1、1一般地，设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有_，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增(或减)函数区间 D 叫做函数 f(x)的_f(x1)f(x2)或 f(x1)f(x2)单调区间2证明函数的单调性通常用定义法或导数法用定义法证明函数 f(x)在区间 I 上单调递增(减)，必须在区间 I 上_，然后论证 f(x1)与 f(x2)的大小通常证明 f(x1)f(x2)_或者证明fx1fx2_，在 f(x2)0 时，便可得 f(x1)f(x2)或 f(x1)f(x2)任取 x1，x2 且 x1x20(或0)
2、1(或1)3复合函数的单调性，情况如下表所示.函数定义域单调性ug(x)xA增 减 增 减yf(u)uB增 减 减 增yflg(x)xA增 增 减 减其中 A 是函数 g(x)的定义域也是函数 flg(x)的_，B 是函数 f(u)的定义域也是函数 g(x)的_定义域值域4几个常用的结论(1)函数 f(x)与 f(x)c(c 是常数)具有_的单调性；(2)当 c0 时，函数 cf(x)与 f(x)有_的单调性；当 c0 时，函数 cf(x)与 f(x)有_的单调性；(3)若函数 f(x)0，函数 f(x)与 1fx在对应的区间上有_的单调性；相同相同相反相反(4)若函数 f(x)0，函数 fx
3、与 f(x)有_的单调性；(5)若函数 f(x)与 g(x)单调性相同，则函数 f(x)g(x)与它们的单调性_；(6)若函数 f(x)与 g(x)单调性相反，则函数 f(x)g(x)与 f(x)的单调性_相同相同相同考点一 求函数的单调区间示范1 函数f(x)1|x|2的单调递增区间是_分析 注意函数 f(x)是偶函数，作出草图，可知单调性解析 当 x0 时，f(x)1x2，又 f(x)是偶函数，f(x)的图象大致为，所以单调增区间为(，0答案(，0【点评】本题用的是数形结合法展示1(2010 北京)给定函数yx12，ylog12(x1)，y|x1|，y2x1，其中在区间(0,1)上单调递减
4、的函数序号是()ABCD【答案】B【解析】结合图象可得示范2 求函数 ylog2(43xx2)的单调区间分析 这是二次函数 t43xx2 与对数函数 ylog2t 的复合函数，可以利用复合函数的单调性的结论求解解析 设 t43xx2，则 ylog2t.ylog2t 是增函数，只须求 43xx20 时，t43xx2 的单调区间即可由 43xx20，得1x4.由二次函数图象知1x32时，t 为增函数，32x4 时 t为减函数所以函数 y 的单调增区间是1，32，单调减区间是32，4.【点评】注意真数要大于零求单调区间，要先求定义域展示2 讨论函数 f(x)loga(x21)(a0 且 a1)的单调
5、性【解析】设 tx21，则 ylogat.由 x210，得 x1 或 x1.当 x(1，)时，函数 t 为增函数，当 x(，1)时，函数 t 为减函数当 a1 时，函数 ylogat 为增函数，所以函数 f(x)在区间(1，)上为增函数，在区间(，1)上为减函数在 0a1 时，函数 ylogat 为减函数，所以函数 f(x)在区间(1，)上为减函数，在区间(，1)上为增函数方法点拨：求函数的单调区间的常用方法：数形结合法；求导法；定义法；利用复合函数单调性的结论考点二 单调性的证明示范3 已知函数 f(x)|x1|(x3)，(1)求函数 f(x)的单调区间，并针对单调递减区间给予证明；(2)求
6、函数 f(x)在区间3,0上的最值分析 带有绝对值符号，一般要分类去掉绝对值，先通过图象，求单调区间，然后用定义证明解析(1)f(x)x1x3，x1，1xx3，x1.结合 f(x)的图象，如图所示，知 f(x)的增区间是(，1和1，)，减区间是1,1法一(定义法)设1x1x21，f(x1)f(x2)|x11|(x13)|x21|(x23)(x11)(x13)(x21)(x23)x22x212(x2x1)(x2x1)(x2x12)x2x10，x2x120，(x2x1)(x2x12)0.f(x1)f(x2)f(x)在1,1上是减函数法二(导数法)当 x1,1时，f(x)(x1)(x3)x22x3.
7、当 x(1,1)时，f(x)2x22(x1)0，f(x)在(1,1)内是减函数又 f(x)在 x1 处都是连续的，f(x)在1,1上是减函数(2)当 x3,0时，f(x)(x1)(x3)x22x3 是连续函数，由 f(x)2x20 得 x1.f(3)0,f(1)4,f(0)3，f(x)在3,0上的最大值为 4，最小值为 0.【点评】(1)求函数的单调区间，常用方法有数形结合法或求导法若是复合函数，则可利用内外函数的单调性解之(2)证明单调性，一般可用定义也可用求导法，求导法优于定义法(3)连续函数在闭区间上的最值，只需在端点或可能极值点处验证即可展示3 设函数 f(x)xaxb(ab0)，求函
8、数 f(x)的单调区间，并用定义证明之【解析】f(x)xbabxb1abxb(xb)，由图象可知函数 f(x)在区间(，b)上为减函数，函数在区间(b，)上为减函数证明：x1，x2(，b)且 x1x2，f(x1)f(x2)x1ax1bx2ax2babx2x1x1bx2b.ab0，ab0.x2x10，x1b0，x2b0，abx2x1x1bx2b0.f(x1)f(x2)函数 f(x)在区间(，b)上为减函数同理可证函数 f(x)在区间(b，)上为减函数方法点拨：单调性的证明要利用定义或求导法，利用定义证明单调性的基本步骤是“取值作差变形定号判断”.变形过程常通过因式分解、配方、有理化等手段，直到便于判断差的符号为止.考点三 单调性的应用示范4(2009 山东)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)且在区间0,2上是增函数，则()A0f(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(0)0，所以f(1)0，即 f(25)f(80)K.取函数 f(x)2|x|.当 K12时，函数 fK(x)的单调递增区间为()A(，0)B(0，)C(，1)D(1，)【答案】C【解析】函数 f(x)2|x|12|x|，作图易知 f(x)K12x(，11，)，在区间(，1)上是单调递增的故选 C.