1、1二次函数的三种表示形式(1)一般式：_；(2)配方式：_；(3)零点式：_.yax2bxc(a0)ya(xk)2h(a0)ya(xx1)(xx2)(a0)2二次函数的图象二次函数的图象是一条_，当 a0 时，开口_；当 a0 时，开口_图象的对称轴方程为_抛物线向上向下xk或x b2a或xx1x223二次函数的性质(1)当a0时，在区间_上为减函数，在区间_上为增函数，yminh；(2)当 a0 时，在区间(，k上为_，在区间k，)上为_，ymaxh.(，kk，)增函数减函数4二次函数在限定区间上的最大(小)值，求解时关键要抓住：(1)图象的开口方向；(2)区间与对称轴的位置关系；(3)结合
2、图象，利用单调性求解考点一 求二次函数解析式示范1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)f(1)1 且函数 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式分析 从已知三个函数值看，可设 f(x)ax2bxc(a0)，然后列方程组求解；由 f(2)f(1)，可得对称轴方程为 x21212，可设 yax1228(a0)；由 f(2)f(1)1f(2)1f(1)10，可设 f(x)1a(x2)(x1)(a0)解析 法一 设 f(x)ax2bxc(a0)，由题意得方程组4a2bc1，abc1，4acb24a8.解得a4，b4，c7.f(x)4x24x7.法二 设 f(x)a(xk)2h(a0)，f(
3、2)f(1)，图象对称轴为 x212，k12.又 f(x)的最大值为 8，a0 且 h8，f(x)ax1228.又 f(1)1，a112281，a4，f(x)4x1228.法三 f(2)1f(1)10，方程 f(x)10 的两根为 2 和1，可设 f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即 f(x)ax2ax2a1.又 f(x)最大值是 8，a0 且4a2a1a24a8，a4，f(x)4x24x7.【点评】确定二次函数解析式一般要用待定系数法，所以要选择二次函数的形式.用不同的形式求解，解法是不同的，注意灵活应用二次函数的三种表示形式.展示1 已知二次函数 f(x)满足 f(2x)f(2x)且方
4、程 f(x)0 的两个实根的平方和为 10，函数 f(x)的图象过点(0,3)，求函数f(x)的解析式【解析】f(2x)f(2x)，函数 f(x)的图象关于直线 x2 对称可设 f(x)a(x2)2k(a0)函数 f(x)的图象过点(0,3)，4ak3，k34a.f(x)a(x2)234aax24ax3(a0)设 x1，x2 是方程 f(x)0 的两根，则 x1x24，x1x23a.x21x22(x1x2)22x1x2166a10.a1.f(x)x24x3.方法点拨：求二次函数解析式的方法一般用待定系数法.可以设 yax2bxc，yaxk2h，yaxx1xx2三种形式中的一种，然后根据已知条件
5、列式求出待定的未知数，从而确定二次函数解析式.考点二 二次函数在给定区间上的最值示范2 设 a 为常数，函数 f(x)x22a|x|1，求函数 f(x)的最小值分析 利用换元法可以转化为二次函数问题解析 设 t|x|，则yt22at1(ta)2a21(t0)当 a0 时，a0，当 ta 时，ymina21.当 a0 时，a0，函数 y(ta)2a21 在0，)上为增函数，ymin1.ymina21，a0，1，a0.【点评】本题通过换元法把问题转化为二次函数在给定区间上的最小值问题.由图象对称轴 ta 可能在区间0，上也可能在区间0，外，所以有必要分类讨论.展示2 已知关于 x 的二次函数 f(
6、x)1ax24x1(0 x1)的最大值为 M，最小值为 m，求 Mm.【解析】f(x)1ax24x11a(x2a)2(14a)(0 x1)，顶点坐标(2a,14a)，f(0)1，f(1)1a3，当 2a0，即 a0 时，Mmf(0)f(1)41a；当 02a12，即 0a14时，Mmf(1)(14a)4a1a4；当122a1，即141，即 a12时，Mmf(0)f(1)41a.综上，Mm41a，a0，4a1a4，0a14，4a，1412.方法点拨：二次函数在给定区间上的最值问题的解题步骤：把二次函数式配方，找出对称轴方程；分情况讨论对称轴与所给区间的关系；结合二次函数图象、单调性求解.在解题过
7、程中，注意合理运用换元法、配方法、分类讨论等方法.本课的主要考点有二次函数的解析式、二次函数的图象及其应用、二次函数在限定区间上的最值解题思想方法有数形结合、分类讨论、等价转化、函数与方程结合同时常用到配方法、换元法等等解决二次函数问题，最关键是抓住“三点一轴”(三点指的是区间的两个端点和图象顶点，一轴是对称轴).(2011 江西文)设函数 f(x)13x3mx2nx，(1)如果函数 g(x)f(x)2x3 在 x2 处取得最小值5，求函数 f(x)的解析式；(2)如果 mn10(m，nN*)，函数 f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求实数 m 和 n 的值(注：区间(a，b)的长度为b
8、a)【解析】(1)f(x)13x3mx2nx，f(x)x22mxn.又函数 g(x)f(x)2x3x2(2m2)xn3在 x2处取极值，则 g(2)2(2)(2m2)0m3.又在 x2 处取最小值5.则 g(2)(2)2(2)4n35n2.f(x)13x33x22x.(2)要使函数 f(x)13x3mx2nx 单调递减，则 f(x)x22mxn0.又单调递减区间的长度是正整数，设方程 f(x)x22mxn0 的两根为 a，b，即有 ba 为区间长度又 ba ab24ab 4m24n2 m2n(m，nN*)又 ba 为正整数且 mn10，所以 m2，n3 或 m3，n5 符合2(2010江苏)设
9、a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|，(1)若f(0)1，求实数a的取值范围；(2)求函数f(x)的最小值；(3)设函数h(x)f(x)x(a，)，直接写出(不需给出演算步骤)关于x的不等式h(x)1的解集【解析】(1)因为f(0)1，则a|a|1a0，a21a1.故实数a的取值范围为(，1(2)当xa时，f(x)3x22axa2，f(x)minfa，a0，fa3，a02a2，a0，2a23，a0；当xa时，f(x)x22axa2，f(x)minfa，a0，fa，a02a2，a0，2a2，a0.综上，f(x)min2a2，a0，2a23，a0.(3)当x(a，)时，由h(x)1，得3x22axa210，4a212(a21)128a2.当a 62 或a 62 时，0，解集为(a，)；当 62 a0，得xa 32a23xa 32a230，xa.讨论，得当a22，62时，解集为(a，)；当a 62，22 时，解集为a，a 32a23a 32a23，；当a 22，22 时，解集为a 32a23，.
