1、周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有_，那么函数 f(x)就叫做周期函数，_叫做这个函数的周期_也是函数 f(x)的周期，即有_注意：若函数 f(x)对定义域中任意 x 满足 f(xa)f(x)或 f(xa)1fx，则函数 f(x)是周期函数，周期为_f(xT)f(x)TkT(kZ，k0)f(xkT)f(x)2a考点 函数周期性的判断及其应用示范1 已知函数 f(x)的定义域为 R 且函数 f(x)与 f(x1)都是奇函数，则函数 f(x)的周期是_分析 求周期即求满足 f(xT)f(x)的 T 值解析 f(x)及 f(x1)都是奇函数
2、，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，设x1t，则由得 f(t)f(t2)，即 f(x)f(x2)，由得 f(x2)f(x)，f(x)的周期为 2.答案 2【点评】本题的关键是对式子变形为，一般可使用换元法.展示1已知函数f(x)是定义域为R的奇函数且它的图象关于直线x1对称，(1)求证：函数f(x)是周期函数；(2)若f(x)x(0 x1)，求当xR时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象【解析】(1)函数 f(x)是奇函数，f(x)f(x)函数 f(x)关于直线 x1 对称，f(x)f(2x)由，得f(x)f(2x)换x 为 x，得 f(2x)f(x)f
3、(4x)f2(2x)f(2x)f(x)f(x)函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数(2)f(x)x(0 x1)，当1x0 时，0 x1.f(x)x.函数 f(x)是奇函数，f(x)f(x)x，即 f(x)x.f(0)0.当1x1 时，f(x)x；当 1x3 时，f(x)x2.f(x)x，1x1，x2，1x3.函数f(x)是以4为周期的周期函数，f(x)x4k，4k1x4k1，x24k，4k1x4k3(kZ)图略示范2(2009山东)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)log21x，x0，fx1fx2，x0，则f(2 009)的值为()A1 B0 C1 D2解析由已知得f(1)log22
4、1，f(0)0，f(1)f(0)f(1)1，f(2)f(1)f(0)1，f(3)f(2)f(1)1(1)0，f(4)f(3)f(2)0(1)1，f(5)f(4)f(3)1，f(6)f(5)f(4)0，所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2 009)f(5)1，故选C.答案 C展示2 已知定义在R上的函数yf(x)满足f(x1)f(x)0且在区间1,0上单调递增，设af(2)，bf(2)，cf(3)，则()AcabBbcaCcbaDabc【答案】A【解析】f(x1)f(x)0，f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x).函数f(x)是周期为2的周期函数af(2)f(22),bf(2
5、)f(0)，cf(3)f(1)函数f(x)在区间1,0上单调递增，cab.方法点拨：周期性的判断方法：定义法：考虑是否存在非零常数 T，使得对于任意 x 都有 f(xT)f(x)；公式法：若函数 f(x)的周期为 T，则函数 f(x)的周期为 T|；图象法：若函数 f(x)的图象有两条对称轴 xa，xb(ba)，则函数 f(x)是以 T2|ab|为周期的周期函数若函数 f(x)的图象有两个对称中点(a,0)，(b,0)(ab)，则函数 f(x)是以 T4|ab|为周期的周期函数本课的主要考点是周期性的判定及利用周期性求特定的函数值或求函数解析式；判定一般用定义，注意式子的变形，可以用换元法求函
6、数值有时需要考虑周期性.1(2011上海)设函数g(x)是定义在R上以1为周期的函数，若函数f(x)xg(x)在区间0,1上的值域为2,5，则函数f(x)在区间0,3上的值域为_【答案】2,7【解析】设 x10,1，f(x1)x1g(x1)2,5函数 g(x)是以 1 为周期的函数，当 x21,2时，f(x2)f(x11)x11g(x1)1,6；当 x32,3时，f(x3)f(x12)x12g(x1)0,7综上可知，当 x0,3时，f(x)2,72(2011 山东)已知函数 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数且当 0 x2 时，f(x)x3x，则函数 f(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点的个数为()A6 B7 C8 D9【答案】B【解析】当 0 x2 时，f(x)x3xx(x21)，则 f(0)f(1)0.而函数 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，则 f(2)f(4)f(6)f(0)0，f(3)f(5)f(1)0.故选 B.
