2】(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，
6、3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程；(2)已知抛物线y24x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标；(3)已知动圆M与直线y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，求动圆圆心M的轨迹方程思路探究：(1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m和准线方程(2)利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离(3)利用|MC|的长度比点M到直线y2的距离大1求解解(1)设所求抛物线方程为x22py(p0)，由35得p4，因此抛物线方程为x28y，其准线方程为y2，由m224得m2(2)如图，作PNl于N(l为准线
7、)，作ABl于B，则|PA|PF|PA|PN|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号(|PA|PF|)min|AB|415此时yP2，代入抛物线得xP1，P(1,2)(3)设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到圆心C(0，3)的距离与直线y3的距离相等由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的
8、两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.2(1)已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()AB3C DA由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可得，点P到准线x的距离d|PF|，易知点A(0,2)在抛物线y22x的外部，连接AF，交y22x于点P，欲使所求距离之和最小，只需A，P，F共线，其最小值为|AF| (2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大求点M的轨迹方程解由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线
9、l：x的距离相等由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y22px(p0)的形式，而，所以p1,2p2，故点M的轨迹方程为y22x(x0)抛物线的实际应用探究问题已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？提示以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系【例3】河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？思路探究：解如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x22py(p0)，由题意，将B(4，5)代入方程得p，抛物线方程为
10、x2y 当船的两侧和拱桥接触时船不能通航设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h|yA|2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航求抛物线实际应用的五个步骤(1)建立适当的坐标系.(2)设出合适的抛物线标准方程.(3)通过计算求出抛物线的标准方程.(4)求出需要求出的量.(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题.3某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线型，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船
11、在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升004米若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？解如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，2)设桥孔上部抛物线方程是x22py(p0)，则1022p(2)，所以p25，所以抛物线方程为x250y，即yx2若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x8时，y82128，即船体在x8之间通过，B(8，128)，此时B点距水面6(128)472(米)而船体高为5米，所以无法通行又因为5472028(米)，0
12、280047，15071 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现在状况下不能通过桥孔1焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点为F，准线方程为x；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点为F，准线方程为y2设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径若M(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|x03对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离
13、，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题1已知A为抛物线C：y22px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()A2B3C6D9C法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y18p又点A到焦点的距离为12，所以12，所以18p122，即p236p2520，解得p42(舍去)或p6故选C法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以129，解得p6故选C2已知抛物线ymx2(m0)的焦点与椭圆1的一个焦点重合，则m的值为_将抛物线ymx2(m0)的方程化为标准方程是x2
14、y，所以其焦点是，因为抛物线ymx2(m0)的焦点与椭圆1的一个焦点重合，因此2，解得m3已知抛物线y22px(p0)的焦点F1，若点A(2，4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为_4把点(2，4)代入抛物线y22px，得164p，即p4，从而抛物线的焦点为(2,0)故点A到焦点的距离为44求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3x5y360上的抛物线方程解因为焦点在直线3x5y360上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以焦点A的坐标为(12,0)或设抛物线方程为y22px(p0)，求得p24，所以此抛物线方程为y248x；设抛物线方程为x22py(p0)，求得p，所以此抛物线方程为x2y综上所求抛物线方程为y248x或x2y
