1、第七章 不等式第1讲不等关系与不等式基础知识整合1比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有ab0ab；ab0ab；ab0a0，则有1ab；1ab；1abbb，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd；(5)可乘方性：ab0anbn(nN，n2)；(6)可开方性：ab0(nN，n2)1ab，ab0.2a0bb0,0c.40axb或axb0b0，m0，则(bm0)；0) 1设Mx2，Nx1，则M与N的大小关系是()AM N BMNCM0，所以MN.故选A.2(2019河南洛阳模拟)若ab B
2、.0Ca2b2 Da3b3答案C解析abb2，C错误故选C.3若m0且mn0，则下列不等式中成立的是()Anmnm BnmmnCmnmn Dmnnm答案D解析(取特殊值法)令m3，n2分别代入各选项检验，可知D正确4(2019衡阳模拟)若a，b，c为实数，且ab0，则下列结论正确的是()Aac2bc2 B. Da2abb2答案D解析c为实数，取c0，得ac20，bc20，此时ac2bc2，故A不正确；，ab0，ab0，0，即，故B不正确；ab0，取a2，b1，则，2，此时，故C不正确；ab0，a2ab，又abb2b(ab)0，abb2，故a2abb2，D正确故选D.5已知a，b，cR，有以下命
3、题：若，则；若，则ab，则a2cb2c.其中正确的是_(请把正确命题的序号都填上)答案解析若c0，则命题不成立由得0，于是a0知命题正确故正确命题的序号为.核心考向突破考向一不等式的性质 例1(1)(2019豫西南联考)如果a0b且a2b2，那么以下不等式中正确的个数是()a2b0；a3ab2.A0 B1 C2 D3答案C解析由得a2b0，0，又b0，0，正确；由得a3ab2，不正确故选C.(2)已知a，bR，下列四个条件中，使1成立的必要不充分条件是()Aab1 Bab1C|a|b| Dln aln b答案C解析由1100(ab)b0ab0或ab|b|，但由|a|b|不能得到ab0或ab1，
4、故|a|b|是使1成立的必要不充分条件故选C.解决此类题目常用的三种方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件(2)利用特殊值法排除错误答案 (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断即时训练1.(2019山西联考)下列选项中，的一个充分不必要条件是()A. Blg alg bCa2b2 Deaeb答案B解析由函数ylg x的单调性知lg alg bab0，但 lg alg b，如a1，b0.故选B.2(2019安徽淮北模拟)若abb2；|1a|b1|；.其中正确的个
5、数是()A0 B1 C2 D3答案D解析因为ab|b|0，所以a2b2，所以a21b2，故正确又因为ab0，所以a1b10，所以|1a|b1|，故正确因为abab，故正确所以三个不等式都正确故选D.精准设计考向，多角度探究突破考向二比较两个数(式)的大小角度1作差法例2(1)(2019河北邯郸一模)已知ab0，m0，则()A.B.C.b0，m0，所以ba0，所以0，即0，所以0且x1，p，qN，则1xpq与xpxq的大小关系为_答案1xpqxpxq解析1xpq(xpxq)(1xp)(1xq)若x1，则1xp0,1xq0，即1xpqxpxq；若x0,1xq0，(1xp)(1xq)0，即1xpqx
6、pxq.综上，1xpqxpxq.角度2作商法例3(1)设a，b都是正数，且ab，则aabb与abba的大小关系是_答案aabbabba解析aabbbaab.若ab，则1，ab0，ab1，aabbabba；若ab，则1，ab1，aabbabba.(2)若a，b，则a_b(填“”或“”)答案1，所以ba.角度3特殊值法例4(1)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一个颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()Aaxbycz Ba
7、zbycxCaybzcx Daybxcz答案B解析采用特值法进行求解验证即可，若x1，y2，z3，a1，b2，c3，则axbycz14，azbycx10，aybzcx11，aybxcz13.由此可知最低的总费用是azbycx.(2)若实数x，y满足x2y2，则下列不等式成立的是()Axy BxyC. D|x|y|答案D解析当x1，y2时，有x2y，故A错误；当x1，y2时，有x2y，故B错误；当x1，y2时，有x2，故C错误；若x2y2，则有，即|x|y|，故D正确故选D.角度4中间量法例5(1)(2019四川宜宾模拟)已知实数aln (ln )，bln ，c2ln ，则a，b，c的大小关系为
8、()Aabc BacbCbac Dcab答案A解析因为ee2，所以ln (1,2)，即b(1,2)由ln (1,2)，得aln (ln )(ln 1，ln 2)，而ln 2ln e1，所以a(0,1)由2ln e2ln 2ln e2，得c(2,4)所以abc.故选A.(2)若0ab1，则ab，logba，logb的大小关系是_答案logbablogba解析0a1.又0b1，logblog10.0ablogbb1，logbablogba.角度5单调性法例6(1)已知实数a，b(0,1)，且满足cosacosb，则下列关系式成立的是()Aln aln b BsinasinbC. Da3b3答案C解
9、析因为a，b(0,1)，则a，b(0，)，而函数ycosx在(0，)上单调递减，因为cosab，即ab，由函数yln x，ysinx，yx3在(0,1)上均为增函数，知只有C正确(2)(2019江南十校模拟)若ba3，f(x)，则下列各结论中正确的是()Af(a)f()fBf()ff(b)Cf()ff(a)Df(b)fa3，所以3ab.又f(x)，当x(e，)时，f(x)e，则有f(b)ff()bc BacbCbac Dbca答案A解析alog3log331，blog2b，又(log23)21，bc，故abc.故选A.4设，T1cos(1)，T2cos(1)，则T1与T2的大小关系为_答案T1
10、T2解析T1T2(cos1cossin1sin)(cos1cossin1sin)2sin1sin0，所以T10，b0，且ab，试比较aabb与(ab)的大小解a0，b0，a(a)b(b)ab，若ab0，则1，ab0.由指数函数的性质，得1；若ba0，则01，ab1.1，aabb(ab).考向三不等式性质的应用例7(1)若角，满足，则2的取值范围是_答案解析因为，所以，而，所以0，所以2().(2)已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_(答案用区间表示)答案(3,8)解析解法一：设2x3y(xy)(xy)()x()y，对应系数相等，则2x3y(xy)(xy)(3,8)解法二：令2x3y23b(3,8)利用不等式性质求代数式的取值范围由af(x，y)b，cg(x，y)0，y0，且，1681，得227，故的最大值是27.解法二：设m(xy2)n，则x3y4x2mny2nm，所以即又16 281，(xy2)1，227，故的最大值为27.7已知12a60,15b36，求ab与的取值范围解15b36，36b15，1236ab6015，即24ab45.15b36，4.ab和的取值范围分别是(24,45)，.