1、第4课时 基本不等式 1基本不等式 abab2(1)基本不等式成立的条件：_.(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号a0，b0ab2常用的几个重要不等式(1)a2b2_(a，bR)；(2)ab_ab22(a，bR)；(3)a2b22_ ab22(a，bR)；(4)baab_(a，b 同号且不为零)2ab2【思考探究】上述四个不等式等号成立的条件是什么？提示：满足 ab.3算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为_，几何平均数为_，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ab2ab4利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是
2、定值 p，那么当且仅当_时，xy 有_值是 2 p.(简记：积定和最小)(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当_时，xy 有_值是p24.(简记：和定积最大)xy最小xy最大1“a0 且 b0”是“ab2 ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：A2已知两个正数 a，b 的等差中项为 4，则 a，b 的等比中项的最大值为()A2B4C8D16解析：abab2 4，故选 B.答案：B3若 x2y4，则 2x4y的最小值是()A4 B8C2 2D4 2解析：2x4y2 2x22y2 2x2y2 248，当且仅当 2x22y，即 x2y2 时取等号，
3、2x4y的最小值为 8.答案：B4当 x1 时，求函数 f(x)x 1x1的最小值_解析：x1，x10，x1x1(x1)1x112x11x1 13.答案：35(2010重庆卷)已知 t0,则函数 yt24t1t的最小值为_解析：t0，yt24t1tt1t4242.答案：2 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”(1)设 a，b，c 都是正数，求证：bca acb abcabc.(2)已知 a0，b0
4、，ab1，求证：1a1b4.证明：(1)a，b，c 都是正数，bca，cab，abc 都是正数bca cab 2c，当且仅当 ab 时等号成立，cab abc 2a，当且仅当 bc 时等号成立，abc bca 2b，当且仅当 ac 时等号成立三式相加，得 2bca cab abc 2(abc)，即bca cab abc abc，当且仅当 abc 时等号成立(2)证法一：a0，b0，ab1，1a1baba abb 2baab22baab4，即1a1b4，当且仅当 ab12时等号成立证法二：1a1b1a1b(ab)2abba22baab4.当且仅当 ab12时等号成立【变式训练】1.已知 a0，b
5、0，ab1，求证：11a 11b 9.证明：证法一：因为 a0，b0，ab1，所以 11a1ab2 2ba.同理 11b2ab.所以11a 11b 2ba 2ab52baab 549.所以11a 11b 9(当且仅当 ab12时等号成立)证法二：11a 11b 11a1b 1ab1abab 1ab1 2ab，因为 a，b 为正数，ab1，所以 abab2214，于是 1ab4，2ab8，因此11a 11b 189(当且仅当 ab12时等号成立)利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值需注意的问题(1)各数(或式)均为正；(2)和或积为定值；(3)等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件
6、缺一不可若无明显“定值”，则用配凑的方法，使和为定值或积为定值当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法(1)设 0 x2，求函数 y x42x的最大值(2)x3，求 f(x)4x3x 的最大值(3)已知 x0，y0，且 xy1，求3x4y的最小值解析：(1)0 x2，2x0，y x42x 2 x2x 2x2x2 2，当且仅当 x2x，即 x1 时取等号，当 x1 时，函数 y x42x的最大值是 2.(2)x3，x30，3x0
7、，f(x)4x3x 4x3(x3)343x3x 3243x3x31，当且仅当 43x3x，即 x1 时等号成立，故 f(x)的最大值为1.(3)x0，y0，且 xy1，3x4y3x4y(xy)73yx 4xy723yx 4xy 74 3，当且仅当3yx 4xy，即 2x 3y 时等号成立，3x4y的最小值为 74 3.【变式训练】2.求下列各题的最值(1)x0，求 f(x)12x 3x 的最小值(2)设 0 x32，求函数 y4x(32x)的最大值；(3)已知 x0，y0，lg xlg y1，求 z2x5y的最小值解析：(1)x0，f(x)12x 3x212x 3x12，当且仅当12x 3x，
8、即 x2 时等号成立f(x)的最小值是 12.(2)0 x32，32x0，y4x(32x)22x(32x)22x32x2292.当且仅当 2x32x，即 x34时等号成立340，32，函数 y4x(32x)0 x32 的最大值为92.(3)由已知条件 lg xlg y1，可得 xy10.则2x5y2y5x102 10 xy102.当且仅当 2y5x，即 x2，y5 时等号成立2x5y min2.基本不等式的实际应用在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)设变量时一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；(3)在定义域内，求出函数的最值；(4)回到
9、实际问题中去，写出实际问题的答案某厂家拟在 2011 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(万件)与年促销费用 m(万元)(m0)满足 x3km1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是 1 万件已知 2011 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)(1)将 2011 年该产品的利润 y(万元)表示为年促销费用 m(万元)的函数；(2)该厂家 2011 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利
10、润最大，并求出最大利润解析：(1)由题意可知当 m0 时，x1，13k 即 k2，x32m1，每件产品的销售价格为 1.5816xx，2011 年的利润yx1.5816xx(816xm)48xm4832m1 m16m1m1 29(m0)(2)当 m0 时，16m1(m1)2 168，y82921，当且仅当 16m1m1即 m3 时等号成立，ymax21.即该厂家 2011 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大利润为 21 万元【变式训练】3.西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销在 1年内，据测算年销售量 S(万双)与广告费 x(万元)之间的函数关系为
11、 S31x(x0)，已知羊皮手套的固定投入为 3 万元，每生产 1 万双羊皮手套仍需要投入 16 万元(年销售收入年生产成本的 150%年广告费的 50%)(1)试将羊皮手套的年利润 L(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数；(2)当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？(年利润年销售收入年成本年广告费)解析：(1)由题意知，羊皮手套的年成本为(16S3)万元年销售收入为(16S3)150%x50%.年利润 L(16S3)150%x50%(16S3)x.即 L12(16S3x)，得 Lx251x162x(x0)(2)Lx251x162x512 x28x512 2x28
12、x21.5.当且仅当x28x，即 x4 时，L 有最大值 21.5.因此，当年广告费投入 4 万元时，公司年利润最大，最大利润为 21.5 万元应用基本不等式 abab2 应注意：(1)注意不等式成立的条件 a0，b0.当 a0，b0 时，ab2，ab分别叫做这两个正数的算术平均数、几何平均数，因此，该不等式又可记作两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数(2)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，在证明或求最值时，要注意这种转化思想通过对近三年高考试题的统计和分析可以发现，本节主要考查利用基本不等式求函数的最值若单纯考查基本不等式，一般难度不大，通常出
13、现在选择题和填空题中；若考查基本不等式的变形，即通过对代数式进行拆添项或配凑因式，构造出基本不等式的形式再进行求解，难度就会提升对基本不等式的考查，若以解答题的形式出现时，往往是作为工具使用，用来证明不等式或解决实际问题(2010浙江卷)若正实数 x，y 满足 2xy6xy，则 xy 的最小值是_【全解全析】由 x0，y0,2xy6xy，得xy2 2xy6(当且仅当 2xy 时，取“”)，即(xy)22 2 xy60，(xy3 2)(xy 2)0.又 xy0，xy3 2，即 xy18.xy 的最小值为 18.答案：18【阅后报告】本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，难点为利用基本
14、不等式构造不等式关系，同时还应明确 xy0 这一隐含条件1(2010四川卷)设 ab0，则 a2 1ab1aab的最小值是()A1 B2C3 D4解析：a2 1ab1aaba2abab 1ab1aaba(ab)1aabab 1ab224，当且仅当 a(ab)1 且 ab1，即 a 2，b 22 时取等号答案：D2(2010重庆卷)已知 x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值是()A3 B4C.92D.112解析：2xyx(2y)x2y22，原式可化为(x2y)24(x2y)320.又x0，y0，x2y4.当且仅当 x2，y1 时取等号答案：B3(2010山东卷)已知 x，yR，且满足x3y41，则 xy 的最大值为_解析：x0，y0 且 1x3y42xy12，xy3.当且仅当x3y4时取等号答案：3练规范、练技能、练速度