1、第3课时 平面向量的数量积及平 面向量应用举例 1平面向量数量积的意义(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab，即ab_.规定0a0.当ab时，90，这时ab_.(2)ab的几何意义ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的_0|a|b|cos 投影|b|cos 的乘积【思考探究】1.b 在 a 上的投影是向量吗？提示：不是，b 在 a 上的投影是一个数量|b|cos，它可以为正，可以为负，也可以为 0.2向量数量积的性质(1)如果 e 是单位向量，则 aeea_(2)ab_且 ab0_.(3)aa_，|a|aa.(4)cosa，b_.(5)|
2、ab|_|a|b|.ab|a|b|a|cosa，eab0ab|a|23数量积的运算律(1)交换律ab_.(2)分配律(ab)c_.(3)对R，（ab）_baacbc(a)ba(b)【思考探究】2.数量积的运算满足结合律吗？提示：数量积的运算不满足结合律，即(ab)ca(bc)不成立这是由于(ab)c 表示一个与 c共线的向量，而 a(bc)表示一个与 a 共线的向量，因此(ab)c 与 a(bc)一般是不相等的4数量积的坐标运算设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则(1)ab_.(2)ab_.(3)|a|_.(4)cosa，b_.a1b1a2b2a21a22b21b22a1b1a2b2a1
3、b1a2b20a21a221(2010重庆卷)已知向量 a，b 满足 ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|()A0 B2 2 C4 D8解析：|2ab|2(2ab)24|a|24ab|b|2414048，|2ab|2 2.答案：B2已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a 与 b 的夹角是()A.6B.4C.3D.2解析：a(ba)aba22，ab2a23.cosab ab|a|b|31612，a 与 b 的夹角为3.答案：C3已知向量 a(1,2)，b(2，3)若向量 c满足(ca)b，c(ab)，则 c()A.79，73B.73，79C.73，79D.79，73解析：设 c(x，
4、y)，则 ca(x1，y2)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又 c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0.解得 x79，y73.答案：D4(2010江西卷)已知向量 a，b 满足|b|2，a与 b 的夹角为 60，则 b 在 a 上的投影是_解析：b 在 a 上的投影是|b|cos 602121.答案：15a(1,1)，b(3,4)，则 ab 的模为_，a与b的夹角的余弦值为_解析：ab(2,5)，|ab|225229.又 cos ab|a|b|3425 15 2 210.答案：29 210平面向量的数量积的运算向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式 ab|a|b|cos 来计算，二
5、是利用 abx1x2y1y2 来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用(1)在直角三角形 ABC 中，C90，AB5，AC4，求AB BC；(2)若 a(3，4)，b(2,1)，试求(a2b)(2a3b)解析：(1)在ABC 中，C90，AB5，AC4，故 BC3，且 cosABC35，AB 与BC 的夹角 ABC，AB BC|AB|BC|cos ABC 53359.(2)方法一：a2b(3，4)2(2,1)(1，6)，2a3b2(3，4)3(2,1)(12，5)，(a2b)(2a3b)(1)12(6)(5)18.方法二：(a2b)(2a3b)2a2ab6b2
6、232(4)232(4)16(2212)18.【变式训练】1.(1)(2009陕西卷)在ABC中，M 是 BC 的中点，AM1，点 P 在 AM上且满足AP2PM，则AP(PBPC)等于()A.49 B.43C43D49(2)A、B、C 为平面内不共线的三点，若向量AB(1,1)，n(1，1)，且 nAC 2，则 nBC等于()A2B2C2 或 2D0解析：(1)由AP2PM 知，P 为ABC 的重心，根据向量的加法，PB PC 2PM，则AP(PBPC)2APPM 2|AP|PM|cos 022313149.故选 A.(2)AB n110，且 nAC n(AB BC)nAB nBC nBC
7、2，nBC 2，故选 B.答案：(1)A(2)B平面向量夹角与垂直1当 a，b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角，需求得 ab 及|a|，|b|或得出它们的关系2若已知 a 与 b 的坐标，则可直接利用公式cos x1x2y1y2x21y21 x22y22来求夹角；非零向量 abab0 x1x2y1y20.已知 a、b、c 是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)，(1)若|c|2 5，且 ca，求 c 的坐标；(2)若|b|52，且 a2b 与 2ab 垂直，求 a与 b 的夹角.解析：(1)设 c(x，y)，由 ca 和|c|2 5可得1y2x0 x2y220，x2y4 或x2y4，
8、c(2,4)或 c(2，4)(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即 2a23ab2b20.2|a|23ab2|b|20，253ab2540，ab52，cos ab|a|b|1，0，.【变式训练】2.已知|a|1，ab12，(ab)(ab)12，求：(1)a 与 b 的夹角；(2)ab 与 ab 的夹角的余弦值解析：(1)(ab)(ab)|a|2|b|21|b|212，|b|212，|b|22.设 a 与 b 的夹角为，则 cos ab|a|b|121 22 22.45.(2)|a|1，|b|22，|ab|2a22abb212121212.|ab|22.又|ab|2a22abb2
9、12121252.|ab|102.设 ab 与 ab 的夹角为 则cos abab|ab|ab|1222 102 55.求平面向量的模利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2；(3)若 a(x，y)，则|a|x2y2.(2009湖北卷)已知向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，c(1,0)(1)求向量 bc 的长度的最大值；(2)设 4，且 a(bc)，求 cos 的值解析：(1)方法一：由已知得 bc(cos 1，sin)，则|bc|2(cos 1)2sin22(1cos)1cos 1，0|
10、bc|24，即 0|bc|2.当 cos 1 时，有|bc|max2，所以向量 bc 的长度的最大值为 2.方法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2.当 cos 1 时，有 bc(2,0)，即|bc|2，所以向量 bc 的长度的最大值为 2.(2)方法一：由已知可得 bc(cos 1，sin)，a(bc)cos cos sin sin cos cos()cos.a(bc)，a(bc)0，即 cos()cos.由 4，得 cos4 cos 4，即 42k4(kZ)，2k2或 2k，kZ.于是 cos 0 或 cos 1.方法二：若 4，则 a22，22.又由 b(cos，sin)，c(1,
11、0)，得 a(bc)22，22(cos 1，sin)22 cos 22 sin 22.a(bc)，a(bc)0，即 cos sin 1.sin 1cos，平方后化简得 cos(cos 1)0，解得 cos 0 或 cos 1.经检验，cos 0 或 cos 1 即为所求.【变式训练】3.已知向量 a(sin x,1)，bcos x，12.(1)当 ab 时，求|ab|的值；(2)求函数 f(x)a(ba)的最小正周期解析：(1)由已知得 ab0，|ab|ab2 a22abb2 a2b2sin2x1cos2x1432.(2)f(x)aba2sin xcos x12sin2x112sin 2x1c
12、os 2x232 22 sin2x4 2，函数 f(x)的最小正周期为.1数量积概念的理解(1)两个向量的数量积是一个数量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，结果可正、可负、可为零，其符号由夹角的余弦值确定计算数量积的关键是正确确定两向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则要通过平移，使两向量符合以上条件(2)两向量 a，b 的数量积 ab 与代数中 a，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”(3)b 在 a 上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于 0.2对数量积运算律的理解(1)当 a0 时，由 ab0 不一定推出 b0，这是因为对任一个与 a 垂直的向量 b，都有
13、ab0.当 a0 时，abac 也不一定推出 bc，因为由abac，得 a(bc)0，即 a 与(bc)垂直也就是向量的数量积运算不满足消去律(2)对于实数 a，b，c，有(ab)ca(bc)，但对于向量来说，(ab)c 与 a(bc)不一定相等，这是因为(ab)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(bc)表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，所以(ab)c 与 a(bc)不一定相等从近两年的高考试题来看，向量的坐标运算及向量共线的坐标表示是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，属于中低档题目，常与向量的数量积运算等交汇命题，主要考查向量的坐标运算及向量共线条件的
14、应用同时又注重对函数与方程、转化化归等思想方法的考查(本小题满分 12 分)(2010江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)，(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长(2)设实数 t 满足(AB tOC)OC 0，求 t 的值【规范解答】(1)AB(3,5)，AC(1,1)，求两条对角线的长即求|AB AC|与|AB AC|的大小.2 分由AB AC(2,6)，得|AB AC|2 10，4 分由AB AC(4,4)，得|AB AC|4 2，6 分(2)OC(2，1)，(AB tOC)OC AB OC tOC 2，易求AB O
15、C 11，OC 25，10 分由(AB tOC)OC 0 得 t115.12 分【阅后报告】解答本题只要求出向量坐标，再求其模，本题很易得分；试求以 AB，AC为邻边的平行四边形的面积1(2010湖南卷)若非零向量 a，b 满足|a|b|，(2ab)b0，则 a 与 b 的夹角为()A30 B60C120D150解析：由(2ab)b0，得 2abb20，设a 与 b 的夹角为，2|a|b|cos|b|20.cos|b|22|a|b|b|22|b|212，120.答案：C2(2010全国新课标卷)a，b 为平面向量，已知 a(4,3)，2ab(3,18)，则 a，b 夹角的余弦值等于()A.86
16、5 B 865C.1665D1665解析：a(4,3)，2a(8,6)又 2ab(3,18)，b(5,12)，ab203616.又|a|5，|b|13，cosa，b 165131665.答案：C3(2010四川卷)设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，BC 216，|AB AC|AB AC|，则|AM|()A8B4C2D1解析：BC 216，|BC|4.又|AB AC|CB|4，|AB AC|4.M 为 BC 中点，AM 12(ABAC)，|AM|12|AB AC|2.答案：C4(2010北京卷)a，b 为非零向量，“ab”是“函数 f(x)(xab)(xba)为一次函数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：因为 f(x)(xab)(xba)(ab)x2(|b|2|a|2)xab.当 f(x)为一次函数时，必须满足 ab0，|b|2|a|20，即ab，|b|a|，故 f(x)为一次函数时一定有 ab.当 ab 且|a|b|时，f(x)为常函数，所以 ab 不是 f(x)为一次函数的充分条件，故选 B.答案：B练规范、练技能、练速度