1、1利用三角函数的图象和性质，解决与三角函数有关的最值问题、不等式问题、奇偶性问题等2通过引入三角函数，解决给出一定实际背景的问题考点一 认图选择题示范1 已知函数 yAsin(x)(A0，0)的图象如右图所示，则 f712()A0 B1 C1 D.12分析 利用五点法作图，由图知周期，求，再由4，0 求.解析 34 432T，T132，6.又图知 A2，y2sin(6x)过4，0 点，640，32，y2sin6x32，f712 2sin 20，选 A.答案 A【点评】给出图象，由五点法作图要求，求参数.也可由图象定义，周期等数形结合直接由图形求解.展示1 函数 yxcos x 的部分图象是()
2、【答案】D【解析】yf(x)xcos x，f(x)(x)cos(x)xcos xf(x)函数 f(x)是奇函数，排除 A，C.当 x0，2 时，f(x)0，排除 B，故选 D.方法点拨：给出函数的解析式确认其大致图象的选择题，通常用排除法.考点二 正、余弦型函数的图象、解析式等知识综合应用示范2 某港口的水深 y(米)与时间 t(0t24，单位：时)的函数关系记为 yf(t)，下面是该港口某日的水深数据表，t(时)03691215182124y(米)10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0由上述数据描出函数 yf(t)的图象(如下图所示)，经过长期的观
3、察和拟合知该图象可近似地看成函数 yAsin tB 的图象(1)试根据所给数据和图象，求出函数的解析式；(2)在一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不得小于4.5 米才能保证航行的安全，如果某船的吃水深度(船底距水面的距离)为 7 米，该船在何时段内航行时才是安全的？分析 运用前面所学的由图象确定函数 yAsin(x)B的系数的方法，马上可得函数 f(t)的解析式，由条件寻找含 t 的不等式，再解此不等式即可得解析(1)根据表中的数据并结合图象可知，A13.07.023，B10.0，T12，6，y3sin6t10.0，t0,24(2)依题意，要使船安全通过，水深不得少于 11.5 米，令 y
4、11.5 得 3sin6t1011.5，sin6t12，62k6t56 2k，112kt512k(kZ)，又 t0,24，1t5 或 13t17，船在凌晨 1 时至 5 时或下午 13 时至 17 时航行时才是安全的【点评】由图象或表数据求形如 yAsinxB 的解析式时，通常由图象的最高点和最低点数据的最大值和最小值来求 A 和 B，由周期来求，由特殊点来求.展示2 如下图所示为函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)的图象的一段，(1)求其解析式；(2)若函数 yf(x)的图象与直线 ya 在区间512，1112上恰有一个交点，求实数 a 的取值范围【解析】(1)由图象，知 A 3，以
5、 M3，0 为第一个零点，P56，0 为第二个零点列方程组，得30，56.解得2，23.所求解析式为 y 3sin2x23.(2)x512，1112，2x23 6，76.如下图所示，直线 ya 在区间512，1112 上与函数 yf(x)的图象只有一个交点，32 a 32 或 a 3.方法点拨：审题、画散点图、建模(确定函数解析式、方程、不等式)、解模等，此处要求熟练运用函数图象求值考点三 利用三角函数的“有界性”，运用“换元法”将非三角函数题变为三角函数题示范3 已知实数 x，y 满足 x2y22x0，求 y23x 的最大值及最小值分析 由条件可得(x1)2y21，故可令 x1cos，ysi
6、n，把待求化为三角函数问题，再利用三角函数的“有界性”可得解析 法一 由条件得 y2x22x，且 y20 得2x0，f(x)y23xx22x3xx25x(2x0)由抛物线的图象可得 f(x)在2,0上为减函数故 x2 时，f(x)取得最大值 6；x0 时，f(x)取得最小值 0.法二 由条件得(x1)2y21，令 x1cos，ysin，即 x1cos，ysin，y23xsin23(1cos)1cos23cos 3cos23cos 4cos 322494，1cos 1，当 cos 1 时，y23x 取得最大值为 6，当 cos 1 时，y23x 取得最小值为 0.【点评】法一利用消元法，转化为二
7、次函数，注意隐含条件的挖掘，求 x 的范围.法二利用三角换元法，同样要注意范围.展示3 已知函数 ysin x 1cos2x，求函数的最值【解析】(sin x)2(1cos2x)22.可设 sin x 2cos，1cos2x 2sin 434，则有 y 2cos 2sin 2sin4.434，24.当 34 时，y 最小0；当 4时，y 最大2.1利用图象辅助求解的三角题，除了三角函数图象要求处理，要注意函数单调性、奇偶性的应用2应用题：建模为关键，已知函数类型是形如 f(x)Asin(x)B 的，利用三角函数的图象和性质解题，条件是平面图形的，考虑引入角的变量3三角换元法求最值：前提是能观察
8、到符合三角换元的结构特征1(2011 全国 )如下图所示，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0(2，2)，角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为()【答案】C【解析】显然，当 t0 时，由已知，得 d 2，排除 A，D，又因为质点是按逆时针方向转动，随时间 t 的变化质点 P 到 x轴的距离 d 先减小，排除 B，故选 C.另解：根据已知条件得 A2，1，4，再结合已知得质点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数为 d2sint4，画图得 C.2(2010 陕西理)对于函数 f(x)2sin xcos x，下列选项中正确的是()A函数 f(x)在区间4，2 上是递增的B函数 f(x)的图象关于原点对称C函数 f(x)的最小正周期是 2D函数 f(x)的最大值是 2【答案】B【解析】函数 f(x)sin 2x 是奇函数，其余选项易知为错的
