1、一、常用逻辑用语1命题及其关系(1)原命题：若p，则q则逆命题：若q，则p否命题：若p，则q逆否命题：若q，则p(2)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性2充分条件与必要条件(1)若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)若pq，则p是q的充要条件(3)若pq，qp，则p是q的充分不必要条件(4)若pq，qp，则p是q的必要不充分条件(5)若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件3简单的逻辑联结词(1)命题pq的真假：“全真则真”，“一假则假”(2)命题pq的真假：“一真则真”，“全假则假”(3)命题p的真假：p与p的真假性相反4全称命题与特称命题的否定(1)全称命题的否定p：
2、xM，p(x)p：x0M，p(x0)(2)特称命题的否定p：x0M，p(x0)p：xM，p(x)二、圆锥曲线与方程1椭圆(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(2)椭圆的标准方程焦点在x轴上：1(ab0)，焦点在y轴上：1(ab0)(3)椭圆的几何性质范围：对于椭圆1(ab0)，axa，byb对称性：椭圆1或1(ab0)，关于x轴，y轴及原点对称顶点：椭圆1的顶点坐标为A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)离心率：e，离心率的范围是e(0,1)a，b，c的关系：a2b2c22双曲线(1)双曲线的定义：平面内与两
3、个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，叫做双曲线(2)双曲线的标准方程焦点在x轴上：1(a0，b0)，焦点在y轴上：1(a0，b0)(3)双曲线的几何性质范围：对于双曲线1(a0，b0)，ya或ya，xR，对称性：双曲线1或1(a0，b0)关于x轴，y轴及原点对称顶点：双曲线1(a0，b0)的顶点坐标为A1(a,0)，A2(a,0)，双曲线1(a0，b0)的顶点坐标为A1(0，a)，A2(0，a)，渐近线：双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx离心率：e，双曲线离心率的取值范围是e(1，)，a，b，c的关系：c2a
4、2b23抛物线(1)抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线(2)抛物线的标准方程焦点在x轴上：y22px(p0)，焦点在y轴上：x22py(p0)(3)抛物线的几何性质范围：对于抛物线x22py(p0)，xR，y0，)对称性：抛物线y22px(p0)，关于x轴对称，抛物线x22py(p0)，关于y轴对称顶点：抛物线y22px和x22py(p0)的顶点坐标为(0,0)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义知e1三、空间向量与立体几何1空间向量及其运算(1)共线向量定理：abab(b0)(2)P，A，
5、B三点共线xy(xy1)(3)共面向量定理：p与a，b共面pxayb(4)P，A，B，C四点共面xyz(xyz1)(5)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，把a，b，c叫做空间的一个基底(6)空间向量运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3，ababa1b1，a2b2，a3b3，abab0a1b1a2b2a3b30，|a|，cosa，b，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y
6、2y1，z2z1)，|2立体几何中的向量方法(1)异面直线所成的角两条异面直线所成的角为，两条异面直线的方向向量分别为a，b，则cos |cosa，b|(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角为，直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin |cosa，n|(3)二面角二面角为，n1，n2为两平面的法向量，则|cos |cosn1，n2|1一个命题的逆命题和否命题有相同的真假性()提示一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，因此具有相同的真假性2使ab成立的充分不必要条件是ab1()提示ab1ab3“pq”的否定为“(p)(q)”，“pq”的否定为“(p)(q)”()提示“且”的否定为“或”
7、，“或”的否定为“且”4命题p：x(0，)，则x22x10，则p为：x0(，0，使x2x010()提示p应为x0(0，)，使x2x0105命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是“若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数”()提示命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是“若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数”6命题“菱形的两条对角线相等”是全称命题且是真命题()提示此命题是全称命题，但是是假命题7“x6”是“x1”的充分但不必要条件()提示x6x1，但x1x68若命题pq为假，且p为假，则q假()提示由p为真，pq为假知，q为假9椭圆上的点到焦点的最大距离为
8、ac，最小距离为ac()提示椭圆长轴的端点到焦点的距离有最大值或最小值10已知F1(4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆()提示|F1F2|8，故点的轨迹是线段F1F211椭圆2x23y212的焦点坐标为(0，)()提示椭圆标准方程为1，c2a2b22，故椭圆的焦点坐标为(，0)12已知椭圆的标准方程为1(m0)，焦距为6，则实数m的值为4 ()提示当焦点在x轴上时，由25m29得m4，当焦点在y轴上时，m2259得m13已知F1(5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|PF2|10，则点P的轨迹是双曲线的右支()提示点P的轨迹是一条射线14“
9、0k3”是方程1表示双曲线的充要条件()提示当0k3时，方程1表示双曲线，若方程1表示双曲线，则有(k1)(k5)0，即1k0)中过焦点的最短弦长为2p()提示抛物线中通径是最短的弦长20抛物线yax2(a0)的准线方程为y2，则实数a的值是()提示抛物线标准方程为x2y，则2，解得a21若空间任一点O和不共线的三点A，B，C满足，则点P与A，B，C共面()提示11，故四点共面22a，b为空间向量，则cosa，bcosb，a()提示a，bb，a，则cosa，bcosb，a23两个平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直()提示由平面法向量的定义可知24直线与平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量
10、垂直()提示直线的方向向量与平面的法向量平行25若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足k1e1k2e2k3e30，则k1k2k30()提示假设k10，则e1e2e3，则e1，e2，e3共面26若直线的方向向量与平面的法向量所成的角为150，则直线与平面所成的角为30()提示直线与平面所成的角为6027若直线与平面所成的角为0，则直线在平面内()提示直线与平面也可能平行28两个平面的法向量所成的角为120，则两个平面所成的二面角也是120()提示二面角的度数是120或6029两条异面直线所成的角为30，则两条直线的方向向量所成的角可能是150()提示根据向量所成角的定义知正确30若二面
11、角是30，则在二面角的两个半平面内与二面角的棱垂直的直线的方向向量所成的角也是30()提示在二面角的两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量所成的角是30或1501设，为两个平面，则的充要条件是()A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面B对于A，内有无数条直线与平行，当这无数条直线互相平行时，与可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确
12、综上可知选B2已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()Aa22b2B3a24b2Ca2b D3a4bB因为椭圆的离心率e，所以a24c2又a2b2c2，所以3a24b23已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是_如图，左焦点F(2,0)，右焦点F(2,0)线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM2在FFP中，OM綊PF，所以PF4根据椭圆的定义，得PFPF6，所以PF2又因为FF4，所以在RtMFF中，tanPFF，即直线PF的斜率是4已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的
13、交点为A，B，与x轴的交点为P(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|解设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2由题设可得x1x2由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2从而，得t所以l的方程为yx(2)由3可得y13y2由可得y22y2t0所以y1y22从而3y2y22，故y21，y13代入C的方程得x13，x2故|AB|5如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值解(1)证明：由已知得，B
14、1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE又BEEC1，B1C1EC1C1，所以BE平面EB1C1(2)由(1)知BEB190由题设知RtABERtA1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0，1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1，0,1)，(1,0,0)，(1，1,1)，(0,0,2)设平面EBC的法向量为n(x1，y1，z1)，则即所以可取n(0，1，1)设平面ECC1的法向量为m(x2，y2，z2)，则即所以可取m(1,1,0)于是cosn，m所以，
15、二面角BECC1的正弦值为6设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的短轴长为4，离心率为(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1所以，椭圆的方程为1(2)由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM,0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率为在ykx2中，令y0，得xM由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为由OPMN，得1，化简得k2，从而k所以，直线PB的斜率为或
