1、1几类不同增长的函数模型在区间(0，)上，尽管函数 yax(a1)，ylogax(a1)和 yxn(n0)都是_函数，但它们的_不同，而且不在同一个“档次”上随着 x 的增大，函数 yax(a1)的增长速度_，会超过并远远大于函数 yxn(n0)的增长速度，而函数 ylogax(a1)的增长速度则会_因此，总会存在一个 x0，当 xx0 时，就有_增增长速度越来越快越来越慢logaxxnax2应用已知的函数模型解决问题(1)思维过程(2)解题程序读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型熟悉基本数学模型，正
2、确进行建“模”是解题的关键解：求解数学模型，得到数学结论注意各变量的实际意义答：将数学结论还原为实际问题的结果(3)常见的应用函数模型解决的问题营销问题：利润_；行程问题：路程 s_；增长率(降低率)问题：单利问题：设本金为 P，期利率为 r，则 n 期后，本利和 Sn_；复利问题：设本金为 P，期利率为 r，则经 x 期后，本利和 y_.销售价进货价v tP(1nr)P(1r)x几何问题：与平面几何、立体几何、解析几何相关的问题；工程设计问题；决策问题；相关学科问题3自己建立函数模型解决问题基本过程：(1)收集_；(2)画_；(3)选择_；(4)求函数模型；(5)检验，若符合实际情况则用函数
3、模型解决实际问题，若不符合实际情况，则从(3)重新开始数据散点图 函数模型考点一 一次函数、二次函数的应用示范1 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，每吨为 1.80 元；当用水超过 4 吨时，超过部分每吨3.00 元某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为 5x,3x 吨，(1)求 y 关于 x 的函数解析式；(2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费分析(1)分段写出 y 关于 x 的函数解析式；(2)求出 x 再分别确定甲、乙的水量和水费解析(1)当甲的用水量不超过 4 吨时，即 5x4，乙的用水最也不超
4、过 4 吨，y1.8(5x3x)14.4x；当甲的用水量超过 4吨，乙的用水量不超过 4 吨，即 3x4 且 5x4 时，y 41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.当乙的用水量超过 4 吨，即 3x4 时，y241.83x(3x4)(5x4)24x9.6.所以 y 14.4x 0 x45，20.4x4.8 45x43，24x9.6 x43.(2)由于 yf(x)在各段区间上均单调递增当 x0，45 时，yf45 11.52；当 x45，43 时，yf43 22.4；当 x43，时，令 24x 9.626.4，解得 x1.5.所以甲户用水量为 5x7.5 吨，付费 S141.83.53
5、17.70(元)；乙户用水量为 3x4.5 吨，付费 S241.80.538.70(元)【点评】分段函数每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值.展示1(2011 深圳一模)如右图所示，有一正方形钢板 ABCD缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线 OC 是以直线 AD 为对称轴、线段 AD 的中点 O 为顶点的抛物线的一部分工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形，若正方形的边长为 2 米，如何画切割线 EF，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值【分析】本小题主要考查二次函数的
6、切线、最值等知识，考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数学思想方法以及将实际问题转化为数学问题的能力【解析】法一 以 O 为原点、直线 AD 为 y 轴，建立如右图所示的平面直角坐标系，依题意可设抛物线弧 OC 的方程为 yax2(0 x2)点 C 的坐标为(2,1)，22a1，a14.故边缘线 OC 的方程为 y14x2(0 x2)要使梯形 ABEF 的面积最大，则 EF 所在的直线必与抛物线弧 OC 相切，设切点坐标为 Pt，14t2(0t2)，y12x，直线 EF 的方程可表示为 y14t212t(xt)，即 y12tx14t2.由此可求得 E2，t14t2，F0，14t2.|AF|14
7、t21 114t2，|BE|t14t2 1 14t2t1.设梯形 ABEF 的面积为 S(t)，则S(t)12|AB|(|AF|BE|)114t2 14t2t112t2t212(t1)25252.当 t1 时，S(t)max52.S(t)的最大值为 2.5.此时|AF|0.75，|BE|1.75.故当 AF0.75 m，BE1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为 2.5 m2.法二 以 A 为原点、直线 AD 为 y 轴，建立如右图所示的平面直角坐标系，依题意可设抛物线弧 OC 的方程为 yax21(0 x2)点 C 的坐标为(2,2)，22a12，a14.故边缘线 OC
8、的方程为 y14x21(0 x2)要使梯形 ABEF 的面积最大，则 EF 所在的直线必与抛物线弧 OC 相切，设切点坐标为 Pt，14t21(0t2)，y12x，直线 EF 的方程可表示为 y14t2112t(xt)，即 y12tx14t21.由此可求得 E2，t14t21，F0，14t21.|AF|114t2，|BE|14t2t1.设梯形 ABEF 的面积为 S(t)，则S(t)12|AB|(|AF|BE|)114t2 14t2t112t2t212(t1)25252.当 t1 时，S(t)max52.S(t)的最大值为 2.5，此时|AF|0.75，|BE|1.75.故当 AF0.75 m
9、，BE1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为 2.5 m2.方法点拨：解决函数应用题的步骤：阅读理解题意；建立数学模型一次函数、二次函数模型；求解数学模型，注意求最值的常用方法；回答问题得出结果.考点二 指数函数、对数函数、幂函数模型的应用示范2 资料表明：某电脑公司生产 A 种型号的家庭电脑，1995 年平均每台电脑生产成本为 5 000 元，并以纯利润 20%标定出厂价(1996 年初生产成本与 1995 年相同).1996 年开始，公司更新设备，大力推进技术创新，并加强企业内部管理，从而生产成本逐年降低，2000 年平均每台 A 种型号的家庭电脑尽管出厂价仅为 199
10、6 年出厂价的 60%，但却实现了纯利润 50%的高收益，(1)求 2000 年每台电脑的生产成本；(2)以 1995 年生产成本为基数，求 1995 年至 2000 年生产成本平均每年降低的百分数(精确度 0.01)分析 关键要找出成本、利润率、平均每年降低率之间的关系解析(1)1995 年每台电脑的出厂价为5 000(120%)6 000(元)，2000 年每台电脑的出厂价为600060%3 600(元)，设 2 000 年每台电脑的生产成本为 x 元，依题意得 x(150%)3 600，解之得 x2 400(元)(2)设 1995 年至 2000 年平均每年生产成本降低的百分数为a，依题
11、意得 5 000(1a)52 400，(1a)51225，1a512250.863 5，a0.136 50.1414%.答：(1)2000 年每台电脑的生产成本为 2 400 元(2)1995 年至 2000 年平均每年生产成本降低 14%.【点评】有关增长率或降低率问题，其函数模型应是指数函数模型.展示2(2011 湖北)里氏震级 M 的计算公式为 Mlg AlgA0，其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0 是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1 000，此时标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为_级；9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振
12、幅的_倍【答案】6 10 000【解析】Mlg Alg A0lg 1 000lg 0.0016，当为 9 级地震时，则有lg A9Mlg A0 9lg A0.当为 5 级地震时，则有lg A5Mlg A0 5lg A0.故 A9109 lg 0A，A5105 lg 0A.则A9A510410 000.方法点拨：解决问题的步骤同考点一.注意建立的数学模型是“指、对、幂”的函数模型，求解时注意这些函数的性质.本课的主要考点有由已知的函数模型，如一次函数模型、二次函数模型、三次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型解决实际问题，或者从提供的数据中自行建立函数模型解决求函数值、求最值与值域、
13、解不等式、求最优策略等问题.1(2011湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：，其中M0为t0时铯137的含量，已知t30时，铯137的含量的变化率是10ln 2(太贝克/年)，则M(60)()A5太贝克B75ln 2太贝克C150ln 2太贝克D150太贝克【答案】D【解析】因为 M(t)130ln 2M02 30t，则M(30)130ln 2M023030 10ln 2.解得M0600.所以 M(t)6002 30t.那么 M(60)600
14、26030 60014150.故选 D.2(2011 湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/时，研究表明，当20 x200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数(1)当 0 x200 时，求函数 v(x)的解析式；(2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(
15、精确到 1 辆/时)【解析】(1)由题意，当 0 x20 时，v(x)60；当 20 x200 时，设 v(x)axb.由已知，得200ab0，20ab60.解得a13，b2003.故函数 v(x)的解析式为v(x)60，0 x20，13200 x，20 x200.(2)依题意并由 (1)，可得f(x)60 x，0 x20，13x200 x，20 x200.当 0 x20 时，函数 f(x)为增函数；当 x20 时，其最大值为 60201 200；当 20 x200 时，f(x)13x(200 x)13x200 x2210 0003，当且仅当 x 200 x，即 x100 时，等号成立所以当 x100 时，函数 f(x)在区间20,200上取得最大值10 0003.综上，当 x100 时，函数 f(x)在区间0,200上取得最大值10 00033 333，即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3 333 辆/时