1、第六章 不等式、推理与证明 知识点考纲下载不等关系与不等式了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景一元二次不等式及其解法1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的函数、方程的联系3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图知识点 考纲下载 简单的线性规划 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决知识点 考纲下载 基本不等式 1.了解基本不等式的证明过程2.会用基本不等式
2、解决简单的最大(小)值问题 知识点 考纲下载 推理与证明 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理，体会认识合情推理在数学发现中的作用2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异4.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 5.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.第1课时 不等关系与不等式 1实数大小顺序与运算性质之间的关系ab0_；ab0_；ab0_.ababab2不等式的基本性质(1)对称性：ab_.(2)传递性：ab，bc_.(3)加法性质：abac_bc
3、；ab，cdac_bd.(4)减法性质：ab，cdac_bd.(5)乘法性质：ab，c0ac_bc；ab，c0ac_bc；ab0，cd0ac_bd.baac(6)倒数法则：ab，ab01a_1b；1a1b，ab0a_b.(同号即可，而不要求 a，b 均大于 0)(7)乘方性质：ab0an_bn(nN，n1)【思考探究】ab1a1b成立吗？提示：不成立只有当 a、b 同号时成立1已知 a，b 都是实数，那么“a2b2”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：令 a2，b1，(2)212/21，充分性不成立令 a1，b2,12/12(2)2，
4、必要性不成立答案：D2若 m0，n0 且 mn0，则下列不等式中成立的是()AnmnmBnmmnCmnmnDmnnm【解析】方法一(取特殊值法)：令 m3，n2 分别代入各选项检验可知只有 D 正确方法二：mn0mnnm，又由于m0n，故 mnnm 成立答案：D3下面的推理过程 abacbccdbcbd acbdadbc，其中错误之处的个数是()A0 B1C2 D3解析：ab/acbc，cd/bcbd，acbd/adbc.答案：D4某地规定本地最低生活保障金不低于 300元，上述不等关系写成不等式为_解析：设最低生活保障金为 x 元，则 x300.答案：x3005若22，则 的范围是_解析：2
5、2，22，22，因此，又，所以 0，故0.答案：(，0)利用不等式表示不等关系1用不等式(组)表示实际问题时，应注意实际问题中的关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换2注意区分“不等关系”和“不等式”的异同，不等关系强调的是关系，可用“”，“”，“”，“”，“”表示，不等式则是表现不等关系的式子3对于实际问题中的不等关系，可以从“不超过”、“至少”、“至多”等关键词上去把握，并考虑实际意义某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过 1 000 万元的资金购买单价分别为 40 万元、90 万元的 A 型汽车和 B 型汽车根据需要，A 型汽车至少买 5 辆，B 型汽车至少买 6
6、 辆，写出满足上述所有不等关系的不等式解析：设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x辆、y 辆，则 40 x90y1 000，x5，y6.x，yN*，即4x9y100，x5，y6，x，yN*.【变式训练】1.某矿山车队有 4 辆载重为 10 t的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车，有 9名驾驶员该车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述所有不等关系的不等式解析：设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆根据题意应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数；(2)车队每天至少要
7、运 360 t 矿石；(3)甲型卡车不能超过 4 辆，乙型卡车不能超过 7 辆用关于 x，y 的不等式表示上述不等关系即可 xy9，106x68y360，0 x4，0y7，x，yN.即xy9，5x4y30，0 x4，0y7，x，yN.比较实数或代数式的大小1作差比较法可直接作差或间接作差，作差后要注意变形彻底，即差式易于与 0 进行大小比较2作商比较法一般看形式，当比较式子含指数问题时，多用作商比较，注意变形以及与 1 进行比较大小但要注意两个实数(代数式)的正负已知等比数列an中，a10，q0，前 n 项和为 Sn，试比较S3a3与S5a5的大小解析：当 q1 时，S3a33，S5a55，所
8、以S3a3S5a5；当 q0 且 q1 时，S3a3S5a5 a11q3a1q21q a11q5a1q41qq21q31q5q41qq1q40，所以有S3a3S5a5.综上可知有S3a3S5a5.【变式训练】2.比较下列各组中两个代数式的大小：(1)(x3)2 与(x2)(x4)；(2)当 x1 时，x3 与 x2x1.解析：(1)(x3)2(x2)(x4)x26x9(x26x8)10，(x3)2(x2)(x4)(2)x3(x2x1)x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21)，x1，x3(x2x1)0，当 x1 时，x3x2x1.不等式性质的应用在使用不等式的性质时，要先确定独立变量，
9、再搞清它们成立的条件(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的如 ab，bcabac2bc2；若无c0 这个条件，则 abac2bc2 就是错误结论(当 c0 时，取“”)对于实数 a，b，c，判断下列命题的真假(1)若 ab，则 acbc；(2)若 ab，则 ac2bc2；(3)若 ab0，则 a2abb2；(4)若 ab0，则1a1b.解析：(1)因未知 c 的正负或是否为零，无法确定 ac 与 bc 的大小，所以是假命题(2)因为 c20，所以只有 c0 时才能正确c0 时，ac2bc2，所以是假命题(3)ab，a0a2ab；ab，b0ab
10、b2，命题是真命题变式：若 ac2bc2，则 ab，命题是真命题(4)由性质定理 ab01a1b，命题是真命题【变式训练】3.若 a0ba，cd0，则下列命题成立的有()(1)adbc；(2)adbc0；(3)acbd；(4)a(dc)b(dc)A1 个 B2 个C3 个D4 个解析：因为 a0b，cd0，所以 ad0，bc0，所以 adbc，(1)错误因为 a0ba，所以 ab0.因为 cd0，所以cd0，所以 a(c)(b)(d)，所以 acbd0，所以adbcacbdcd0，所以(2)正确因为 cd，所以cd.因为 ab，所以 a(c)b(d)，即 acbd，所以(3)正确因为 ab，d
11、c0，所以 a(dc)b(dc)，(4)正确，故选 C.答案：C1要注意不等式性质的正用或反用，也就是说每条性质是否具有可逆性只有 abba，abacbc，abacbc(c0)是可以逆推的，而其余几条性质不可逆推，在应用性质时要准确把握条件是结论的充分条件还是必要条件2在使用不等式的性质时，要先确定变量，再搞清它们成立的条件(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的如 ab，bcac.(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数 c的符号”，例如当 c0 时，有 abac2bc2；若无 c0这个条件，则 abac2bc2 就是错误结论(当 c0 时，取“
12、”)(3)“ab0anbn0(nN，n1)”成立的条件是“n 为大于 1 的自然数，ab0”，假如去掉“n 为大于 1 的自然数”这个条件，取 n1，a3，b2，那么就会出现“3121，即1312”的错误结论；假如去掉“b0”这个条件，取 a3，b4，n2，那么就会出现“32(4)2”的错误结论从近两年的高考试题来看，不等关系、不等式的性质及应用等是高考的热点，题型既有选择题，又有填空题，难度为中低档；客观题突出对不等式性质的灵活运用，与不等式有关的集合的运算，也是常考题型；主观题考查绝对值不等式、不等式性质的应用，有时考查转化思想、数形结合思想(2010 江 苏 卷)设x，y 为 实 数，满
13、 足3xy28,4x2y 9，则x3y4的最大值是_【全解全析】由 4x2y 9，得 16x4y281.又 3xy28，18 1xy213，2x3y427.又 x3，y1 满足条件，这时x3y427.x3y4的最大值是 27.答案：27【阅后报告】本题有一定难度，其难点为：如何用已知 xy2，x2y 表示x3y4，要对条件进一步变形，即对x2y 进行平方，面对 xy2取倒数，两式相乘可得1(2010广东卷)“x0”是“3 x20”成立的()A充分非必要条件 B必要非充分条件C非充分非必要条件D充要条件解析：当 x0 时，3 x20 成立，但当3 x20 时，得 x20，则 x0 或 x0，此时不能得到 x0.答案：A2(2009安徽卷)“acbd”是“ab 且cd”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：“acbd”/“ab 且 cd”，充分性不成立；“ab 且 cd”“acbd”，必要性成立，故选 A.答案：A练规范、练技能、练速度