1、2015-2016学年甘肃省天水市甘谷一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1（文）设aR，则a1是1的（）A必要但不充分条件B充分但不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件2若ab0下列不等式中不成立的是的是（）A|a|b|BCDa2b23设Sn是等差数列an的前n项和，若=（）A1B1C2D4已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A3B2C2D35若函数f（x）=lg（x2+axa1）在区间2，+）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A（3，+）B3，+）C（4，+）D4，+）6定积分dx的值为（）A9B3C
2、D7不等式（a24）x2+（a+2）x10的解集是空集，则实数a的范围为（）ABCD8已知数列an中，a3=2，a7=1，若为等差数列，则a19=（）A0BCD29已知函数f（x）=e1+|x|，则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围是（）ABC（，）D10O是平面上一点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足+，（0，+），则直线AP一定通过ABC的（）A内心B外心C重心D垂心11关于x的不等式x24ax+3a20（a0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）ABCD12已知函数f（x）=，函数g（x）=bf（2x），其中bR，若函数y=f（x）g（x）恰有4个零点，则b的
3、取值范围是（）A（，+）B（，）C（0，）D（，2）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13在等比数列an中，a1=1，公比q=2，若an前n项和Sn=127，则n的值为14已知向量=（sinx，cosx），向量=（1，），则|+|的最大值为15两个等差数列an，bn， =，则=16已知点P（x，y）的坐标满足条件，记的最大值为a，x2+（y+）2的最小值为b，则a+b=三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17接下列不等式（）3x25x+20（）x2+（1a）xa018在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，己知=（cosA，
4、sinA），=（2cosA，2cosA），=1（）若a=2，c=2，求ABC的面积；（）求的值19设数列an满足a1=1，an+1=2an+1（1）求an的通项公式；（2）记bn=log2（an+1），求数列bnan的前n项和为Sn20已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），函数f（x）=2（xR）（1）求函数f（x）的最小正周期及x0，上的最值；（2）若关于x的方程f（x）=m在区间0，上只有一个实根，求实数m的取值范围21数列an首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=（n2）（1）求证：数列是等差数列（2）求数列an的通项公式（3）设存在正数k，使（1+S1）（
5、1+S2）（1+Sn）k对于一切nN*都成立，求k的最大值22已知f（x）=2ax+lnx在x=1与x=处都取得极值（） 求a，b的值；（）设函数g（x）=x22mx+m，若对任意的x1，2，总存在x2，2，使得g（x1）f（x2）lnx2，求实数m的取值范围2015-2016学年甘肃省天水市甘谷一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1（文）设aR，则a1是1的（）A必要但不充分条件B充分但不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式；充要条件【分析】根据 由a1，一定能得到1但当1时，不能推出a1
6、 （如 a=1时），从而得到结论【解答】解：由a1，一定能得到1但当1时，不能推出a1 （如 a=1时），故a1是1 的充分不必要条件，故选 B2若ab0下列不等式中不成立的是的是（）A|a|b|BCDa2b2【考点】不等关系与不等式【分析】由ab0，可得aab0，可得即可判断出【解答】解：ab0，aab0，因此B不正确故选：B3设Sn是等差数列an的前n项和，若=（）A1B1C2D【考点】等差数列的性质【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题【解答】解：设等差数列an的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，=1，故选A4已知x，y满足约束条
7、件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A3B2C2D3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=2x+z，平移直线y=2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=3x+z，平移直线y=3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距
8、最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B5若函数f（x）=lg（x2+axa1）在区间2，+）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A（3，+）B3，+）C（4，+）D4，+）【考点】复合函数的单调性【分析】由复合函数为增函数，且外函数为增函数，则只需内函数在区间2，+）上单调递增且其最小值大于0，由此列不等式组求解a的范围【解答】解：令t=x2+axa1，函数f（x）=lg（x2+axa1）在区间2，+）上单调递增，又外层函数y=lgt为定义域内的增函数，需要内层函数t=x2+axa1在区间2，+）上单调递增，且其最小值大于0，即，解得：a3实数a的取值范围是（3，+）故选：A6定
9、积分dx的值为（）A9B3CD【考点】定积分【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与直线x=0，x=3所围成的图形的面积即可【解答】解：由定积分的几何意义知是由曲线，直线x=0，x=3围成的封闭图形的面积，故=，故选C7不等式（a24）x2+（a+2）x10的解集是空集，则实数a的范围为（）ABCD【考点】一元二次不等式的解法【分析】根据二次项的系数含有参数故分两种情况，再由解集是空集和二次方程的解法列出不等式分别求解，最后再把结果并在一起【解答】解：根据题意需分两种情况：当a24=0时，即a=2，若a=2时，原不等式为4x10，解得x，故舍去，若a=2时，原不等式为10
10、，无解，符合题意；当a240时，即a2，（a24）x2+（a+2）x10的解集是空集，解得2a，综上得，实数a的取值范围是2，）故选：B8已知数列an中，a3=2，a7=1，若为等差数列，则a19=（）A0BCD2【考点】等差数列的性质【分析】求出数列的公差，利用=+12d，即可求出a19【解答】解：设数列的公差为d数列an中，a3=2，a7=1，数列是等差数列=+4d将a3=2，a7=1代入得：d=+12d=1a19=0故选：A9已知函数f（x）=e1+|x|，则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围是（）ABC（，）D【考点】函数单调性的性质【分析】由已知可得，函数f（x）为偶函数，且
11、在x0时为增函数，在x0时为减函数，若f（x）f（2x1），则|x|2x1|，解得答案【解答】解：函数f（x）=e1+|x|满足f（x）=f（x），故函数f（x）为偶函数，当x0时，y=e1+|x|=e1+x为增函数，y=为减函数，故函数f（x）在x0时为增函数，在x0时为减函数，若f（x）f（2x1），则|x|2x1|，即x24x24x+1，即3x24x+10，解得：x，故选：A10O是平面上一点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足+，（0，+），则直线AP一定通过ABC的（）A内心B外心C重心D垂心【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】设出BC的中点D，由题意可得=2，
12、进而可得=2，可得A、P、D三点共线，进而可得答案【解答】解：设BC中点为D，则AD为ABC中BC边上的中线，由向量的运算法则可得，+，=2，=2A、P、D三点共线所以点P一定过ABC的重心故选C11关于x的不等式x24ax+3a20（a0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）ABCD【考点】一元二次不等式的解法【分析】由不等式x24ax+3a20（a0）的解集为（x1，x2），利用根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，再利用基本不等式即可得出【解答】解：关于x的不等式x24ax+3a20（a0）的解集为（x1，x2），=16a212a2=4a20，又a0，可得a0x1+x2=4a，=4
13、a+=，当且仅当a=时取等号的最小值是故选：C12已知函数f（x）=，函数g（x）=bf（2x），其中bR，若函数y=f（x）g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A（，+）B（，）C（0，）D（，2）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】求出函数y=f（x）g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：g（x）=bf（2x），y=f（x）g（x）=f（x）b+f（2x），由f（x）b+f（2x）=0，得f（x）+f（2x）=b，设h（x）=f（x）+f（2x），若x0，则x0，2x2，则h（x）=f（x）+f（2x
14、）=2+x+x2，若0x2，则2x0，02x2，则h（x）=f（x）+f（2x）=2x+2|2x|=2x+22+x=2，若x2，x2，2x0，则h（x）=f（x）+f（2x）=（x2）2+2|2x|=x25x+8即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+，当x2时，h（x）=x25x+8=（x）2+，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足b2，故选：D二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13在等比数列an中，a1
15、=1，公比q=2，若an前n项和Sn=127，则n的值为7【考点】等比数列的前n项和【分析】由等比数列的前n项和公式可得，127=解方程可求n【解答】解：由等比数列的前n项和公式可得，127=解可得，n=7故答案为：714已知向量=（sinx，cosx），向量=（1，），则|+|的最大值为3【考点】正弦函数的定义域和值域；向量的模；两角和与差的正弦函数【分析】利用向量=（sinx，cosx），向量=（1，），先求出+=（sinx+1，cosx+），再由向量的模的概念知|+|=，然后利用三角函数的性质求|+|的最大值【解答】解：向量=（sinx，cosx），向量=（1，），+=（sinx+1，c
16、osx+）|+|=，|+|max=3，故答案为：315两个等差数列an，bn， =，则=【考点】等差数列的性质【分析】由题意， =，利用条件，代入计算，即可得出结论【解答】解：由题意， =故答案为：16已知点P（x，y）的坐标满足条件，记的最大值为a，x2+（y+）2的最小值为b，则a+b=5【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据斜率和距离的几何意义进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设k=，则k的几何意义是区域内的点到E（2，0）的斜率，设z=x2+（y+）2，则z的几何意义为区域内的点到点F（0，）的距离的平方，由图象知AF的斜率最大，由，得，即A（0
17、，2），则k=，即a=1，C（1，0）到F到的距离最小，此时|CF|=2，故d=|CF|2=4，则a+b=1+4=5，故答案为：5三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17接下列不等式（）3x25x+20（）x2+（1a）xa0【考点】一元二次不等式的解法【分析】（）利用因式分解即可求出，（）需要分类讨论【解答】解：（）3x25x+20，3x2+5x20，（3x1）（x+2）0，解的x，或x2，不等式的解集为（，2）（，+）（）x2+（1a）xa0，（x+1）（xa）0，若a1时，解集为x|1xa，若a=1时，解集为，若a1时，解集为x|ax118在ABC
18、中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，己知=（cosA， sinA），=（2cosA，2cosA），=1（）若a=2，c=2，求ABC的面积；（）求的值【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算【分析】（）由两向量的坐标及两向量数量积为1，利用平面向量数量积运算法则计算列出关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，确定出A的度数，由a与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，即可确定出ABC的面积；（）原式利用正弦定理化简后，根据A的度数，得到B+C的度数，用C表示出B，代入关系式整理后约分即可得到结果【解答】解：（）=（cosA， sinA），=（2cosA，2cosA），=
19、12cos2A2sinAcosA=cos2Asin2A+1=1，即2（sin2Acos2A）=2，sin（2A）=1，A为三角形内角，2A=，即A=，a=2，c=2，由正弦定理=，得：sinC=，C为三角形内角，C=，B=，则SABC=22=2；（）=2R，即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，原式=219设数列an满足a1=1，an+1=2an+1（1）求an的通项公式；（2）记bn=log2（an+1），求数列bnan的前n项和为Sn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）通过对an+1=2an+1变形可得（an+1+1）=2（an+1），进而可得an+1是以2为公比
20、、2为首项的等比数列，计算即得结论；（2）通过，可得bnan=n2nn，记A=121+222+n2n，利用错位相减法计算A2A的值，进而计算可得结论【解答】解：（1）an+1=2an+1，（an+1+1）=2（an+1）a1+1=20，an+10，an+1是以2为公比、2为首项的等比数列，；（2），记A=121+222+n2n，2A=122+（n1）2n+n2n+1，A=A2A=2+22+2nn2n+1=n2n+1=（1n）2n+12，A=（n1）2n+1+2，故20已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），函数f（x）=2（xR）（1）求函数f（x）的最小正周期及x0，上的
21、最值；（2）若关于x的方程f（x）=m在区间0，上只有一个实根，求实数m的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】（1）由平面向量数量积的运算化简函数解析式可得f（x）=sin（2x）+1，由周期公式可求周期，由时，可求2x，从而由函数单调性可求最值（2）由正弦函数的单调性知f（x）在0，上递增，在，上递减，又f（0）=0，f（）=，f（）=2，结合图象可知实数m的取值范围【解答】解：（1）f（x）=2=2sinxcosx+2sin2x=sin2x+1cos2x=sin（2x）+1所以最小正周期T=当时，2x，故当2x=即x=时，f（x）取得最大值当2x=即x=0
22、时，f（x）取得最小值所以函数f（x）的最大值为f（）=，最小值为f（0）=0（少求一个最值扣一分，两个全错扣三分）（2）由正弦函数的单调性知f（x）在0，上递增，在，上递减又f（0）=0，f（）=，f（）=2要想方程f（x）=m在区间0，上只有一个实根，结合图象可知只需满足m=或0m2（若有分析过程，但无图象，不扣分，若只画出了函数的大致图象，但没有得出答案，则扣两分）21数列an首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=（n2）（1）求证：数列是等差数列（2）求数列an的通项公式（3）设存在正数k，使（1+S1）（1+S2）（1+Sn）k对于一切nN*都成立，求k的最大值【考点】数列与
23、不等式的综合；等差关系的确定；数列递推式【分析】（1）由数列的性质对其进行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式即可（2）由（1）先求出Sn，进而可求求数列an的通项公式；（3）先构造函数F（n）判断其单调性，然后再由F（n）在nN*上递增，要使F（n）k恒成立，只需F（n）mink，即可得到结论【解答】（1）证明：n2时，an=SnSn1SnSn1=，Sn1Sn=2SnSn1（n2），数列|是以=1为首项，以2为公差的等差数列（2）解：由（1）知=1+（n1）2=2n1，Sn=，n2时，an=SnSn1=a1=S1=1，an=（3）设F（n）=，则=F（n）在nN*上递增，要使F（n）k恒成
24、立，只需F（n）minkF（n）min=F（1）=，0k，kmax=22已知f（x）=2ax+lnx在x=1与x=处都取得极值（） 求a，b的值；（）设函数g（x）=x22mx+m，若对任意的x1，2，总存在x2，2，使得g（x1）f（x2）lnx2，求实数m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件【分析】（）求导数f（x），由f（x）在x=1与处都取得极值，得f（1）=0，得关于a，b的方程组，解出a，b，然后检验；（）对任意的，总存在，使得g（x1）f（x2）lnx2，等价于g（x）minf（x）lnxmin，利用函数单调性易求f（x）lnxmin，按照对称轴在区间，2的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论可求得g（x）min，然后解不等式g（x）minf（x）lnxmin可得答案；【解答】解：（），在x=1与处都取得极值，f（1）=0，解得，当时，所以函数f（x）在x=1与处都取得极值；（）由（）知：函数在上递减，f（x）g（x）min=+=，又函数g（x）=x22mx+m图象的对称轴是x=m，（1）当时：，依题意有成立，；（2）当时：，即6m26m70，解得：，又，；（3）当m2时，g（x）min=g（2）=43m，解得，又 m2，m；综上：，所以，实数m的取值范围为2016年10月24日
