1、考 点 串 串 讲1随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母 X，Y，等表示(1)离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量连续型随机变量：如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量(2)若 X 是随机变量，YaXb，其中 a，b 是常数，则 Y 也是随机变量(3)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性(4)注意区分随机变量 X 与以前所学函
2、数 f(x)两概念函数 f(x)是研究确定性现象的，它定义在实数轴上，有确定的因果关系概率中的随机变量是研究随机现象的，它定义在由全部试验结果所组成的集合上，它的取值是不能预知的，但它的取值有一定的概率我们研究随机变量时，关心的是，随机变量能取哪些值，即都包含哪些试验结果(基本事件)，以及注意研究它的统计规律，也就是事件概率的大小2离散型随机变量的分布列设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1，x2，xi，X 取每一个值 xi(i1,2，)的概率 P(Xxi)Pi，则表Xx1x2xiPp1p2pi称为随机变量 X 的概率分布，简称 X 的分布列(1)离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：pi
3、0，i1,2，；p1p2pi1.一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和(2)求离散型随机变量分布列的步骤求离散型随机变量的分布列，应按下述三个步骤进行：明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率；按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证3二项分布一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为P(Xk)Cknpk(1p)nk，k0,1,2，n.此时称随机变量 X 服从二项分布，
4、记作 XB(n，p)，并称 p 为成功概率注意 二项式(1p)pn 的展开式中，第 k1 项为 Tk1Ckn(1p)nkpk，可见 P(Xk)就是二项式(1p)pn 的展开式中的第 k1 项，故此公式称为二项分布公式4两点分布与超几何分布(1)两点分布若随机变量 X 的取值只有两种情况，不妨设为 X0 和 X1，P(X1)p，则随机变量 X 的分布列是X01P1pp这样的分布列称为两点分布列如果随机变量 X 的分布列为两点分布列，就称 X 服从两点分布，而称 pP(X1)为成功概率两点分布又称 01 分布由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以还称这种分布为伯努力分布(2)超几何分布一
5、般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事件Xk发生的概率为P(Xk)CkMCnkNMCnN，k0,1,2，m，其中 mminM，n，且 nN，MN，n，M，NN*.称分布列X01mPC0MCn0NMCnNC1MCn1NMCnNCmMCnmNMCnN为超几何分布列如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布5离散型随机变量的期望(1)若离散型随机变量 X 的概率分布为：Xx1x2xnPp1p2pn则称 EXx1p1x2p2xnpn为 X 的均值(或数学期望)(2)离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平(3)
6、期望的性质：E(C)C，E(aXb)aEXb(a，b，C 为常数)(4)对离散型随机变量的期望作如下几点说明：期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均EX 是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即作为随机变量X 是可变的，可取不同值，而 EX 是不变的，它描述 X 取值的平均状态对于 E(aXb)aEXb.说明随机变量 X 的线性函数 YaXb 的期望等于随机变量 X 期望的线性函数此式可有如下几种特殊形式：当 b0 时，E(aX)aEX，此式表明常量与随机变量乘积的期望，等于这个常量与随机变量的期望的乘积当 a1 时，E(Xb)EXb，此式表明随机变量与常量和的期望，等于随机变量的期望
7、与这个常量的和当 a0 时，Ebb.此式表明常量的期望等于这个常量6离散型随机变量的方差(1)若离散型随机变量 X 所有可能的取值是 x1，x2，xn，且这些值的概率分别是 p1，p2，pn，则称DX (x1 EX)2p1 (x2 EX)2p2 (x3 EX)2p3 (xn EX)2pn为 X 的方差(2)随机变量 X 的方差反映了 X 取值的稳定性(3)方差的性质：设 a，b 为常数，则 D(aXb)a2DX；DXEX2(EX)2.(4)对离散型随机变量的方差做如下几点说明：DX 表示随机变量 X 对 EX 的平均偏离程度DX 越大表明平均偏离程度越大，说明 X 的取值越分散反之，DX 越小
8、，X 的取值越集中统计中常用 DX来描述 X 的分散程度.DX叫标准差，记作 X.DX 与 EX 一样也是一个实数，由 X 的分布列唯一确定对于 D(aXb)a2DX，在记忆和使用此结论时，请注意 D(aXb)aDXb，D(aXb)aDX.若 XB(n，p)，则 EXnp，DXnp(1p)若 X 服从两点分布，则 EXp，DXp(1p)7期望与方差的实际应用离散型随机变量期望与方差的应用问题，一般应先分析题意，明确题目欲求的是期望还是方差，在此基础上将题中考查的数量指标用随机变量表示，把实际问题转化为随机变量的期望与方差判断两种实际情况优越性的方法(1)分别求出 EX 甲、EX 乙、DX 甲、
9、DX 乙(2)若 EX 甲EX 乙，在期望意义，甲优于乙若 DX 甲DX 乙，表明甲的波动大于乙若 EX 甲EX 乙，且 DX 甲DX 乙，则甲劣于乙准确算出 EX 甲、EX 乙、DX 甲、DX 乙是解决此类实际问题的基础，再利用比较大小来判别优越性8正态分布的概念及主要性质(1)正态分布的概念如果连续型随机变量 X 的概率密度函数为f(x)12ex222，x(，)，其中、为常数，并且 0，则称 X 服从正态分布，简记为XN(，2)(2)正态分布的期望与方差若 XN(，2)，则 EX，DX2(3)正态分布的性质正态曲线具有下列性质曲线在 x 轴上方，并且关于直线 x 对称曲线在 x 时处于最高
10、点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低曲线的对称轴位置由 确定；曲线的形状由 确定，越大，曲线越“矮胖”；反之，曲线越“高瘦”正态曲线如图：(4)标准正态分布将 0，1 时，f(x)可以写成 f(x)12ex22，这时称 X 服从标准正态分布，简记为 XN(0,1)(5)标准正态分布函数表由于标准正态分布应用十分广泛，已制成专门的标准正态函数表，供人们查阅，在标准正态分布表中，相应的每一个 x0 的函数值(x0)是指总体取小于 x0 的值的概率(函数(x0)实际上是正态总体N(0,1)的累积分布函数)，即(x0)P(xx0)(6)几个重要公式(x)1(x)；P(aXb)(b)(a)；P(
11、Xx0)1P(Xx0)；若 XN(，2)，则 YXN(0,1)；若 XN(，2)，则 P(aXb)(b)(a)，其中(b)F(b)P(Xb).典 例 对 对 碰题型一 离散型随机变量例 1 投掷均匀硬币一次，随机变量为()A掷硬币的次数B出现正面的次数C出现正面或反面的次数D出现正面与反面次数之和分析 在一次随机试验中，用来描述此随机试验的随机变量的形式多种多样，但不论选其中的哪一种形式，它对应的都是随机试验所有可能出现的结果同时随机变量在选定标准之后，它是变化的解析 掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上以一个标准如正面向上次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量 X，
12、X 的取值是 0,1，故选 B.而 A 项中掷硬币的次数就是 1，不是随机变量；C 项中标准模糊不清；D 项中出现正面和反面次数的和必是 1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量答案 B点评 在一次随机试验中，随机变量的取值实质是随机试验结果对应的数，但这个数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源本题容易误选 C，认为出现正面记为 X1，出现反面记为 X0，则随机变量 X 是表示出现正面或反面的次数.变式迁移 1下列所述：某座大桥一天经过的车辆数 X；某无线电台寻呼台一天内收到寻呼次数为 X；一天之内的温度为 X；一射手对目标进行射击，击中
13、目标得一分，未击中目标得 0 分，用 X 表示该射手在一次射击中的得分上述问题中是离散型随机变量的是()A BCD答案 B解析 根据离散型随机变量的定义，可知中的 X 可能取的值，可以按一定次序一一列出，而中的 X 可以取某一区间内的一切值，属连续型随机变量.题型二 离散型随机变量的分布列的性质例 2 给出下列 A、B、C、D 四个表，其中能成为随机变量 X 的分布列的是()A.X01P0.60.3B.X012P0.90250.0950.0025 C.X012nP12141812nD.X012nP13132313(23)213(23)n解析 离散型随机变量的分布列必须满足：(1)p1，p2都是
14、非负数(2)所有 pi 的和为 1.对于表 A，由于 0.60.30.91，故不能成为随机变量 X 的分布列；仿上可知，对于表 C，有121418 12n1 12n1；对于表 D，知13132313(23)213(23)n13123(23)2(23)n1(23)n11，故表 C、D均不能成为随机变量 X的分布列；对于 B，由于 0.90250.0950.00251，故表 B 可以成为随机变量 X 的分布列答案 B点评 注意 C 与 D 的细微区别，其区别在于表后面有无省略号，有省略号则为分布列，而表 D 后面无省略号则不为分布列.变式迁移 2设随机变量 X 的分布列为 P(Xi)a(23)i，
15、i1,2,3，则 a 的值是_答案 2738解析 根据随机变量的分布列的性质可得 P(X1)P(X2)P(X3)1，即 a(23)1a(23)2a(23)323a49a 827a1，解得 a2738.题型三 两点分布例 3 若随机变量 X 的概率分布为：X01P9c2c38c试求出常数 c.分析 利用两点分布的性质建立未知数 c 的方程，解方程可得c 的值解析 由两点分布的性质可知：9c2c38c1，09c2c1，038c1，解得 c13，即 X 的概率分布为X01P2313变式迁移 3设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1次试验的成功次数，则失败率 p 等于_答案
16、13解析 设 X 的分布列为：X01Pp2p即“X0”表示试验失败，“X1”表示试验成功由 p2p1，得 p13.题型四 超几何分布例 4 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有 6 名男生，4名女生，从中选出 4 人参加数学竞赛，用 X 表示其中的男生人数，求 X 的分布列解析 依题意随机变量 X 服从超几何分布，即 P(Xk)Ck6C4k4C410(k0,1,2,3,4)P(X0)C06C44C410 1210，P(X1)C16C34C410 435，P(X2)C26C24C410 37，P(X3)C36C14C410 821，P(X4)C46C04C410 114.X 的分布列为X012
17、34P121043537821114 点评 本类题目，关键是判断随机变量是否服从超几何分布，可以从以下两个方面判断：一是超几何分布描述的是不放回抽样问题；二是随机变量为抽到的某类个体的个数.变式迁移 4从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有X 个红球，则随机变量 X 的分布列为：X012P 答案 0.1 0.6 0.3解析 X 的可能取值为 0,1,2.P(X0)C22C250.1，P(X1)C13C12C25 0.6，P(X2)C23C250.3.题型五 二项分布例 5 某批数量较大的商品的次品率为 10%，从中任意地连续取出 5 件，求其中次品数 X 的分布列分析
18、 显然 X0,1,2,3,4,5，依题意每次抽取是独立的解析 本题中商品数量较大，故从中任意抽取 5 件(不放回)可以看作是独立重复试验 n5，因而次品数 X 服从二项分布即XB(5,0.1)X 的分布列如下表：X012345P0.950.50.940.10.930.010.924.50.140.15点评 二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列，其概率 P(Xk)(k0,1,2,3,4,5)就是独立重复试验 n 次其中发生 k 次的概率 Cknpk(1p)nk.变式迁移 5某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%，现从一批产品中，任意地连续取出 2 件，其中次品数 X 的概率分布是：X
19、012P 解析 由题意“任意连续取出 2 件”可认为两次独立重复试验，则次品数 X 服从二项分布，即XB(2,0.05)X0 时，p1C020.9520.9025；X1 时，p2C120.950.050.095；X2 时，p3C220.0520.0025.故 X 的概率分布为：X012P0.90250.0950.0025题型六 离散型随机变量的期望例 6 一接待中心有 A、B、C、D 四部热线电话已知某一时刻电话 A、B 占线的概率均为 0.5，电话 C、D 占线的概率均为 0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响假设该时刻有X部电话占线，试求随机变量 X 的概率分布和它的期望解析 先分别求出
20、电话占线不同部数的概率P(X0)0.520.620.09.P(X1)C120.520.62C120.520.40.60.3.P(X 2)C 22 0.520.62 C 12 C 12 0.520.40.6 C 220.520.420.37.P(X3)C22C120.520.40.6C12C220.520.420.2.P(X4)0.520.420.04.于是得到随机变量的概率分布列为X01234P 0.090.30.370.20.04EX00.0910.320.3730.240.041.8.点评 正确列出概率分布表是求离散型随机变量的期望的基础，要注意 X 取值的实际意义，从而正确求出概率.变式
21、迁移 6袋中有 1 个白球和 4 个黑球，每次从中任取 1 个球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止求取球次数 X 的概率分布和期望解析 X 的所有可能取值为 1,2,3,4,5，并且有 P(X1)150.2，P(X2)45140.2，P(X3)4534130.2，P(X4)453423120.2，P(X5)45342312110.2.因此 X 的分布列是X12345P 0.20.20.20.20.2EX10.220.230.240.250.23.题型七 离散型随机变量的方差例 7 某运动员投篮时命中率 p0.6(1)求一次投篮命中次数 X 的期望与方差；(2)求重复 5 次投篮时，命
22、中次数 Y 的期望与方差分析(1)投篮一次有两个结果：命中与不中，因此，命中次数X 服从两点分布；(2)重复 5 次投篮可认为 5 次独立重复试验，命中次数 Y 服从二项分布解析(1)投篮一次，命中次数的分布列为：X01P0.40.6则 EX00.410.60.6，DX(00.6)20.4(10.6)20.60.24.(2)由题意，重复 5 次投篮，命中的次数 Y 服从二项分布，即 YB(5,0.6)，由二项分布期望与方差的计算结论有 EY50.63，DY50.60.41.2.点评 对二项分布期望与方差的结论应熟练掌握.变式迁移 7已知 X 的分布列为：X 101P121316求：(1)EX，
23、DX，X；(2)设 Y2X3，求 EY，DY.解析(1)EX(1)1201311613，DX(113)212(013)213(113)21659，X DX59 53.(2)EYE(2X3)2EX32(13)373，DYD(2X3)4DX459209.题型八 正态曲线的性质例 8 关于正态曲线性质的叙述：曲线关于直线 x 对称，这个曲线在 x 轴上方；曲线关于直线 x 对称，这个曲线只有当 x(3，3)时才在 x 轴上方；曲线关于 y 轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；曲线在 x 时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；曲线的对称轴由 确定，曲线的形状由 确定；越大，
24、曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”上述说法正确的是()A BC D解析 参照正态曲线的性质当 x(，)时，正态曲线全在 x 轴上方，且只有当 0 时，正态曲线才关于 y 轴对称，因此知 A 选项正确答案 A变式迁移 8设两个正态分布 N(1，21)(10)和 M(2，22)(20)的密度函数图象如图所示，则有()A12，12B12，12C12，12D12，12答案 A解析 根据正态分布密度函数图象的性质：函数图象关于直线x 对称，则 12；的大小决定函数图象的“胖”“瘦”，越小，函数图象越“瘦”，越大，函数图象越“胖”，则 12.题型九 标准正态分布值求法例 9 设 XN(3,22)，借助于
25、(x)表，求：(1)P(2X7)；(2)确定 c 的值，使得 P(Xc)P(Xc)解析(1)P(2X7)(732)(232)(2)(2.5)(2)1(2.5)0.9772(10.9938)0.9710.(2)P(Xc)1P(Xc)，又 P(Xc)P(Xc)，P(Xc)0.5.而 P(Xc)(c32)0.5，查(x)表，得(0)0.5，故c32 0，c3.点评 掌握二者之间的转换公式是解题的关键.变式迁移 9在标准正态分布中我们常设 P(Xx0)(x0)，根据标准正态曲线的对称性有性质：P(Xx0)1(x0)若 XN(，2)，记 P(Xx0)F(x0)(x0)某中学高考数学成绩近似地服从正态分布
26、 N(100,100)，求此校数学成绩在 120 分以上的考生占总人数的百分比(2)0.977解析 用 X 表示此中学数学高考成绩，则 XN(100,102)P(X120)1P(X120)1(12010010)0.0232.3%.即数学成绩在 120 分以上的考生占总人数的 2.3%.题型十 正态分布的实际应用例 10 某人从城市南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分)服从正态分布 N(50,102)；第二条路线沿环城公路走，路线较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布 N(60,42)(1)若只有 70 分钟可用，问应走哪
27、条路线？(2)若只有 65 分钟可用，问应走哪条路线？解析 设 X 为行车时间(1)走第一条路线，及时赶到的概率为P(0X70)(705010)(05010)(705010)(2)0.9772，走第二条路线及时赶到的概率为P(0X70)(70604)(2.5)0.9938.因此在这种情况下应走第二条路线(2)走第一条路线及时赶到的概率为P(0X65)(655010)(1.5)0.9332，走第二条路线及时赶到的概率为P(0X65)(65604)(1.25)0.8944.因此在这种情况下应走第一条路线点评 本题是服从正态分布的随机变量概率取值的应用，要弄清题意的实质.变式迁移 10在某校举行的数
28、学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布 N(70,100)已知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 12名试问此次参赛的学生总数约为多少人？(已知(2)0.9772.)解析 设参赛的学生分数为 X.因为 XN(70,100)，由条件知，P(X90)1 P(X90)1 F(90)1(2)1 0.9772 0.0228.这说明成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生人数约占全体参赛人数的 2.28%.因此参赛总人数约为120.0228526(人)【教师备课资源】题型十一 离散型随机变量的分布列例 11 将 3 个小球任意地放入 4 个大玻璃杯中去，杯子中球的最大个数记为 X，
29、求 X 的分布列分析 先应明确题意，即明确杯子中球的最大个数的可能值，再由此求出相应的概率解析 依题意可知，杯子中球的最大个数 X 的所有可能值为1,2,3，当 X1 时，对应于 4 个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当 X2 时，对应于 4 个杯子中恰有一个杯子放两球的情形；当 X3 时，对应于 4 个杯子中恰有一个杯子放三个球的情形从而有 P(X1)A344338；P(X2)C23C14C1343 916；P(X3)C1443 116.依上可得 X 的分布列为：X123P38916116 点评 求随机变量的分布列，重要的基础是概率计算，首先应明确随机变量 X 的可能取值，然后分清概率类型
30、，计算 X 取得每一个值时的概率本题中基本事件的总数为 43，X 取每一个值的概率都属于等可能事件的概率.变式迁移 11(1)甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 X 与 Y，且 X 与 Y 的分布列为X 123P a0.10.6，Y123P0.3b0.3，则 a_，b_.(2)现有 10 张奖券，其中 8 张为 2 元，2 张为 5 元，从中同时任取 3 张，则所得金额的分布列为_答案(1)0.3 0.4(2)X6912P715715115 解析(1)a0.10.61，a0.3.0.3b0.31，b0.4.(2)设所得金额为 X，X 的可能取值为 6,9,12.且 P(X
31、6)C38C310 56120 715，P(X9)C28C12C310 715，P(X12)C18C22C310 115.故 X 的分布列如下表：X6912P715715115题型十二 分布列的运算性质例 12 已知随机变量 X 的分布列为：X 210123P112141311216112分别求出随机变量 Y112X，Y2X2 的分布列分析 根据题设，随机变量的数值将发生变化，解题时，应注意变化后的随机变量与相应的概率之间的关系解析 由于 Y112X，对于不同 X 的取值2，1,0,1,2,3 可得到不同的 Y1，即 Y11，12，0，12，1，32.显然，尽管分布列中的随机变量的数值已经产生
32、了变化，但其相应的概率并不发生变化，故 Y112X 的分布列为：Y1112012132P112141311216112 由于 Y2X2 对于 X 的不同取值2,2 及1,1，Y2 分别取相同的值 4 与 1，即 Y2 取 4 时，其概率应是 X 取2 与 2 时的概率之和；Y2 取 1 这个值的概率应是 X 取1 与 1 时的概率之和，故 Y2 的分布列为：Y20149P131314112点评 在得到 Y1 与 Y2 的分布列中，Y1 或 Y2 的取值中，要求无重复的数值，相应的概率均应非负，且每项之和等于 1.变式迁移 12设随机变量 X 的分布列 P(Xk5)ak(k1,2,3,4,5)(
33、1)求常数 a 的值；(2)求 P(X35)；(3)求 P(110X 710)解析 题目所给分布列为：X 1525354555P a2a3a4a5a(1)由 a2a3a4a5a1 得 a 115.(2)P(X35)P(X35)P(X45)P(X1)315 415 51545，或 P(X35)1P(X25)1(115 215)45.(3)因为 110X 710只有 X15，25，35满足，故 P(110X 710)P(X15)P(X25)P(X35)115 215 31525.题型十三 有无放回抽取的分布列问题例 13 从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产
34、品被抽取到的可能性相同在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数 X 的分布列：(1)每次取出的产品都不放回此批产品中；(2)每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；(3)每次取出一件产品后总把一件合格品放回此批产品中分析(1)由于取后不放回，各次取产品的结果相互影响；(2)由于取后放回，因此，各次取产品相互独立；(3)有放回抽取且放回正品，基本事件总数发生变化解析(1)X 的取值为 1,2,3,4.当 X1 时，即只取一次取到合格品，故 P(X1)1013；当 X2 时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故 P(X2)3131012 526.类似地，有P(
35、X3)313 2121011 5143.P(X4)313 212 1111010 1286.所以，X 的分布列为X1234P101352651431286(2)X 的取值为 1,2,3，n，.当 X1 时，即第一次就取到合格品，故 P(X1)1013；当 X2 时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故 P(X2)3131013；当 X3 时，即第一、二次均取到次品，而第三次取到合格品，故 P(X3)313 3131013(313)21013.类似地，当 Xn 时，即前 n1 次均取到次品，而第 n 次取到合格品，故 P(Xn)(313)n11013，n1,2,3，.因此，X 的分布列为X1
36、23nP 10133131013(3132)1013 (313)n11013(3)X 的取值为 1,2,3,4.当 X1 时，即第一次就取到合格品，故 P(X1)1013；当 X2 时，即第一次取到次品而第二次取到合格品，注意第二次再取时，这批产品有 11 个合格品，2 个次品，故 P(X2)3131113 33132；类似地，P(X3)313 2131213 72133；P(X4)313 213 1131313 6133.因此，X 的分布列为X1234P 101333132721336133 点评 此题是一个综合分析题目，主要考查等可能事件概率，离散型随机变量的分布列等有关知识，正确区分有放
37、回抽取和无放回抽取.变式迁移 13一盒中有 9 个正品和 3 个次品零件，每次取一个零件，如果取出的是次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数 X 的概率分布，并求 P(12X52)解析 易知，X 可能取值为 0,1,2,3 这四个数，而用 Xk 表示，共取了 k1 次零件，前 k 次取得的都是次品，第 k1 次才取得正品，其中 k0,1,2,3.当 X0 时，即第一次取到正品，试验中止，此时，P(X0)C19C11234；当 X1 时，即第一次取次品，第二次取正品，P(X1)C13C112C19C111 944；仿上可知 P(X2)C13C112C12C111 C19C110 312 21
38、1 910 9220.P(X3)C13C112C12C111 C11C110 312 211 110 1220.故 X 的分布列为X0123P3494492201220P(12X52)P(X1)P(X2)944 9220 54220.题型十四 随机变量的期望与方差的运算例 14 已知随机变量 X 的期望 EX4，方差 DX1，则 Y2X5 的期望 EY_，方差 DY_.解析 直接利用期望和方差的性质即可E(aXb)aEXb，EYE(2X5)2EX524513.又D(aXb)a2DX，DYD(2X5)4DX4.答案 13 4点评 随机变量函数的期望、方差可直接用公式计算.变式迁移 14已知随机变
39、量 X 的分布列为X12345P 0.10.20.40.20.1另一随机变量 Y2X3，求 EY、DY.解析 EY2EX32(10.120.230.440.250.1)32333；DY22 DX 22(1 3)20.1 (2 3)20.2 (3 3)20.4 (4 3)20.2(53)20.14(0.40.20.20.4)4.8.题型十五 期望与方差的实际应用例 15 设甲、乙两名射手各打了 10 发子弹，每发子弹击中环数如下：甲：10,6,7,10,8,9,9,10,5,10乙：8,7,9,10,9,8,7,9,8,9试问哪一名射手的射击技术较好？分析 要比较他们的技术，首先要看他们平均每发
40、子弹射击中的环数，再比较它们与平均环数的偏离程度解析 EX 甲 110(10671089910510)8.4EX 乙 110(87910987989)8.4DX甲4(108.4)22(98.4)2(88.4)2(78.4)2(68.4)2(58.4)230.40DX乙(108.4)24(98.4)23(88.4)22(78.4)26.44DX 甲DX 乙说明甲的着弹点比乙的分散，即甲的技术没有乙稳定，因此乙的射击技术比甲好点评 此题说明，在实际问题中仅靠其期望还不能很好地说明随机变量的分布特征，还必须研究其偏离平均值的离散程度即方差.变式迁移 15有甲、乙两种钢筋，从中各取等量样品检查它们的抗
41、拉强度指标如下：X 甲110120125130135P0.10.20.40.10.2X 乙100115125130145P0.10.20.40.10.2其中 X 甲、X 乙分别表示 A、B 两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于 120，试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好？解 析 EX甲 1100.1 1200.2 1250.4 1300.11350.2125，EX乙1000.11150.21250.41300.11450.2125.又 DX甲 (110 125)20.1 (120 125)20.2 (125 125)20.4(130125)20.1(135125)20.250.
42、DX乙(100125)20.1(115125)20.2(125125)20.4(130125)20.1(145125)20.2165.由 EX 甲EX 乙可知，甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度是相等的，且平均抗拉强度都不低于 120.但由于 DX 甲DX 乙，即乙种钢筋的抗拉强度指标与其期望偏差较大，故可认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋.方 法 路 路 通1离散型随机变量的概率分布列的两个本质特征：pi0(i1,2，n)与i1npi1 是确定分布列中参数值的依据把所求随机变量的概率相加，看和是否为 1 是判断所求分布列正误的一种常见方法2求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 X的取值情况
43、，然后利用排列、组合与概率知识求出 X 取各个值的概率3离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和4处理有关离散型随机变量的应用问题，关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量，明确随机变量所代表的量5离散型随机变量的期望与方差是随机变量中两种最重要的特征数，它们分别反映了随机变量取值的平均值及稳定性6在计算期望与方差时必须把握(1)Xxk 的所有值；(2)求出相应值的概率；(3)按公式计算出方差与期望7解答基本问题的方法(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义求解(2)已知随机变量 X 的期望、方差，求 YaXb 的期望和方差，可直接用 X 的
44、期望、方差的性质求解(3)如能分析所给随机变量，是服从常见的概率分布(如几何分布，二项分布等)，可直接用它们的期望、方差公式计算(4)对于应用题，必须对实际问题进行具体分析，先求出随机变量的分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差和标准差8决定一个正态分布的两个重要的参数：平均数 和标准差，我们不但要明白 和 在统计上的意义，还要对应到正态曲线上的曲线几何意义，做到从概率、统计、曲线、函数这四个方面来把握和理解9正态分布的小概率事件是一个重要概念它说明正态总体中绝大部分的数据(约占 99.7%)落在期望 左右各偏 3 的范围内10标准正态分布集中体现了所有正态分布的特点所有的正态分布都可以通
45、过变量替代化为标准正态分布，这正是“标准”一词的体现在求总体落在某个区间里的概率时，我们往往借助于正态曲线的性质和查标准正态分布表.正 误 题 题 辨例某射手有 5 发子弹，射击一次命中概率为 0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数 X 的分布列错解 本题要求我们给出耗用子弹数 X 的概率分布列我们知道只有 5 发子弹，所以 X 的取值只有 1,2,3,4,5.当 X1 时，即 P(X1)0.9；当 X2 时，要求第一次没射中，第二次射中，故 P(X2)0.10.90.09；同理，X3 时，要求前两次没有射中，第三次射中，P(X3)0.120.90.009；类似地，P(X
46、4)0.130.90.0009；P(X5)0.140.90.00009所以耗用子弹数 X 的分布列为：X12345P 0.90.090.0090.00090.00009 点击 X5 时，可分两种情况：一是前 4 发都没射中，恰第 5发射中，概率为 0.140.9；二是这 5 发都没射中，概率为 0.15，所以，P(X5)0.140.90.15.当然 X5 还有一种算法：即 P(X5)1(0.90.090.0090.0009)0.0001.正解 错解中 X 取 1,2,3,4 时的概率都是正确的，当 X5 时，即第五次射击与前四次不同，只要前四次射不中，都要射第 5 发子弹，就不必考虑是否射中，所以 P(X5)0.14，所以耗用子弹数 X的分布列为：X12345P 0.90.090.0090.00090.0001THANKS