1、考 点 串 串 讲1圆的标准方程平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点就是圆心，定长就是半径，如图所示，设圆心是 C(a，b)，半径是 r，则圆的方程为(xa)2(yb)2r2.注意事项(1)上面方程就称为圆的标准方程(2)如果圆心在原点，这时 ab0，圆的方程为 x2y2r2.(3)圆心 C(a，b)是定位条件，半径是定形条件(4)确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于 a，b，r 的方程组，需要三个独立条件2圆的一般方程把圆的标准方程(xa)2(yb)2r2 展开，得 x2y22ax2bya2b2r20，可见，任何一个圆的方程可写成x2y2DxEyF0将配方化为(xD2)
2、2(yE2)2D2E24F4(1)当 D2E24F0 时，表示以(D2，E2)为圆心，12D2E24F为半径的圆；(2)当 D2E24F0 时，表示一个点(D2，E2)；(3)当 D2E24F0 时，不表示任何图形从上可看出，当 D2E24F0 时，方程表示一个圆，方程叫做圆的一般方程圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：()x2 和 y2 的系数相等，不等于 0；()没有交叉项 xy.以上两点是二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的必要条件，而不是充分条件，还需要加上(DA)2(EA)24FA 0，即 D2E24AF0.(4)常见圆的
3、方程圆心在原点的圆，标准方程：x2y2r2；一般方程：x2y2r20.过原点的圆，标准方程：(xa)2(yb)2a2b2；一般方程：x2y2DxEy0.圆心在 x 轴上的圆，标准方程：(xa)2y2r2；一般方程：x2y2DxF0.圆心在 y 轴上的圆，标准方程：x2(yb)2r2；一般方程：x2y2EyF0.与 x 轴相切的圆，标准方程：(xa)2(yb)2b2；一般方程：x2y2DxEy14D20.与 y 轴相切的圆，标准方程：(xa)2(yb)2a2；一般方程：x2y2DxEy14E20.3点和圆的位置关系设点 P(x0，y0)，圆的方程为(xa)2(yb)2r2，点和圆的位置主要是利用
4、点到圆心的距离与圆的半径的大小来判断，如图所示(1)|PC|x0a2y0b2r，即(x0a)2(y0b)2r2点在圆内；(2)|PC|x0a2y0b2r，即(x0a)2(y0b)2r2点在圆上；(3)|PC|x0a2y0b2r，即(x0a)2(y0b)2r2点在圆外如果把圆的方程换成一般式 x2y2DxEyF0 则表述为如下形式：x20y20Dx0Ey0F0点在圆内；x20y20Dx0Ey0F0点在圆上；x20y20Dx0Ey0F0点在圆外4直线和圆的位置关系(1)判断直线和圆的位置关系有两种方法，一种侧重代数方法，一种侧重从几何角度入手方法一：设直线方程为 AxByC0，圆的方程为 x2y2
5、DxEyF0，联立直线和圆的方程消 y 得关于 x 的一元二次方程为 ax2byc0，其判别式为，则：0相交；0相切；0相离方法二：(几何法)如图所示，直线方程为 AxByC0，圆 C的方程为(xa)2(yb)2r2.圆心 O 到直线 l 的距离 d|AaBbC|A2B2，则：dr相交；dr相切；dr相离其实圆与直线的位置关系更多采用几何法，当直线与圆相交时弦长的算法也更多地采用几何法，即弦长2 r2弦心距2.(2)圆的切线方程若圆的方程为 x2y2r2，点 P(x0，y0)在圆上，则过 P 点且与圆 x2y2r2 相切的切线方程为 x0 xy0yr2.注：点 P 必须在圆 x2y2r2 上若
6、圆的方程为 x2y2DxEyF0，点 P(x0，y0)在圆上，则过 P 点且与该圆相切的切线方程为x0 xy0yDxx02Eyy02F0.若点 P(x0，y0)在圆(xa)2(yb)2r2(r0)外，过 P 点且与圆相切的直线有两条，具体求法为：设切线方程为 yy0k(xx0)(斜率存在时)，利用圆心到切线的距离 d 等于半径 r，列出方程，求出 k.当斜率不存在时，结合图形求出若已知切线斜率 k，求圆的切线方程，则设斜截式 ykxb，利用上述中方法导出方程求出 b.5圆和圆的位置关系设两圆的半径分别为 R、r(Rr)，圆心距为 d，两圆的方程组成的方程组为 M.这时，两圆的位置关系如下表：位
7、置关系几何特征代数特征外离dRrM 无实数解外切dRrM 有一组实数解相交RrdRrM 有两组实数解内切dRrM 有一组实数解内含dRrM 无实数解6.圆系方程(1)以(a，b)为圆心的同心圆系方程是(xa)2(yb)22(R，且 0)(2)与圆 x2y2DxEyF0 同心的圆系方程是 x2y2DxEy0.(3)过同一定点(a，b)的圆系方程是(xa)2(yb)21(xa)2(yb)0.(4)过直线 AxByC0 与圆 x2y2DxEyF0 的交点的圆系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0.(5)过两圆 C1：x2y2D1xE1yF10 和 C2：x2y2D2xE2yF20 的交点的圆系方
8、程是x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)该圆系方程中不含有圆 C2，因此应用该圆系方程时，要注意检验 C2 是否满足题意，以防漏解特别地，在该圆系方程中：当 1 时，方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20 为两圆公共弦所在直线的方程；当两圆 C1、C2 相切(内切或外切)时，方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20 为过两圆切点的切线方程.典 例 对 对 碰题型一 圆的标准方程例 1 求圆心在直线 2xy30 上，且过点(5,2)和点(3，2)的圆的方程解析 因为条件与圆心有直接关系，因此设圆的标准方程即可解决问题解法一：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则2
9、ab30，5a22b2r2，3a22b2r2.解得a2，b1，r 10.所以，圆的方程为(x2)2(y1)210.解法二：因为圆过 A(5,2)、B(3，2)两点，所以圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上线段 AB 的垂直平分线方程为 y12(x4)设所求圆的圆心坐标为 C(a，b)，则有2ab30，b12a4，解得a2，b1.所以 C(2,1)，r|CA|522212 10.故所求圆的方程为(x2)2(y1)210.点评 确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法其中，选标准是指根据已知条件选恰当的圆的方程的形式，进而确定其中三个参数.变式迁移 1求满足下列条件的圆的方
10、程：(1)圆心在 x 轴上，半径为 5，且过点 A(2，3)；(2)过点 A(1,2)和 B(1,10)，且与直线 x2y10 相切解析(1)设圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆的方程为(xa)2y252.点 A 在圆上，(2a)2(3)225，解得 a2 或 a6.故所求圆的方程为(x2)2y225 或(x6)2y225.(2)设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，线段 AB 的垂直平分线为 y6，而所求圆的圆心在直线 y6 上，所以圆心坐标为(a,6)因为直线 x2y10 与圆相切，所以|a261|14 a12622，解得 a17，a23，r2180，r2220.所求圆的方程为(x7)
11、2(y6)280，或(x3)2(y6)220题型二 圆的一般方程例 2 求经过 A(4,2)、B(1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程解析 已知圆过两点，且圆心不明确，故可用一般式求之设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0.令 y0，得 x2DxF0，圆在 x 轴上的截距之和为 x1x2D.令 x0，得 y2EyF0，圆在 y 轴上的截距之和为 y1y2E.由题设 x1x2y1y2(DE)2，DE2.又 A(4,2)、B(1,3)在圆上，1644D2EF0，19D3EF0.由解得 D2，E0，F12，故所求圆的方程为 x2y22x120.点评 用待定系数法求圆的方程有两
12、种不同的选择：一般地，已知圆上三点时用一般方程；已知圆心或半径关系时，用标准方程.变式迁移 2若方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则 a 的取值范围是()Aa2，或 a23 B23a0C2a0 D2a23答案 D解析 因为方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则a2(2a)24(2a2a1)3a24a40，即 3a24a40.2a23.题型三 直线与圆的位置关系例 3 已知圆 x2y28，定点 P(4,0)，问过 P 点的直线的倾斜角在什么范围内取值时，该直线与已知圆(1)相切；(2)相交；(3)相离，并写出过 P 点的切线方程分析 直线与圆的位置关系可用圆心到直线的距离来
13、解或用判别式来解解析 设直线的斜率为 k，倾斜角为，则过 P 点的直线方程为 yk(x4)即 kxy4k0.由圆心到直线的距离d|4k|k214|k|1k2.(1)相切：则 dr，即 4|k|1k22 2，k21，k1，4，或 34.即当 4，或 34 时，直线与圆相切，切线方程为xy40，或 xy40.(2)相交：则 dr，即 4|k|1k22 2，k21，1k1.0，4)(34，)此时，直线与圆相交(3)相离：则 dr，即 4|k|1k22 2，k21，k1，或 k1.(4，2)(2，34)又当 2时，直线 x4 与圆相离，当(4，34)时，直线与圆相离点评 此题也可用判别式 0，0，0
14、来解，但要注意倾斜角的范围及斜率不存在时的特殊性.变式迁移 3已知圆 O：x2y22，直线 yxb，当 b 为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)无公共点解析 解法一 圆心 O(0,0)到直线 yxb 的距离为 d|b|2，圆的半径 r 2.(1)当 dr，即2b2 时，直线与圆相交，有两个公共点；(2)当 dr，即 b2 时，直线与圆相切，有一个公共点；(3)当 dr，即 b2 或 b2 时，直线与圆相离，无公共点解法二 联立两个方程得方程组x2y22，yxb，消去 y 得，2x22bxb220，164b2.(1)当 0，即2b2 时，有两个公共点；(2)当 0
15、，即 b2 时，有一个公共点；(3)当 0，即 b2 或 b2 时，无公共点.题型四 圆与圆的位置关系例 4 已知 M，N 分别是圆 C1：(x3)2y24 和圆 C2：x2(y4)21 上的两动点，则|MN|的最小值为()A1 B2C3 D4解析 两圆心分别为 C1(3,0)和 C2(0,4)，半径分别为 2 和 1，圆心距|C1C2|5，故两圆相离，|MN|的最小值为|C1C2|212，故选 B.答案 B点评 解决此题的关键是判断两圆的位置关系，从而得出两点间的最小距离为两圆心的距离去掉两个半径，这是将动态问题静化处理的典例.变式迁移 4两个圆 C1：x2y22x2y20 与 C2：x2y
16、24x2y10 的公切线有且仅有()A1 条 B2 条C3 条 D4 条答案 B解析 两个圆的公切线条数和两圆的位置有关，相离时有 4条公切线；相切时有 3 条公切线；相交时有 2 条公切线；内切时只有 1 条公切线；内含时没有公切线两圆化成标准方程是(x1)2(y1)24，(x2)2(y1)24，圆心距 d 212112 1322，所以两圆相交，故选 B.题型五 圆系方程的运用例 5 求过直线 2xy40 和圆 x2y22x4y10 交点且面积最小的圆的方程分析 过直线和圆的交点的圆的方程可用圆系方程处理利用函数的思想进行思考解析 解法一：令过直线 2xy40 和圆 x2y22x4y10 交
17、点的圆系方程为：x2y22x4y1(2xy4)0，即：x2y22(1)x(4)y140.r12 41242414125852165.当 85时，rmin 25，所求方程为(x135)2(y65)245.解法二：因直线和圆固定，直线被已知圆截得弦长固定，所以圆的圆心到已知直线距离最小时所求圆的半径最小此时圆面积最小，所以当所求圆的圆心在直线 2xy40 上时，圆的半径最小令动圆的方程为：x2y22(1)x(4)y140，圆心为(1)，42)，代入 2xy40，得2(1)42 40，解得 85.代入动圆的方程得 x2y2265 y125 y350.解法三：因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以此
18、二定点为直径端点的圆，于是解方程组2xy40，x2y22x4y10，得交点 A(115，25)，B(3,2)利用圆的直径式方程得(x115)(x3)(y25)(y2)0，化简整理，得(x135)2(y65)245.变式迁移 5求圆心在直线 3x4y10 上且过两圆 x2y2xy20 与x2y25 的交点的圆的方程解析 设所求圆的方程为 x2y2xy2(x2y25)0，化为一般式为x2y2 11x 11y251 0.D2121，E2121，圆心为(121，121)代入直线 3x4y10 中，得32142110，解得 32.把 32代入所设的方程中得：x2y22x2y110.所求圆的方程为 x2y
19、22x2y110.题型六 与圆有关的最值问题例 6 如果实数 x，y 满足 x2y24x10，求：(1)yx的最大值；(2)yx 的最小值；(3)x2y2 的最值解析(1)设yxk，得 ykx，所以 k 为过原点的直线的斜率又 x2y24x10 表示以(2,0)为圆心，半径为 3的圆，如图所示当直线 ykx 与已知圆相切且切点在第一象限时 k 最大此时：|CP|3，|OC|2.RtPOC 中，POC60，ktan60 3.yx的最大值为 3.(2)设 yxb，即为直线 yxb，b 为直线在 y 轴上的截距，如(1)图所示当直线 yxb 与圆有公共点时，当且仅当直线与圆相切，且切点在第四象限，b
20、 最小此时，圆心(2,0)到直线的距离为 3，即|2b|1212 3，解得 b 62 或 b 62(舍)yx 最小值为 62.(3)解法一：x2y2表示圆上一点到原点的距离，其最大值为 2 3，最小值为 2 3.(x2y2)max(2 3)274 3，(x2y2)min(2 3)274 3.解法二：由 x2y24x10 得(x2)2y23设x2 3cos，y 3sin(为参数)，则 x2y2(2 3cos)2(3sin)274 3cos.当 cos1 时，(x2y2)min74 3，当 cos1 时，(x2y2)max74 3.点评 涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一
21、般地：(1)形如 uybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2 的最值问题，可转化为动点到定点距离的最值问题.变式迁移 6已知 x、y 满足 y3 4xx2，则使 x2y2a0 恒成立的 a的取值范围是()A 54，54 B(，5C5，)D(，54答案 B解析 化简已知条件得(x2)2(y3)24(y3)要使得 x2y2a0 恒成立，则 2a(x2y)恒成立原题转化为求(x2y)的最小值，由圆的知识可知，该函数图象是以(2,3)为圆心，2 为半径的圆的下半圆用数形结合的方法容易知道当
22、 x4，y3 时(x2y)取得最小值为10，故 2a10，解得 a5，故选 B.【教师备课资源】题型七 与圆有关的参数问题例 7 已知方程 x2y22(t3)x2(14t2)y16t490(tR)的曲线是圆(1)求 t 的取值范围；(2)若点 P(3,4t2)恒在所给圆内，求 t 的取值范围解析(1)依题意得 4(t3)24(14t2)24(16t49)0，即7t26t10，解得17t1，故 t 的取值范围是(17，1)(2)将方程化为标准方程得(xt3)2(y14t2)27t26t1，故(3t3)2(4t214t2)27t26t1，即 8t26t0，解得 0t34，故 t 的取值范围是(0，
23、34)点评 在讨论含字母参数的圆的方程问题时，始终要把方程表示圆的条件作为前提.变式迁移 7若坐标原点在圆(xm)2(ym)24 的内部，求过圆心及点(1,0)的直线的斜率 k 的取值范围解析 因为坐标原点在圆的内部，所以原点到圆心的距离小于半径所以由(0m)2(0m)24，得 2m 2.故实数 m 的取值范围为m|2m 2k mm111m1，k(，2 2)(22，).题型八 与圆有关的轨迹问题例 8 已知定点 A(2,0)，点 P 在曲线 x2y21 上运动，AOP的平分线交 PA 于点 Q，其中 O 是坐标原点，求点 Q 的轨迹方程解析 设 Q(x，y)，P(x1，y1)，因为 OQ 是A
24、OP 的平分线，所以由平面几何知识可得PQ|OP|OA|QA，即PQ 12QA，AP3PQ，所以x123x13，y103y13，即x13x2 1，y13y2，代入 x21y211 并整理可得(x23)2y249，即为所求轨迹方程点评 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法：直接由题目提供的条件列出方程；定义法：根据圆、直线等定义列方程；几何法：利用圆与圆的几何性质列方程；代入法：找到所求点与已知点的关系(即相关点法)，代入已知点满足的关系式，此外还有交轨法、参数法等本题采用了相关点法，同时又结合了平面几何的一些性质，一定程度上降低了题目的运算难度.变式迁移 8一动圆过
25、定点 A(c,0)且与圆(xc)2y24a2(a0，且 ac)相切，求动圆圆心的轨迹方程，并讨论方程表示曲线的形状解析 设动圆圆心为 P(x，y)，已知圆圆心为 B(c,0)(1)当 ca 时，则有P 与B 外切：|PB|2a|PA|，B 内切于P：|PB|PA|2a.由，得|PB|PA|2a.根据双曲线的定义，P 点轨迹为双曲线，其方程为x2a2y2c2a21.(2)当 ca 时，P 内切于B|PA|PB|2a，根据椭圆的定义，知 P 点轨迹为椭圆，其方程为x2a2y2a2c21.方 法 路 路 通1待定系数法与数形结合是本节内容的重要方法，求圆的方程时，要根据条件准确地选用圆方程的形式，是
26、用圆的标准方程，还是一般式，还是圆的参数方程，当有定位，定量条件时一般选用标准式较好，当涉及求某些最值用参数形式较好2直线和圆的位置关系是这一部分的核心问题，常有两种方法：(1)几何法：半径 r，圆心到直线的距离为 d，dr相离；dr相切；dr相交(2)代数法：把直线和圆的方程联立得一个一元二次方程来判断0相交；0相切；0相离3弦长计算问题，也有两种方法：(1)几何法：运用弦心距离，半径及弦长一半构成直角三角形计算(2)代数法：八个字“联立方程，韦达定理”，弦长 1k2|x1x2|(k 是直线斜率)4求过一定点的圆的切线方程时，首先要判断这点和圆的位置关系，切不可乱套公式，当求圆外一点的切线方
27、程时，一定要讨论切线的斜率存在与否，要注意补上另一解，以免造成漏解，另外已知直线与圆相交时，求满足条件的参数时，要注意检验 0 这一条件5有关圆的一些常用结论：(1)圆(xa)2(yb)2r2 上一点 P(x0，y0)处的切线方程为：(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(2)以 M(x1，y1)、N(x2，y2)为直径的圆的直径式方程为：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.(3)过圆 x2y2DxEyF0(或(xa)2(yb)2r2)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切线长为d x20y20Dx0Ey0F x0a2y0b2r2.正 误 题 题 辨例已知圆的方程为 x2y2ax2y
28、a20，一定点为 A(1,2)，要使过定点 A(1,2)作圆的切线有两条，求 a 的取值范围错解 将圆的方程配方得(xa2)2(y1)243a24圆心 C 的坐标为(a2，1)，半径 r 为43a24当点 A(1,2)在圆外时，过点 A 可作圆的两条切线|AC|r，即1a2221243a24化简得 a2a90149350且 aR.故 a 的取值范围是 R.点击 要求 a 的取值范围应该同时满足两个条件，方程 x2y2ax2ya20，表示圆的充要条件是：a244a20，已知点 A 必须在圆外，即|AC|r 上述解答中忽视了充要条件导致了错误的出现正解 将圆的方程配方得(xa2)2(y1)243a24，圆心 C 的坐标为(a2，1)，半径 r43a24，条件是：43a20，过点 A(1,2)所作圆的切线有两条，则点 A必在圆外，即1a2221243a24化简得 a2a90由43a20a2a90解之得 2 33 a2 33aR2 33 a2 33故 a 的取值范围是(2 33，2 33).THANKS