1、2015年宁夏银川市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若全集U=1，2，3，4，5，6，M=1，4，N=2，3，则集合5，6等于（） A MN B MN C （UM）（UN） D （UM）（UN）【考点】： 交、并、补集的混合运算【专题】： 集合【分析】： 由题意可得5UM，且5UN；6UM，且6UN，从而得出结论【解析】： 解：5M，5N，故5UM，且5UN同理可得，6UM，且6UN，5，6=（UM）（UN），故选：D【点评】： 本题主要考查元素与集合的关系，求集合的补集，两个集合的交集的定
2、义，属于基础题2（5分）已知i是虚数单位，复数z满足=i，则z的模是（） A 1 B C D 【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再代入模的公式得答案【解析】： 解：由=i，得（1+i）z=i，故选：C【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题3（5分）在ABC中，已知ACB=90，CA=3，CB=4，点E是边AB的中点，则=（） A 2 B C D 【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用【分析】： 根据已知条件便可得到，带入进行数量积的运算即可得到答
3、案【解析】： 解：如图，E是AB中点；，；=故选：B【点评】： 考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及数量积的运算4（5分）阅读如图所示的程序框图，输出A的值为（） A B C D 【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的A，i的值，当i=11时，不满足条件i10，退出循环，输出A的值为【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得A=1，i=1A=，i=2满足条件i10，A=，i=3满足条件i10，A=，i=4满足条件i10，A=，i=5满足条件i10，A=，i=6满足条件i10，A=，i=7满足条件i10，A=，i=
4、8满足条件i10，A=，i=9满足条件i10，A=，i=10满足条件i10，A=，i=11不满足条件i10，退出循环，输出A的值为，故选：C【点评】： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模5（5分）（2009山东）已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既
5、不充分也不必要条件【考点】： 必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系【专题】： 空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】： 判充要条件就是看谁能推出谁由m，m为平面内的一条直线，可得；反之，时，若m平行于和的交线，则m，所以不一定能得到m【解析】： 解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线，且m，则，反之，时，若m平行于和的交线，则m，所以不一定能得到m，所以“”是“m”的必要不充分条件故选B【点评】： 本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题6（5分）有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（） A 34种 B 48种 C 9
6、6种 D 144种【考点】： 计数原理的应用【专题】： 排列组合【分析】： 先排甲有两种方法，再把乙丙两人捆绑在一起，看做一个复合元素，和剩下的3人全排即可【解析】： 解：先排甲有两种方法，再把乙丙两人捆绑在一起，看做一个复合元素，和剩下的3人全排，故有=96种，故选：C【点评】： 本题考查了分步计数原理，相邻问题用捆绑，属于基础题7（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的表面积是（） A B C D 【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题；作图题；空间位置关系与距离【分析】： 由三视图作直观图，从而结合三视图中的数据求各面的面积即可【解析】： 解：由三视图可知，其直观
7、图如右图，SABC=1，SABE=22=2，SACD=1=，可知ADDE，AD=，DE=，SADE=，S梯形BCDE=（1+2）1=；故其表面积为S=1+2+=；故选A【点评】： 本题考查了三视图的识图与计算，属于基础题8（5分）在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域是，不等式组所表示的平面区域为，在区域内随机取一点P，则点P落在区域内的概率是（） A B C D 【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，求出相应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论【解析】： 解：由题意画出图形如图，则平面区域是是边长为8的三角形ODE，面积为8
8、8=32，从区域中随机取一点P（x，y），P为区域内的点的面积为24，由几何概型的概率公式可得从区域中随机取一点P（x，y），则P为区域内的点的概率是故选：D【点评】： 本题主要考查几何概型的概率计算，根据二元一次不等式组作出对应的平面区域是解决本题的关键，是中档题9（5分）点M（1，1）到抛物线y=ax2的准线的距离为2，则a=（） A 或 B C D 4或12【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 求出抛物线的准线方程，利用点到直线的距离公式求解即可【解析】： 解：抛物线y=ax2化为：x2=y，它的准线方程为：y=，点M（1，1）到抛物线y=
9、ax2准线的距离为2，可得|1+|=2，解得a=或故选：A【点评】： 本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查10（5分）已知函数f（x）=sin（x+）的部分图象如右图所示，则y=f（x）的图象可由y=sin2x的图象（） A 向右平移个单位 B 向左平移个单位 C 向右平移个单位 D 向左平移个单位【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 利用图象的最低点确定A的值，利用周期确定，再根据图象过点（，0），确定的值，即可求函数f（x）的解析式，f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），由此可得结论【解析】： 解：由函数图象可得：T=4
10、（）=，故=2，又（，0）在函数图象上，既有：0=sin（2+），可解得：=k，kZ，因为，|，所以可得：=故：f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）则y=f（x）的图象可由y=sin2x的图象向左平移个单位得到故选：D【点评】： 本题考查三角函数解析式的确定，考查图象的变换，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题11（5分）对于任意实数a，b，定义mina，b=，定义在R上的偶函数f （x）满足f （x+4）=f（x），且当0x2时，f （x）=min2x1，2x，若方程f （x）mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（） A 1，1（ln2，）（，ln2） B 1，） C 1，1（ln
11、2，）（，ln2） D （，）（，）【考点】： 函数奇偶性的性质【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 首先由题意求出f（x），然后令g（x）=mx，转化为图象交点的问题解决【解析】： 解：由题意得，又因为f（x）是偶函数且周期是4，可得整个函数的图象，令g（x）=mx，本题转化为两个交点的问题，由图象可知有三部分组成，排除B，D易得当过（3，1），（3，1）点时恰有三个交点，此时m=，故选A【点评】： 本题考查的是函数的性质的综合应用，利用数形结合快速得解二、填空题：本大题共4小题，每小题5分12（5分）已知双曲线=1（a，b0）的一条渐近线方程为2x+3y=0，则双曲线的离心率是【考点】：
12、 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 由双曲线=1（a，b0）的一条渐近线方程为2x+3y=0，知a=3k，b=2k，c=k，由此能求出双曲线的离心率【解析】： 解：因为双曲线=1（a，b0）的一条渐近线方程为2x+3y=0，a=3k，b=2k，c=k，此双曲线的离心率e=故答案为：【点评】： 本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用13（5分）由函数y=x2的图象与直线y=2x围成的图形的面积是【考点】： 定积分在求面积中的应用【专题】： 计算题；导数的综合应用【分析】： 联立解曲线y=x2及直线y=2x，得它们的交点是
13、O（0，0）和A（2，2），由此可得两个图象围成的面积等于函数y=2xx2在0，2上的积分值，根据定积分计算公式加以计算，即可得到所求面积【解析】： 解：由曲线y=x2与直线y=2x，解得交点为O（0，0）和A（2，2）因此，曲线y=x2及直线y=2x所围成的封闭图形的面积是S=（2xx2）dx=（x2x3）=故答案为：【点评】： 本题给出曲线y=x2及直线y=2x，求它们围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题14（5分）在数列an中，a1=1，a2=2，且an+2an=1+（1）n（nN*），则a1+a2+a3+a51=676【考点】： 数列的求和【专
14、题】： 计算题；等差数列与等比数列【分析】： 依题意，可求得a1=a3=a5=a51=1，a2n是以2为首项，2为公差的等差数列，从而可求得a1+a2+a3+a51的值【解析】： 解：数列an中，a1=1，a2=2，且an+2an=1+（1）n（nN*），a3a1=0，a5a3=0，a51a49=0，a1=a3=a5=a51=1；由a4a2=2，得a4=2+a2=4，同理可得a6=6，a8=8，a50=50；a1+a2+a3+a51=（a1+a3+a5+a51）+（a2+a4+a50）=26+=676故答案为：676【点评】： 本题考查数列的求和，着重考查等差数列的判定与求和，突出考查分组求和
15、，属于中档题15（5分）直线y=x+m与圆x2+y2=16交于不同的两点M，N，其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是（4，22，4）【考点】： 直线和圆的方程的应用【专题】： 直线与圆【分析】： 设MN的中点为A，则2=+，利用，可得|2，利用点到直线的距离公式，可得|，从而求出实数m的取值范围【解析】： 解：设MN的中点为A，则OAMN，并且2=+，|2|，12，3，163，|2，O到直线MN的距离2，|=4，由解得：4m2或2m4，故答案为：（4，22，4）【点评】： 本题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离问题，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题（本题包
16、括六道小题共计70分）16（12分）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，MCN=，在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c（）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2求c的值；（）若c=，ABC=，试用表示ABC的周长，并求周长的最大值【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： （）由题意可得 a=c4、b=c2又因，可得 ，恒等变形得 c29c+14=0，再结合c4，可得c的值（）在ABC中，由正弦定理可得AC=2sin，ABC的周长f（）=|AC|+|BC|+|AB|=再由，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（）取得最大值【解析】： 解：（）a、b、
17、c成等差，且公差为2，a=c4、b=c2又，恒等变形得 c29c+14=0，解得c=7，或c=2又c4，c=7（6分）（）在ABC中，由正弦定理可得 ，AC=2sin，ABC的周长f（）=|AC|+|BC|+|AB|=，（10分）又，当，即时，f（）取得最大值 （12分）【点评】： 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题17（12分）已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1=2，ACB=，点D是线段BC的中点（1）求证：A1C平面AB1D；（2）当三棱柱ABCA1B1C1的体积最大时，求直线A1D与平面AB1D所成角的正弦值【考点】： 棱柱、棱锥、棱台
18、的体积；直线与平面平行的判定【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （1）设A1BAB1=O，连接OD，利用三角形的中位线定理可得：A1COD，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）当三棱柱ABCA1B1C1的底面积最大时，体积最大，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：当AC=BC，三角形ABC为正三角形时取最大值，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线A1D与平面AB1D所成角的正弦值【解析】： （1）证明：如图，设A1BAB1=O，连接OD，则OD为三角形A1BC的中位线，A1COD，OD平面AB1D，A1C平面AB1D，A1C平面AB1D；（2）解：当三棱柱ABCA1B1C1的底面
19、积最大时，体积最大，2ACBCACBC=ACBC，当AC=BC，三角形ABC为正三角形时面积取最大值，以D为原点建立如图所示坐标系，则D（0，0，0），A（，0，0），B1（0，1，2），=（，0，0），=（0，1，2），设平面AB1D的法向量为，由，得，取z=1，得y=2，则直线A1D与平面AB1D所成角的正弦值为sin=|=|=【点评】： 本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，训练了利用空间向量求线面角，属于中档题18（12分）某手机销售商对某市市民进行手机品牌认可度的调查，在已购买某品牌手机的500名市民
20、中，随机抽样100名，按年龄进行统计的频率分布表和频率分布直方图如下：（1）频率分布表中应填什么数？补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；（2）在抽出的这100市民中，按分层抽样抽取20人参加宣传活动，从20人中随机选取2人各赠送一部手机，设这两名市民中年龄低于30岁的人数为X，求X的分布列及数学期望【考点】： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【专题】： 综合题；概率与统计【分析】： （1）利用频率分布表和频率分布直方图能求出频率分布表中的位置应填什么数，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图能统计出这500名志愿者得平均
21、年龄（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望【解析】： 解：（1）由题意知频率分布表中的位置应填数字为：1005203010=35，位置应填数字为：=0.30补全频率分布直方图，如右图所示平均年龄估值为：（450.05+550.2+650.35+750.3+850.1）=33.5（岁）（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，X的分布列为： X 0 1 2 P EX=0+1+2=【点评】： 本题考查频率分布直方图的应
22、用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用19（12分）已知直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：的短轴长相等，椭圆的离心率e=（）求椭圆C的方程；（）过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆相交的性质【专题】： 综合题【分析】： （）由题设可知b=1，利用，即可求得椭圆C的方程；（）先猜测T的坐标，再进行验证若直线l的斜率存在，设其方
23、程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可证得【解析】： 解：（）则由题设可知b=1，（2分）又e=，=，a2=2 （3分）所以椭圆C的方程是+y2=1（4分）（）若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是 （6分）由解得由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）（7分）事实上点T（0，1）就是所求的点证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x2+y2=1，过点T（0，1）；当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得（18k2+9）x212kx
24、16=0（8分）设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=（x1，y11），=（x2，y21）=x1x2+（y11）（y21）=（k2+1）x1x2（x1+x2）+=，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）（11分）综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件（12分）【点评】： 本小题主要考查椭圆的标准方程、向量的坐标运算、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于中档题20（12分）设f（x）=x1nx+ax2，a为常数（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，2），求实数a的值；（2）若f（x
25、）有两个极值点x1，x2且xlx2求证：a0求证：f （x2）f （x1）【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【专题】： 函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】： （1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式计算即可得到a=1；（2）由题意可得f（x）=0有两个不等的实根x1，x2，且0x1x2，设g（x）=lnx+1+2ax，求出导数，对a讨论，分a0，a0，求出单调区间和极值，令极大值大于0，即可得到a的范围；由上可知，f（x）在（x1，x2）递增，即有f（x2）f（x1），求出x1（0，1），设h（x）=（xlnxx），
26、0x1，求出导数，判断单调性，运用单调性，即可得到所求范围【解析】： 解：（1）f（x）=x1nx+ax2的导数为f（x）=lnx+1+2ax，在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切点为（1，a），在x=1处的切线过点A（0，2），则k=1+2a=a+2，解得a=1；（2）证明：由题意可得f（x）=0有两个不等的实根x1，x2，且0x1x2，设g（x）=lnx+1+2ax，g（x）=+2a，x0当a0，则g（x）0，g（x）在（0，+）递增，不合题意；当a0时，g（x）0解得x，g（x）0解得x，即有g（x）在（0，）递增，在（，+）递减即有g（）=ln（）0，解得a0；由上可知，f（x）在（
27、x1，x2）递增，即有f（x2）f（x1），f（1）=g（1）=1+2a0，则x1（0，1），由可得ax1=，即有f（x1）=x1lnx1+ax12=（x1lnx1x1），设h（x）=（xlnxx），0x1，h（x）=lnx0在（0，1）恒成立，故h（x）在（0，1）递减，故h（x）h（1）=，由此可得f（x1），综上可得，f （x2）f （x1）【点评】： 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查函数的单调性的运用：求参数的范围和证明不等式，运用构造函数和分类讨论的思想方法及不等式恒成立思想是解题的关键选做题请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如
28、果多做，则按所做的第一题记分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修4-1：几何证明选讲21（10分）选修41：几何证明选讲如图，已知四边形ABCD内接于O，且AB是的O直径，过点D的O的切线与BA的延长线交于点M（1）若MD=6，MB=12，求AB的长；（2）若AM=AD，求DCB的大小【考点】： 与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明【专题】： 计算题【分析】： （1）利用MD为O的切线，由切割线定理以及已知条件，求出AB即可（2）推出AMD=ADM，连接DB，由弦切角定理知，ADM=ABD，通过AB是O的直径，四边形ABCD是圆内接四边形，对角和180，求出DCB即可
29、【解析】： 选修41：几何证明选讲解：（1）因为MD为O的切线，由切割线定理知，MD2=MAMB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB，（2分），所以MA=3，AB=123=9（5分）（2）因为AM=AD，所以AMD=ADM，连接DB，又MD为O的切线，由弦切角定理知，ADM=ABD，（7分）又因为AB是O的直径，所以ADB为直角，即BAD=90ABD又BAD=AMD+ADM=2ABD，于是90ABD=2ABD，所以ABD=30，所以BAD=60（8分）又四边形ABCD是圆内接四边形，所以BAD+DCB=180，所以DCB=120（10分）【点评】： 本题考查圆的内接多边形，切割线定理的应
30、用，基本知识的考查选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=1时，曲线C1上的点为A，当t=1时，曲线C1上的点为B以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=（1）求A、B的极坐标；（2）设M是曲线C2上的动点，求|MA|2+|MB|2的最大值【考点】： 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： （1）当t=1时，代入参数方程可得即A，利用，即可得出点A的极坐标，同理可得及其点B的极坐标（2）由=，化为42+5（sin）2=36，利用即可化为直角坐标方程，设曲线C2上的动点M（3cos，2s
31、in），可得|MA|2+|MB|2=10cos2+16，再利用余弦函数的单调性即可得出【解析】： 解：（1）当t=1时，代入参数方程可得即A，=2，点A的极坐标为当t=1时，同理可得，点B的极坐标为（2）由=，化为2（4+5sin2）=36，42+5（sin）2=36，化为4（x2+y2）+5y2=36，化为，设曲线C2上的动点M（3cos，2sin），则|MA|2+|MB|2=+=18cos2+8sin2+8=10cos2+1626，当cos=1时，取得最大值26|MA|2+|MB|2的最大值是26【点评】： 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数基本关
32、系式、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题选修4-5：不等式选讲23已知a，b，cR，a2+b2+c2=1（）求证：|a+b+c|；（）若不等式|x1|+|x+1|（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围【考点】： 绝对值不等式的解法；不等式的证明【专题】： 计算题；证明题；不等式的解法及应用【分析】： （）由柯西不等式得，（a+b+c）2（12+12+12）（a2+b2+c2），即可得证；（）不等式|x1|+|x+1|（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则由（）可知，|x1|+|x+1|3，运用绝对值的定义，即可解出不等式【解析】： （）证明：由柯西不等式得，（a+b+c）2（12+12+12）（a2+b2+c2），即有（a+b+c）23，即有|a+b+c|；（）解：不等式|x1|+|x+1|（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则由（）可知，|x1|+|x+1|3，由x1得，2x3，解得，x；由x1，2x3解得，x，由1x1得，23，不成立综上，可得x或x则实数x的取值范围是（）【点评】： 本题考查柯西不等式的运用，考查不等式恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，属于中档题
