1、1平面图形中关于三角的转化2导数和其他综合运用考点一 给出平面图形的应用题示范1 半径为 R 的半圆柱形木料要加工成长方体，其截面如右图所示，求加工后长方体的底面 ABCD 面积的最大值分析 建立函数解析式解析 连接 OB，设AOB，(02)则 ABRsin，OARcos，AD2Rcos，S 四边形 ABCDADAB2R2sin cos R2sin 2R2.当且仅当 sin 21，即 4时，取“”四边形 ABCD 面积最大值为 R2.【点评】引入角度是关键展示1 如右图所示，某小区准备在一直角围墙 ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD”，其中 AB 长为定值 a，BD 长可根据需要进行调节(
2、BC 足够长)现规划在ABD 的内接正方形BEFG 内种花，其余地方种草且把种草的面积 S1 与种花的面积S2 的比值S1S2称为“草花比 y”，(1)设DAB，求 y 表示成 的函数解析式；(2)当 BE 为多长时，y 有最小值？最小值是多少？【解析】(1)因为 BDatan，所以ABD 的面积为12a2tan 0，2.设正方形 BEFG 的边长为 t，由FGABDGDB，得taatan tatan .解得 t atan 1tan.则 S2 a2tan21tan 2.所以 S112a2tan S212a2tan a2tan21tan 2.故 yS1S21tan 22tan 1.(2)因为 t
3、an(0，)，所以 y12tan 1tan 2 112tan 1tan 1，当且仅当 tan 1 时，取等号，此时 BEa2.所以当 BE 长为a2时，y 有最小值 1.方法点拨：由条件知需边与角的关系，分析图形建模.考点二 运用导数工具证明不等式示范2 已知函数 f(x)asin xbcos x(a，b 为常数，a0，xR)在 x4处取得最小值，则函数 yf34 x 是()A偶函数且它的图象关于点(，0)对称B偶函数且它的图象关于点32，0 对称C奇函数且它的图象关于点32，0 对称D奇函数且它的图象关于点(，0)对称分析 原函数含有未知参数 a，b，如果利用辅助角合成 yAsin(x)，参
4、数 A，用 a，b 表示较困难利用导数则较容易解析 f(x)acos xbsin x，f 4 0，22(ab)0，ab0，ab，原函数 f(x)2asinx4，依题 a0，f34 x 2asin(x)2asin x.选 D.本题也可由已知条件和设置的选项，抛开具体的 a、b 的值，T2，可设 f(x)sinx54，化简再代入选项验证答案 D展示2 求证：当 x0，2 时，恒有 xtan x.【解析】要证 xtan x，只要证 xsin xcos x.0 x2，0cos x1.只要证 xcos xsin x.令 g(x)xcos xsin x，则 g(x)cos xxsin xcos xxsin
5、 x.0 x2，xsin x0.函数 g(x)在区间0，2 上为减函数g(x)g(0)0.xcos xsin xxtan x.方法点拨：证明形如 fxgx的不等式，可构造函数 hxfxgx，求出函数 hx的单调性及最值得到解决.本课的考点有平面几何背景下的三角函数关系式，最值问题，简单三角不等式的证明方法：求导法(2010 安徽文)设函数 f(x)sin xcos xx1(0 x2)，求函数 f(x)的单调区间与极值【解析】f(x)cos xsin x11 2sinx4，令 f(x)0，sinx4 22.0 x2，4x494.x454 或74.x 或 x32.由上表，知函数 f(x)的单调递增区间是(0，)与32，2，单调递减区间是，32；极小值为 f32 32，极大值为 f(x)2.
