1、选修 45 不等式选讲第2讲不等式的证明基础知识整合1比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种名称作差比较法作商比较法理论依据abab0abab0，1abb1ab适用类型适用于具有多项式特征的不等式的证明主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明证明步骤作差变形判断符号得出结论作商变形判断与1的大小关系得出结论2综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法综合法又叫由因导果法3分析法证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(
2、定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法4反证法证明命题时先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法5放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法6平均值不等式如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立7柯西不等式(1)二维形式的柯西
3、不等式定理1若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立(2)柯西不等式的向量形式定理2设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立1作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构2如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法3高考命题专家说：“放缩是一种能力”如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！1已知0a，且M，N，则M，N的大小关系
4、是()AMN CMN D不确定答案B解析由已知得0ab0.故MN.2若|ac|b|，则下列不等式中正确的是()AacbC|a|b|c| D|a|b|c|答案D解析|a|c|ac|b|，即|a|b|c|.故选D.3已知a，b，c，d均为正数，S，则一定有()A0S1 B1S2C2S3 D3S1，S2，1S2.故选B.4(2020驻马店质检)若x1，x2，x3(0，)，则3个数，的值()A至多有一个不大于1 B至少有一个不大于1C都大于1 D都小于1答案B解析设x1x2x3，则1，1，1.故选B.5已知a，bR，a2b24，则3a2b的取值范围是_答案2，2解析根据柯西不等式(acbd)2(a2b
5、2)(c2d2)，可得(3a2b)2(a2b2)(3222)23a2b2.3a2b2，26已知a，b，c是正实数，且abc1，则的最小值为_答案9解析解法一：把abc1代入，得332229，当且仅当abc时，等号成立故的最小值为9.解法二：由柯西不等式得：(abc)2，即9，当且仅当abc时，等号成立故的最小值为9.核心考向突破考向一比较法证明不等式例1(2019山东潍坊三模)已知函数f(x)|x3|.(1)解不等式f(2x4)4；(2)若a，bR，|a|1，|b|f(ab3)解(1)由f(2x4)4，得|2x1|4，即2x14或2x14，解得x或x，综上所述，不等式的解集为.(2)证明：f(
6、ab2)f(ab3)|ab1|ab|，因为|a|1，|b|1，所以a21，b20，所以|ab1|2|ab|2，则|ab1|ab|，则f(ab2)f(ab3)比较法证明不等式的一般步骤作差变形判断结论为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法即时训练1.(2019西宁模拟)已知函数f(x)|2x1|x2|，集合Ax|f(x)3(1)求A；(2)若s，tA，求证：|1|t|.解(1)不等式f(x)3等价于|2x1|x2|3.(*)设函数g(x)|2x1|x
7、2|3，则g(x)其图象如图所示从图象可知，当且仅当x时，g(x)0.所以不等式(*)的解集为.所以A.(2)证明：因为s，tA，由(1)知s，t，所以s21，t21.因为221t2(1t2)(s21)0，所以22，所以|1|t|.考向二综合法证明不等式例2(2019全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.当且仅当abc1时，等号成立所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca
8、)333(ab)(bc)(ca)3(2)(2)(2)24.当且仅当abc1时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.综合法是由因导果的证明方法用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当的公式作为依据，其中基本不等式是最常用的即时训练2.设a，b，c为正实数，求证：abc2.证明因为a，b，c为正实数，由算术几何平均不等式可得3，即(当且仅当abc时，等号成立)所以abcabc.而abc22(当且仅当a2b2c23时，等号成立)，所以abc2(当且仅当abc时，等号成立)考向三分析法证明不等式例3(2019福建泉州第二次质量检测)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的
9、解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，2ab.解(1)f(x)由得1x；由得x0，且abbcca1.求证：(1)abc；(2)()证明(1)要证abc，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证a2b2c2abbcca.由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得所以原不等式成立(2).由于(1)中已证abc.因此要证原不等式成立，只需证明.即证abc1，即证abcabbcca.而a，b，c.所以abcabbcca.所以原不等式成立考向四反证法证明不等式例4
10、(2019湖南湘潭模拟)设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2，当且仅当ab1时等号成立(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b0，n0，求证：mn2.解(1)f(x)|x1|x1|x1(x1)|2，当且仅当1x1时取等号，所以f(x)min2，即a2.(2)证明：假设mn2，则m2n，m3(2n)3.所以m3n3(2n)3n326(1n)22.由(1)知a2，所以m3n32.矛盾，所以mn2.考向五放缩法证明不等式例5(
11、2019包头模拟)已知x，y，z为三角形的三边长，求证：1x，xyz，xzy，1，13.用放缩法证明不等式将所证不等式中的某些项适当放大或缩小(主要方法是拆分、配凑、增减项等)，可使有关项之间的不等关系更加明晰，更加强化，且有利于式子的代数变形、化简，从而达到证明的目的这种方法灵活性较大，技巧性较强即时训练5.已知函数f(x)|2x1|2x1|，且不等式f(x)4的解集为M.(1)求M；(2)若xM，yM，求证：1.解(1)当x时，不等式f(x)4变为2x112x4，解得x1，此时1x.当x时，不等式f(x)4变为2x112x4，此不等式恒成立，此时时，不等式f(x)4变为2x12x14，解得
12、x1，此时x1，综上，不等式的解集M是1，1(2)证明：由题意，得x1,1，y1,1，则0|x|1,0|y|1，不妨设|x|y|，1，故1.考向六柯西不等式的应用例6(2018江苏高考)若x，y，z为实数，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值解由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2.因为x2y2z6，所以x2y2z24，当且仅当时，不等式取等号，此时x，y，z，所以x2y2z2的最小值为4.柯西不等式的一般结构为(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，在使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，为方便使用柯西不等式，有时常将a变形为1a的形式即时训练6.(2019广东四校开学联考)已知a，b，cR，满足abc1.求证：(1)(abc)2；(2).证明(1)左边3(a2b2c2)，由柯西不等式，得(111)(a2b2c2)(abc)2(取等号的条件是abc，此时abc1)，所以(abc)2，原不等式得证(2)由于a，b，cR，abc1，设a，b，c，则xyz1，所以，则3(xyz)3(yz)(xz)(xy)3由柯西不等式，得(yz)(xz)(xy)(111)29(当且仅当xyz时等号成立，此时xyz1)，所以3，故(当且仅当abc时等号成立，此时abc1)，则原不等式得证